Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 1/29

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1 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 Hans Walser Das DIN Rechteck DIN-Format Inhalt Internationale Papierformate (ISO/DIN)... Schnittpunkte Drehstreckung Oktogon aus einem DIN Rechteck... 5 Abschneiden. Restrechteck Erinnerung an das Goldene Rechteck Restrechteck beim DIN Rechteck Vier Geo Dreiecke Quadrate abschneiden Rationales im DIN-Format Worum geht es? Falten Falten längs einer Diagonalen Diametrale Eckpunkte Proof without words Winkel Diagonalen und Rhombus Beweise Rhombendodekaeder... 7 Im Würfel Das DIN Rechteck im Würfel Drehung um Körperdiagonale Die Bastelstunde Steckmodell eines Würfels Weitere Modelle auf der Basis der Würfel-Symmetrieebenen Das Tetraeder Das Rhombendodekaeder Der Keplerstern... 9

2 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 Internationale Papierformate (ISO/DIN) Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im DIN-Format ist :. DIN Format Papier im DIN-Format wird nach folgendem Muster bezeichnet und unterteilt: A8 A7 A5 A6 A3 A4 A0 A A Unterteilung Das Format A0 hat den Flächeninhalt m und daher die Höhe.89m und die Breite 0.84m. Daraus ergibt sich (in Millimeter und auf Millimeter gerundet):

3 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 3/9 A A A A A A A A A A A Formate in mm

4 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 4/9 Schnittpunkte Halb- und Viertelskreise im DIN Rechteck

5 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 5/9 Halbkreise und ein Kreis im DIN Rechteck

6 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 6/9 3 Drehstreckung Die Formate A4 und A5 sind ähnlich. Wo ist in der vorliegenden Situation das Zentrum der Drehstreckung, welche A4 in A5 überführt? Suchen Sie zwei (oder mehr) verschiedene Lösungswege. A5 A4 DIN A4 Hochformat und DIN A5 Querformat

7 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 7/9 Ergebnis Disposition gemäß Figur: D = C* C = B* A5 D* A4 A* A Disposition B Der Drehwinkel ist, der Streckfaktor (Schrumpfung).

8 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 8/9 Erster Lösungsweg Einschachteln (approximative Lösung) D = C* C = B* A5 D* A4 A* A Einschachteln B Zweiter Lösungsweg Ortsbogen zu, d.h. Thaleskreise, über BB * und CC * D = C* C = B* Z A5 D* A4 A* A B Thaleskreise

9 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 9/9 Dritter Lösungsweg Diagonalen und Nachdenken D = C* C = B* Z A5 D* A4 A* A B Diagonalen

10 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 0/9 ( ) = Vierter Lösungsweg Anregung: Horst Steibl Wir führen die Drehstreckung noch ein zweites Mal durch und gelangen damit vom ursprünglichen A4-Rechteck ABCD zum A6-Recchteck A**B**C**D**. Diese zusammengesetzte Abbildung ist eine Drehstreckung mit dem Faktor und dem Drehwinkel ; das Zentrum Z bleibt unverändert. Damit liegt Z auf der Strecke BB ** und teilt diese im Verhältnis : = 3 : 3. D = C* = B** A** C = B* A6 Z D** D* = C** A* A4 A B Übergang zu A6

11 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 Fünfter Lösungsweg Komplexe Ebene und Fixpunkt berechnen. y D = C* C = B* A5 D* A4 A* A 0 B x Ansatz: w = az + b Aus A = 0 A* = + i Und weiter w = az + b = i Komplexe Zahlen und B = B* = + i folgt: + i = b + i = a + b a = i z + + i Weiterer Lösungsweg Wer findet einen weiteren Lösungsweg? mit dem Fixpunkt z = b a = 3 + i 3.

12 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 4 Oktogon aus einem DIN Rechteck Wir beginnen mit einem leeren Papier vom Format DIN A4 (oder einem anderen DIN Format) im Querformat. DIN A4 Dann falten wir die senkrechte Mittellinie und falten wieder zurück. Mittellinie senkrecht Nun falten wir alle vier Ecken an diese Mittellinie und falten wieder zurück. Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

13 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 3/9 Als nächstes falten wir zwei zur Mittellinie parallele Linien durch die Schnittpunkte der Faltlinien des letzten Schrittes. Parallelen durch die Schnittpunkte Diese Parallelen bilden zusammen mit Oberkante und Unterkante des Papiers ein Quadrat. Das Quadrat liegt eingemittet auf dem Papier. Nun falten wir die waagerechte Mittellinie. Waagerechte Mittellinie Wir falten alle vier Ecken an diese waagerechte Mittellinie und falten wieder zurück. Ecken einbiegen und wieder zurückfalten

14 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 4/9 Damit haben wir das Oktogon. Oktogon Durch geeignetes Einbiegen oder durch Abschneiden erhalten wir das materielle Oktogon. Ansicht von beiden Seiten Das Seitenverhältnis des DIN Formates ist wesentlich. Aus einem Rechteck mit einem anderen Seitenverhältnis ergibt sich ein Achteck, das zwar gleichwinklig ist, aber nicht gleichseitig. Falsche Seitenverhältnisse bei den Rechtecken Das lässt sich wie folgt einsehen. Wir verwenden ein Ausgangsrechteck mit der Länge a und der Breite b. Die gleichwinkligen, aber eben nicht gleichseitigen Achtecke haben in jedem Fall eine vierstrahlige Drehsymmetrie.

