Modul 1 Der Würfel! 1
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- Agnes Michel
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1 Modul 1 Der Würfel! 1
2 2
3 3
4 4
5 Der Würfel 5
6 Der Würfel 6
7 Der Würfel 7
8 Der Würfel 8
9 Der Würfel 9
10 Der Würfel 10
11 Würfel und Würfel 11
12 Würfel und Würfel 12
13 Würfel und Würfel Autostereogramm 13
14 Kavalierperspektive 14
15 Kavalierperspektive Frontquadrat 1 15
16 Kavalierperspektive Verkürzung q 1 q a Anstellwinkel a 16
17 Kavalierperspektive q 1 a 17
18 Militärperspektive Bodenquadrat 1 18
19 Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 19
20 Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 20
21 Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 21
22 Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 22
23 Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Grundriss unverzerrt 23
24 Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Richtung der z-achse senkrecht 24
25 Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Richtung der z-achse senkrecht 25
26 Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben 26
27 Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben 27
28 Was sehen wir denn? 28
29 29
30 Würfel? 30
31 31
32 Modell z x y 32
33 Kavalierperspektive Militärperspektive 33
34 Kavalierperspektive Militärperspektive 34
35 Kavalierperspektive Militärperspektive 35
36 Unmögliche Figuren Kavalierperspektive Militärperspektive 36
37 Isometrische Axonometrie 37
38 z 1 x 1 1 y Isometrische Axonometrie r:s:t = 1:1:1 38
39 Isometrische Darstellung des Würfels 39
40 40
41 41
42 42
43 43
44 44
45 45
46 46
47 47
48 48
49 Würfel oder Rhomben? 49
50 R. Penrose Tribar 50
51 51
52 Dimetrische Axonometrie r:s:t = 1:2:2 52
53 z 1 Exakte Konstruktion y x 53
54 z 1 Praktisches Vorgehen y x 54
55 z 1 x 1 1 y 55
56 z Zu viel Symmetrie 1 x 1 1 y 56
57 Allgemein r:s:t beliebig Beispiel r:s:t = 4:5:6 57
58 Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t 2 r 2 s 2 t 2 58
59 r 2 s t 2 Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t
60 Wie steht es mit der Dreiecksungleichung? Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t 2 r 2 s t
61 z-achse senkrecht 61
62 Waagerechte Hilfslinie 62
63 Winkelhalbierende Winkelhalbierende 63
64 6 Einheitspunkte im richtigen Verhältnis
65 65
66 66
67 Theoretischer Hintergrund 67
68 Situation in der Einheitskugel N! c! a b! 68
69 Situation in der Einheitskugel Achsensystem aus Origami-Papier N! c! a b! 69
70 ξ ϑ Situation in der Einheitskugel N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! η 70
71 ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η Eulersche Winkel ϑ und ψ 71
72 ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 72
73 ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! a = sin ( ψ )cos( ϑ ) cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ )! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 73
74 ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! a = sin ( ψ )cos( ϑ ) cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ )! b = cos( ψ )cos( ϑ ) sin ( ψ ) cos( ψ )sin( ϑ )! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 74
75 Projektion auf die Aufrissebene ζ N! c! a b! η 0! a = cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ ) 0! b = sin ( ψ ) cos( ψ )sin( ϑ ) 0! c = 0 cos( ϑ ) 75
76 ζ imaginäre Achse c Komplexe Zahlenebene η reelle Achse a b a = cos( ψ ) i sin( ψ )sin( ϑ) b = sin( ψ ) i cos( ψ )sin( ϑ) c = i cos( ϑ) r = a s = b t = c 76
77 a = cos( ψ ) i sin( ψ )sin( ϑ) b = sin( ψ ) i cos( ψ )sin( ϑ) c = i cos( ϑ) ( ) 2 ( sin ( ψ )) 2 ( sin( ϑ )) 2 + 2i cos ψ ( ) 2 ( cos( ψ )) 2 ( sin( ϑ )) 2 2i sin ψ ( cos( ϑ )) 2 a 2 = cos( ψ ) b 2 = sin ( ψ ) c 2 = a 2 + b 2 + c 2 = ( )sin ( ψ )sin ϑ ( ) ( )cos( ψ )sin ϑ ( ) a 2 + b 2 + c 2 = 0 daher geschlossenes Dreieck 77
78 Berechnung der Verkürzungen r 2 = a 2 = cos( ψ ) s 2 = b 2 = sin ( ψ ) t 2 = c 2 = ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 ( ) ( ) 2 + ( cos ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 ( cos( ϑ )) 2 r 2 + s 2 + t 2 = 2 r 2 + s 2 + t 2 = 2 78
79 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
80 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
81 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
82 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
83 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
84 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
85 Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ λ λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = r = 4λ s = 5λ t = 6λ
86 Berechnung der Eulerschen Winkel t = cos( ϑ ) ϑ = arccos( t) r 2 = cos( ψ ) ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 r 2 = cos( ψ ) ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 1 t 2 t 2 ( sin ( ψ )) 2 = 1 r 2 ( sin ( ψ )) 2 = 1 r2 ( ) = 1 t 2 sin ψ ψ = arcsin 1 r 2 t 2 t 2 ( ( )) 2 86
87 Beispiel: r : s :t = 4 : 5 : 6 r s t ϑ = arccos( t) ψ = arcsin 1 r 2 t
88 r : s :t = 4 : 5 : 6 ϑ ψ Standort des Beobachters? 88
89 r : s :t = 4 : 5 : 6 ϑ ψ Geografische Breite 14.76, geografische Länge ( ) und sehr weit im Weltall 89
90 Zeichnen im Würfel 90
91 Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 91
92 Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 92
93 Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 93
94 Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 94
95 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen 95
96 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen 96
97 Alle Symmetrieebenen 97
98 Alle Symmetrieebenen 98
99 Schnitt zweier Ebenen 99
100 Ebene ABC Ebene PQR R B A P Q C 100
101 Ebene ABC B A C 101
102 Ebene ABC B A C 102
103 Ebene ABC B A C 103
104 Ebene ABC B A C Und? 104
105 Ebene ABC B A C 105
106 Ebene ABC B A C 106
107 Ebene ABC B A C 107
108 Ebene ABC B A C Kontrollen 108
109 Ebene ABC B A C 109
110 Ebene PQR R P Q 110
111 Ebene PQR R P Q 111
112 Ebene PQR R P Q 112
113 Ebene PQR R P Q 113
114 Ebene PQR R P Q 114
115 Ebene PQR R P Q 115
116 R B Gemeinsamer Punkt auf Rückwand A P Q C Gemeinsamer Punkt am Boden 116
117 R B A Schnittgerade P Q C 117
118 Sichtbarkeit R B A P Q C 118
119 Schnitt einer Ebene mit einer Geraden 119
120 Ebene ABC Gerade PQ B A P Q C 120
121 Ebene ABC Gerade PQ B A P Q C 121
122 Ebene ABC Gerade PQ B A Schnittpunkt? P Q C 122
123 Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A P Q C 123
124 Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A P Q C 124
125 Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A Q P C Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) 125
126 Ebene ABC Gerade PQ R B A P Q C 126
127 Ebene ABC Gerade PQ B A P Da geht s durch. Q C 127
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