Lösungen zu den Aufgaben 10. Klasse

Transkript

1 . Berechnungen an Kreisen und Dreiecken Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse α r b AS 60 5,4 m 5,65 m 5,7 m 90,99 3 cm 0 cm 5,00 cm 45 6,37 dm 5 dm 5,93 dm 04,38,9 km 0,34 km 5 km 30 7,5 cm 3,93 cm 4,73 cm 3, 9,3 mm 0 mm 93,00 mm. Aufgabe: a) 4 π b) 3 π c) 5 87 π d) 80 π e) 9 4 π f ) 6 π a) 90 b) 70 c) 45 d) 360 e) 75 f) Aufgabe: A Rest = 4 Halbkreis + A Quadrat A Kreis A Rest = 4 a π + (a ) (a ) π A Rest = a π + 4a a π A Rest = 4a (A 4 Möndchen! A Quadrat ) U Gesamt = 4 U Halbkreis +U Kreis U Gesamt = 4 aπ + a π U Gesamt = aπ ( + ) Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

2 . Sinus und Kosinus am Einheitskreis a) sin35 = sin 45 = b) sin50 = sin 30 = c) sin5 = sin 45 = d) cos0 = cos60 = e) cos 405 = cos 45 = f ) cos( 60 ) = cos60 =. Aufgabe: a) sin 3 4 π = sin35 = sin 45 = b) sin 3 π = sin60 = 3 c) sin 5 6 π = sin50 = sin 30 = d) cos 9 3 π = cos540 = cos80 = e) cos 8 6 π = cos40 = cos30 = f ) cos 5 4 π = cos675 = cos45 = a) 40, 300 b) 30, 50, 390, 50 c) 35, 5, 495 d) 0, 40, 480 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

3 3. Berechnung an beliebigen Dreiecken Es kann auch andere Lösungsvarianten geben, die aufgrund von Rundungen eventuell von den Ergebnissen leicht abweichen! a b c BAC CBA ACB a) 6, cm 5,5 cm 0,0 cm Kosinussatz b) 7, cm Sinussatz 3 33,5 Sinussatz 5,5 cm 4,6 cm 90, IWS im Dreieck c) 8, cm 5,0 cm, cm 7,5 Kosinussatz d) 4, cm 5,6 cm Sinussatz e) 7,5 cm Kosinussatz 8, cm Sinussatz 3 9,5 IWS im Dreieck ,8 Sinussatz 6,6 Kosinussatz 8 40,0 IWS im Dreieck 6, cm,0 cm 4 3,8 Sinussatz f) 0,3 cm,4 cm 0,8 cm 65,6 Kosinussatz. Aufgabe: 7, IWS im Dreieck 3 35,9 IWS im Dreieck 3 06, IWS im Dreieck 3 07,3 Sinussatz a) ABC : sin"acb = sin"cba AB AC sin"acb = sin"cba AB AC sin 75 sin"acb = 7,5 7,4 "ACB 7 ACD : sin"cad = sin"dca CD AD sin 3 sin"cad = 4, 5,3 "CAD 43 "BAD = "BAC + 43 "BAD = "BAD = 76 3 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

4 AD = AC + CD AD CD cos!dca cos!dca = AC + CD AD 4. Sinus- und Kosinusfunktion a) AD CD cos!dca = 7,5 + 5,3 4, 7,5 5,3!DCA 3!ADC = 80!CAD!DCA!ADC = !ADC = 05 b) c) BC sin!bac = BC = AC sin!cba AC sin!cba sin!bac BC = 7,5 sin 3 sin 75 BC = 4, [ cm] sin!cba = d BC d = sin!cba BC d = sin 75 4, [ ] d 4,0 cm b) N (-3π/0), N (-π/0), N 3 (-π/0), N 4 (0/0), N 5 (π/0), N 6 (π/0). Aufgabe: a) b) x = -0,5π; x = 0,5π; x 3 =,5π; x 4 =,5π 4 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

5 a) roter Graph: p = 0,5π b) blauer Graph: p = 4π 5. Form und Lageänderung der Sinus- und Kosinuskurve a) blau: f(x) = sin(x) grün: g(x) = sin(x - π) = -sin(x) rot: h(x) = sin(x) +,5 b) blau: f(x) = sin(0,5x) +,5 grün: g(x) = sin(x) - rot: h(x) =,5sin(x + 0,5π) c) blau: f(x) = sin((x - 0,5π)) = -sin(x) grün: g(x) = sin(x) + rot: h(x) = sin(,5(x - π)) -. Aufgabe: a) Schnittpunkt mit der y-achse: S (0/) Schnittpunkte mit der x-achse: keine Wertemenge W = [0,5;,5] Extremstellen: b) x = (k +) π 4 k Schnittpunkt mit der y-achse: S (0/-3) Schnittpunkte mit der x-achse: Wertemenge W = [-3; 3] Extremstellen: x = (k +) π k f(x) = 3sin((x - π)) -,5 g(x) = 3cos((x - π)) -,5 5 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