15 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 5/9 a b d Abstände zwischen den Seiten Es geht jetzt noch darum, ob die Abstände b zwischen den Seiten parallel zu den Papierseiten gleich groß sind wie die Abstände d zwischen den schrägen Seiten. Es ist: d = a Die Bedingung d = b führt auf a = b, also das DIN Format.

16 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 6/9 5 Abschneiden. Restrechteck 5. Erinnerung an das Goldene Rechteck Wird beim Goldenen Recheck (Rechteck im Seitenverhältnis des Goldenen Schnittes) ein Quadrat abgeschnitten, bleibt ein Restrechteck übrig, welches zum ursprünglichen Goldenen Rechteck ähnlich ist. Goldenes Rechteck 5. Restrechteck beim DIN Rechteck Wenn wir entsprechend beim DIN Rechteck ein Quadrat abschneiden, bleibt ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis übrig, kein DIN Rechteck also. + Beim DIN Rechteck wird ein Quadrat abgeschnitten Dieses Rechteck hat es aber in sich.

17 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 7/9 5.. Vier Geo Dreiecke Wir setzen vier Geo Dreiecke (rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke, halbe Quadrate also) gemäß Figur zu einem Rechteck zusammen. Vier Geo Dreiecke Das Umrissrechteck hat das Seitenverhältnis Mitte hat dieses Seitenverhältnis +. +, aber auch das Lochrechteck in der 5.. Quadrate abschneiden Wir schneiden beim Rechteck mit dem Seitenverhältnis bleibt ein Restrechteck übrig, welches wiederum das Seitenverhältnis können daher den Abschneideprozess ad infinitum iterieren. + zwei Quadrate ab. Dann + hat. Wir 6 Rationales im DIN-Format Zwei Quadrate abschneiden 6. Worum geht es? Das Seitenverhältnis eines Rechteckes im DIN-Format ist A4 :, also irrational. DIN A4 Format Es erstaunt daher, das bei geeigneter Sicht trotzdem rationale Verhältnisse auftreten.

18 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 8/9 6. Falten 6.. Falten längs einer Diagonalen Anregung: Hans Schupp, Saarbrücken Falten eines DIN A4 Blattes Wenn wir ein DIN A4 Blatt längs einer Diagonalen falten, teilt der Schnittpunkt der beiden Längsseiten diese im Verhältnis : Falten und Auffalten 3 4 4

19 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 9/9 Ebenso teilt der Schnittpunkt der beiden kurzen Seiten diese (von außen) im Verhältnis :3. Äußere Teilpunkte auf den kurzen Seiten 6.. Diametrale Eckpunkte Denselben rationalen Effekt erhalten wir, wenn wir das Blatt so falten, dass zwei diametrale Eckpunke aufeinander fallen. Diametrale Eckpunkte 6..3 Proof without words A4 A4 A5 Beweis

20 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 0/9 6.3 Winkel 6.3. Diagonalen und Rhombus Es sei der spitze Schnittwinkel der Diagonalen im DIN Rechteck. Dies ist auch der spitze Winkel des Rhombus, aufgespannt durch die Seitenmitten des DIN Rechteckes. Dieser Rhombus hat das Diagonalenverhältnis :. α α α Für den Winkel finden wir: Diagonalen und Rhombus = arctan( ) Ein hässlicher Winkel also. Nun liefert mein Taschenrechner: cos( ) Der Verdacht ist nahe, dass hier wiederum das rationale Verhältnis :3 gilt Beweise CAS (Maple) Mit restart: simplify(cos(*arctan(/sqrt()))); erhalten wir: Das Problem liegt also jenseits der Möglichkeiten von Maple Turnübung Wir verwenden die Doppelwinkelformel cos( )= cos ( ) sin ( ) und die Umrechungsformeln: cos( )= +tan ( ) Damit erhalten wir: und sin( )= tan( ) +tan ( )

