Darstellende Geometrie

Transkript

1 Darstellende Geometrie Bei der Darstellenden Geometrie geht es darum, einen räumlichen Gegenstand in einer zweidimensionalen Ebene darzustellen. Dabei wendet man hauptsächlich Projektionen an.

2 Projektionen

3 Parallelprojektion Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Projektionsebene Projektionsrichtung Quader Bild des Quaders

4 Wichtige Eigenschaften der Parallelprojektion. Bilder paralleler Geraden bei Parallelprojektion sind parallel die Umkehrung gilt nicht!!!

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6 Zweitafelprojektion Die senkrecht aufeinander stehende Projektionsebenen π 1 und π 2 schneiden sich in der Projektionsachse 1p2. Bei der Zweitafelprojektion dreht man die erste Bildebene, die Grundrissebene π 1 so um die Projektionsachse 1p2, dass sie in die zweite Bildebene, die Aufrissebene π 2 fällt.

7 Ein räumlicher Gegenstand der in der Zweitafelprojektion, das heißt in der Grund-und Aufrissebene, nur unzureichend dargestellt werden kann, bildet man in einer weiteren Bildebene, dem Seitenriss ab. Diese dritte Bildebene π 3 wird, insbesondere bei technischen Zeichnungen so gewählt, dass sie senkrecht zur Grundrissund auch senkrecht zur Aufrissebene steht. Dreitafelprojektion - Hauptrisse Seitenansicht Draufsicht Vorderansicht

8 Normalrissesind Parallelprojektionen senkrecht (normal) zur Projektionsebene

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10 Axonometrie Die Axonometrie dient in erster Linie zur einfachen Herstellung anschaulicher Bilder räumlicher Objekte. Höhe, Faktor 1 Beispiel: Kabinett-bzw. Kavalierperspektive Weitere Varianten: Vogelperspektive Militärperspektive Isometrie Dimetrie Trimetrie Breite, Faktor 1 Tiefe, Faktor k (z.b. k = 0,5)

11 Zentralprojektion Projektionsebene Projektionszentrum Quader Bild des Quaders

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15 Literatur Fucke/Kirch/Nickel: Darstellende Geometrie für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig Klix: Konstruktive Geometrie darstellend und analytisch. Fachbuchverlag Leipzig

16 Axiome bzw. geometrische Selbstverständlichkeiten 1. Durch zwei nicht zusammenfallende Punkte ist eine Gerade bestimmt. 2. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ist eine Ebene bestimmt. 3. Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich in einem Punkt. Zwei parallele Geraden schneiden sich in einem unendlich fernen Punkt. 4. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Zwei parallele Ebenen schneiden sich in einer unendlich fernen Geraden. 5. Zwei Geraden, die sich schneiden, bestimmen eine Ebene.

17 Symbole und Schreibweisen ist Element von ist nicht Element von ist Teilmenge von oder ist enthalten in ist nicht Teilmenge von oder ist nicht enthalten in ist Durchschnitt von ist parallel zu ist senkrecht zu leere Menge P g Punkt P liegt auf der Geraden g P := g h P ist der Schnittpunkt der Geraden g und h g := Σ Ε g ist die Schnittgerade der Ebenen Σ Ε g := P Σ g ist die Senkrechte (Normale, Othogonale, das Lot) durch den Punkt P zur Ebene Σ PQ Verbindungsgerade PQ Streckenlänge zwischen den Punkten P und Q

18 Die Geraden OE 1, OE 2 und OE 3 stehen jeweils senkrecht aufeinander. Achsenkreuz x 3 (bzw. z) -Höhe Aufrissebene Π 2 (bzw. yz-ebene) Kreuzrissebene Π 3 (bzw. xz-ebene) E 3 (0,0,1) O E 2 (0,1,0) E 1 (1,0,0) x 2 (bzw. y) -Breite x 1 (bzw. x) -Tiefe Grundrissebene Π 1 (bzw. xy-ebene)

19 Koordinaten eines Punktes P x 3 P ist der Aufriss von P P ist der Kreuzriss von P P Abszisse von P (Tiefe): P P PP' ' = PΠ 2 Ordinate von P (Breite): PP' '' = PΠ 3 O P x 2 Kote von P (Höhe): PP' = PΠ 1 x 1 P ist der Grundriss von P

20 Strahlensatz B Die Dreiecke SAB und SA B sind ähnliche Dreiecke: SAB ~ SA B B S Damit sind die Seitenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: A A SA: AB = SA' : A' B' SA: SB = SA' : SB' SA: SA' = SB : SB' = AB : A' B'

21 Teilverhältnis Teilverhältnis von drei Punkten A,B,V: TV ( A, B; V ) = AV : BV B V A B V A Das Teilverhältnis ist invariant bei: - Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen - Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage wegen Strahlensatz gilt: AV : BV = A' V ' : B' V '

22 Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage Invariante bei einer Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage Teilverhältnis: AV : A' V ' = BV : B' V ' C U Parallelität: A A V V C U B aus AC 7VU folgt A C 7V U B

23 Doppelverhältnis Doppelverhältnis von 4 Punkten A,B und U,V: DV ( A, B; U, V ) = ( AU : BU ) : ( AV : BV ) V V B B Das Doppelverhältnis ist invariant bei: Zentralprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage (und damit bei allen Projektionsarten) ( AU : BU ) : ( AV : BV ) = ( A' U' : B' U') : ( A' V ' : B' V ') Beweis: siehe Fucke/Kirch/Nickel (mit Sinussatz) U A U A

24 Invarianten bei einer Projektion Zentralprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Doppelverhältnis perspektive Kollineation Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis perspektive Affinität Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel Ähnlichkeit Parallelprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel, Flächeninhalt Kongruenz

25 Elementare Grundkonstruktionen 6

26 k 2 C m Mittelsenkrechte m zu zwei Punkten A und B A k 1 B D

27 k k 2 C l Lot lzur Geraden g durch den Punkt P g P A k 1 B D

28 h S k 3 Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P g P k 1 B C k 2 A D

29 Satz des Thales X Peripherie -winkel k Gegeben sind ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und zwei Punkte A k und B k mit M AB. (d.h.: AB ist Durchmesser von k) Dann gilt für alle X k: XA XB (und umgekehrt) Das heißt: Alle Peripheriewinkel über einem Halbkreis sind rechte Winkel. A M B

30 k t 1 T 1 Tangenten an einen Kreis k durch einen Punkt P M P mpkt(m,p) T 2 t 2 Thales-Kreis zu M und P

31 Teilungspunkte Z 1 und Z 2 einer durch die Punkte A und B gegebenen Strecke zum Faktor k = a:b P 1 k a g a g b Q 1 A Z 2 B Z 1 Q 2 k b P 2

32 Tangenten an zwei Kreise Äußeres Tangentenpaar k 1 k 2 Inneres Tangentenpaar