6 6. Wachstums- und Zerfallprozesse/Eigenschaften von Exponentialfunktionen a) B(t) = 500 t b) B(3,5) = 500 3, Bakterien. Aufgabe: a) f(x) =,08 x 66 f(6) =, , hpa b) 000 = 66 a 5 a = 000 5,08 66 f (x) = c a x (I) A eingsetzt in f(x): 4=c a (II) B eingsetzt in f(x): 0,5=c a 0,5 (II) nach c aufgelöst und in (I) eingesetzt: c= 0,5 a 0,5 4 = 0,5a a 0,5 :0,5 8 = a,5 a in (I) eingesetzt : 4 = c 4 c = 4 4 c = 0,5 f (x) = 0,5 4 x a = 3 8 a = 4 6 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

7 7. Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens a) 3 b) 4 c) d) - e) 0,39 f),8. Aufgabe: a) a = 9 a = 9 0,5 = 9 = 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 5 f) 656 a) log = log 8 = 3 b) log 3 9 = log 39 = c) log a b 3 + log a b 3log a b = log a b 6 + log a b log a b 6 = log a b d) lg z,5 + lg z 4 lg z 0,5 = lg z,5 z 4 z 0,5 = lg z e) log a x (log a x x) = log a x log a x 3 = log a x x 3 = log a f ) log a d c d log a d = log a c d 8. Einfache Exponentialgleichungen a) x = 64 : x = 6 x = log 6 x = 4 b) 3 x 3 = 7 : 3 3 x = 9 x = log 3 9 x = c) 4 x 4 = 00 : 4 6 x = 300 x = log x,9 x = 64 x+ = 6 x + = 6 x = 4 3 x 3 = 7 3 x+ = 3 3 x + = 3 x = d) 5 x 5 = 9 :5 x = log a x = log a x 5 x =,8 x = log 5,8 x 0,37 e) 9 8 x 8 = 6 :9 8 x 8 = 6 9 :8 8 x = 36 x = log 8 36 x,7 f ) 3x = 69 : 33 x = 69 x = log x 0,05 7 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

8 . Aufgabe: a) 343 x = 49 x 49 3 :49 x 7 x 7 4 = 49 3 :7 4 7 x = 49 3 :7 4 7 x = 49 x = log 7 49 x = 7 3x+4 = (7 ) x+3 3x + 4 = x + 6 x 4 x = b) 5 x 5 9 x = 77 :5 5 x 9 x = x = 95 x = log x,99 c) 3 x 3 7 x = 7 x :7 x 3 x 9 = x 3 = 9 x = log 3 x = 9 a) 5 x =,5 3 x lg lg(5 x ) = lg(,5 3 x ) lg5 + x lg = lg,5 + x lg 3 lg,5 x lg lg5 lg,5 = x lg 3 x lg x = lg5 lg,5 lg 3 lg x,96 b) x x 8 9 = 44 x 4 x = 44 x 4 :44 x :( ) x 486 = ,609 x = log , x,56 c) 5 5 x = 5 x x ( x+3) = 5 + x = 4x + 6 x 6 3x = 5 : 3 x = Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

9 9. Bedingte Wahrscheinlichkeiten a) b) 7 % (siehe Baumdiagramm) c) P(F NTG) P NTG (F) = P(NTG) P NTG (F) =. Aufgabe: P(F NTG) P(L NTG) + P(F NTG) 0,5 P NTG (F) = 0,96 + 0,5 P NTG (F) = 378 0,56 56% 677 a) P(W R) = 9 5 = 0,36 = 36% Die Wahrscheinlichkeit, dass das untersuchte Spielzeug keine Weichmacher enthält und gleichzeitig rot ist, beträgt 36 %. b) P(R W ) P R (W ) = = 5 = 0,08 = 0, = 0% P(R) 0 0,4 5 Die Wahrscheinlichkeit, dass das untersuchte Spielzeug Weichmacher enthält, wenn man weiß, dass es nicht rot ist, beträgt 0 %. 9 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

10 a) b) P r (U ) = P(U r) P(r) P(U P r (U ) = r) P(U r) + P(U r) P r (U ) = P r (U ) = = 0,4 = 40% 5 0. Oberflächeninhalt und Volumen von Kugeln a) O = 500π mm 7853,98 mm ; V = 6500 π mm ,85 mm 3 65,4 cm 3 b) O = 84 5 π dm 05,68 dm ; V 0,6 dm cm 3. Aufgabe: V = V Halbkugel V Zylinder V = 4 3 (x)3 π x π x V = 6 3 x3 π x 3 π V = 3 3 x3 π für x = V = 04 3 π = 34 3 π VE [ ] 0 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