21 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 ( ) ( ) ( ) cos arctan = cos arctan sin arctan = +tan arctan = + ( ) + = + ( ) ( ) tan arctan +tan arctan + = + = = Der elegante Beweis Der größtmögliche Rhombus mit dem Diagonalenverhältnis :, der sich dem DIN Rechteck einbeschreiben lässt, verwendet die Rechtecksdiagonale als lange Diagonale. α Rhombus im Rechteck Für den Winkel, der hier als Außenwinkel eingezeichnet ist, erhalten wir aus dem Faltresultat: cos( )= Rhombendodekaeder Das Rhombendodekaeder entsteht aus dem Würfel durch Aufsetzen von Pyramiden mit einem Neigungswinkel von 45 zur Grundfläche. Rhombendodekaeder

22 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck /9 Dieser Neigungswinkel hat zur Folge, dass die Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden glatt ineinander übergehen; es entstehen Rhomben, und zwar insgesamt zwölf. Daher hat das Ding den Namen. Die Rhomben haben das Diagonalenverhältnis :. 7 Im Würfel 7. Das DIN Rechteck im Würfel Im Würfel hat ein Rechteck aus zwei gegenüberliegenden Würfelkanten und zwei Seitenflächendiagonalen die Proportionen eines DIN-Rechteckes. DIN-Recheck im Würfel 7. Drehung um Körperdiagonale Dem Falten längs einer Rechtecksdiagonale entspricht eine Drehung um eine Körperdiagonale des Würfels um 80 (Anregung von Wolfgang Kroll, Marburg). Wir verwenden den Einheitswürfel im Koordinatensystem und die durch den Ursprung verlaufende Körperdiagonale. Dann wird die Drehung um 80 durch folgende Matrix beschrieben: Diese Matrix enthält nur rationale Elemente

23 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 3/9 Die folgende Figur zeigt die Überlagerung von Urbildwürfel (grün) und Bildwürfel (rot). Urbildwürfel und Bildwürfel Die beiden Würfel durchdringen sich gegenseitig. Urbildwürfel und Bildwürfel

24 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 4/9 7.. Die Bastelstunde Diese Konfiguration kann als Steckmodell hergestellt werden. Wir brauchen dazu Quadrate (6 in der einen und 6 in der anderen Farbe) aus Halbkarton mit Nuten. Die Endpunkte der Nuten liegen auf einem rationalen Viertelsraster. Das Modell kann dann ohne weitere Bindemittel zusammengesteckt werden. Schnittmuster für das Steckmodell Steckmodell

25 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 5/9 7.3 Steckmodell eines Würfels Anregung: Ueli Wittorf, Zürich Wir bauen ein Modell mit den sechs Rechtecken im DIN Format. Die folgende Figur zeigt das Schnittmuster. Die Schlitze an den Ecken sind unterschiedlich lang, bei und sind sie doppelt so lang wie bei 3 und 4. Als Baumaterial eignen sich Karten oder Fotos im DIN A 6 Format Die folgende Figur zeigt das Würfelmodell. Schnittmuster für den Würfel Würfelmodell Die Bauteile liegen in Symmetrieebenen des Würfels. Der Würfel enthält allerdings noch drei weitere Symmetrieebenen, nämlich die Mittelebenen gegenüberliegender Seitenflächen.

26 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 6/9 Würfel mit allen Symmetrieebenen Wenn wir einen Würfel mit allen Symmetrieebenen haben wollen, benötigen wir die Bauteile der folgenden Figur. a b c Bauteile für den Würfel mit allen Symmetrieebenen Zusammenstecken in der Reihenfolge a, b, c,,, 3, 4, 5, 6.

27 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 7/9 Steckmodell des Würfels mit allen Symmetrieebenen 7.4 Weitere Modelle auf der Basis der Würfel-Symmetrieebenen 7.4. Das Tetraeder Da dem Würfel ein Tetraeder einbeschrieben werden kann, ist es nahe liegend, durch Abändern der rechteckigen Bauteile des Würfels die Bauteile für das Tetraeder zu finden. Die folgende Figur zeigt die sechs Bauteile. Die Bauteile bestehen aus Dreiecken, welche (unter Anpassung der Schlitze) aus den Würfelbauteilen im DIN Format herausgeschnitten werden. Es ist wiederum die unterschiedliche Länge der Schlitze zu beachten. Tetraeder im Würfel Schnittmuster für das Tetraeder

28 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 8/9 Die folgende Figur zeigt das Tetraedermodell. In diesem Modell sind sämtliche Symmetrieebenen realisiert. Modell des Tetraeders 7.4. Das Rhombendodekaeder Die folgende Figur zeigt das Schnittmuster. Als Basis dient wiederum ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis : des DIN Formates Schnittmuster für das Rhombendodekaeder Modell des Rhombendodekaeders

29 Hans Walser, [ a], Das DIN Rechteck 9/ Der Keplerstern Die folgenden Figuren zeigen den Keplerstern (stella octangula). Das Schnittmuster ergibt sich aus jenem des Würfels durch Einkerben an den beiden Schmalseiten (Details in eingezeichnet) Schnittmuster für den Keplerstern Modell des Keplersternes