11 . Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Strategie zu a): Graph von f mit f(x) = x 3 einzeichnen Gerade y = 6 (Parallele zur x-achse) am Schnittpunkt von Gerade und Gf das Lot zur Gerade fällen und schauen, wo das Lot die x-achse schneidet. a) x,8 b) x,7; x -,7 c) x -,5. Ganzrationale Funktionen Tipp: Produkt = 0, wenn mindestens einer der Faktoren = 0. a) doppelte Nst.: x, = einfache Nst.: x 3 = -; x 4 = -3 f(x) = 6 (x - ) (x + ) (x + 3) b) einfache Nst.: x = 0; x = 0,5; x 3 = ; x 4 = -0,4 g(x) = x (x - 0,5),5(x - ) 0(x - 0,4) c) fünffache Nst.: x,,3,4,5 = 0 einfache Nst.: x 6 =,5 h(x) = x 5 (x - 5) (x + 9). Aufgabe: a) x = -; einf. Nst mit VZW x = ; einf. Nst. mit VZW b) x = -; einf. Nst mit VZW x = -,5; einf. Nst. mit VZW x 3,4 = ; doppelte Nst. ohne VZW Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

12 c) x = -3; einf. Nst mit VZW x,3 = -; doppelte Nst. ohne VZW x 4 = ; einf. Nst mit VZW Hinweis: Die folgenden Funktionsterme sind nur Beispiele. Die Vielfachheit der Nullstellen sowie Zahlenfaktoren können variieren. a) f(x) = x(x - 6)(x + 6)(x - 3) b) g(x) = (x - 4) 3 (x - 3,5) c) h(x) = (x - ) (x -,5)(x - 5) 3. Überblick über bisher behandelte Funktionen a) typische Punkte: P (-0,5/0), Q (/-,5) Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

13 b) typische Punkte: R (0/3), S (-6/0) c) typische Punkte: T (-/0), U (-/0), V (3/0) d) typischer Punkt: W (0/), P k ((k +) π / 0) k! W k (k π / ) k! 3 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

14 . Aufgabe: Strategie S x : f(xs) = 0 auflösen nach xs, ys = 0 Strategie S y : xs = 0, ys = f(0) a) Schnittpunkt x-achse: S x (-4,8/0); Schnittpunkt y-achse: S y (0/4) b) Schnittpunkt x-achse: S x (,9/0); Schnittpunkt y-achse: S y (0/-) c) Schnittpunkt x-achse: keiner; Schnittpunkt y-achse: S y (0/0,5) a) z. B. f(x) = a ( x + )(x - )(x - 3), b) g(x) = 5 x oder g(x) = a x (a > 0) a! 4. Grenzwerte a) lim f (x) = + x + b) lim g(x) = + x + c) lim h(x) = x + lim f (x) = x lim g(x) = + x lim h(x) = + x. Aufgabe: a) lim x + f (x) = 0 lim f (x) = 0 x b) lim x + g(x) = 6 = 3 c) lim x + h(x) = 0 lim x g(x) = 6 = 3 lim h(x) = 0 x a) lim x + f (x) = + b) lim g(x) = x + 5 c) lim h(x) = + x + lim f (x) = 0 x lim g(x) = x 5 lim h(x) = + x 4 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

15 5. Untersuchen und Beschreiben weiterer Funktionen und ihrer Graphen Tipp: Nenner darf nicht Null werden. a) D=! b) D =! \ { 5;5} c) D =! \ { 4;}. Aufgabe: a) Überprüfung: f ( x) = ( x) 3 = x 3 = f (x) Punktsymmetrie zum Ursprung b) Überprüfung: g(-x) = ( x) + 3 ( x) 9 = x + 3 = g(x) Achsensymmetrie zur y-achse x 9 c) Überprüfung: h(-x) = x( x )( x + ) = x ( )(x + ) ( )(x ) oder = x (x + )(x ) = h(x) Punktsymmetrie zum Ursprung h(x) =... = x 3 4x h( x) = ( x) 3 4( x) = x 3 + 4x = (x 3 4x) = h(x) Tipp: Faktorisiere! Streiche anschließend die Felder ab! f(x) = x (x + )(x - )(x + 3) - doppelte Nst. ohne VZW: x, = 0 - einfache Nst. mit VZW: x3 = - x4 = x5 = -3 z. B. lim x f (x) = + 6. Parameter verändern Funktionsgraphen a) der rote Graph b) der grüne Graph c) der rosa Graph 5 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst

16 . Aufgabe: a) g(x) = f(x) = 3(x) - = x - b) g(x) = h(x + ) - = (x + ) x+ - = x x = x x c) g(x) = 3 k(x - ) = 3 8 0,5 x- = 4 0,5-0,5 x = 48 0,5 x a) b) c) Gg entsteht aus Gf durch Verschiebung in x-richtung um nach links. Gh entsteht aus Gf durch Streckung in y- Richtung mit dem Faktor. Gk entsteht aus Gf durch Stauchung in x-richtung mit dem Faktor. 6 Lösungen zu den Aufgaben 0. Klasse David Jobst