Modell der Minimalfläche im Oktaeder Anregung: [Limperg 2011] sowie eine private Mitteilung von G. L., W.

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1 Hans Walser, [011087b], [ ] Modell der Minimalfläche im Oktaeder Anregung: [Limperg 011] sowie eine private Mitteilung von G. L., W. 1 Worum geht es? Wir tauchen ein Kantenmodell eines Oktaeders in eine Seifenlauge ein. Nach dem Herausziehen bilden die Seifenhäute eine Minimalfläche mit dem Kantenmodell des Oktaeders als Rand. Diese Fläche wird als Papiermodell nachgebaut. Dabei zeigt sich ein Link zum DIN-Format. Minimalfläche im Oktaeder Minimalfläche im Oktaeder Wir beginnen mit einem Kantenmodell des Oktaeders. Kantenmodell des Oktaeders Die folgende Abbildung zeigt die Verzweigungskanten und Verzweigungspunkte im Innern der Minimalfläche. An den Verzweigungskanten kommen jeweils drei Ebenen

2 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder /9 zusammen, welche wechselseitig Winkel von π = 10 einschließen (Gleichgewichtsbedingung). An den Verzweigungsknoten kommen jeweils vier 3 Verzweigungskanten ( ) = zusammen, welche wechselseitig Winkel von α = arccos 1 3 einschließen. Dieselben Winkel finden wir auch, wenn wir vom Mittelpunkt eines Tetraeders aus die vier Ecken anpeilen. Dieser Winkel wird beim Modellbau eine zentrale Rolle spielen. Verzweigungen Die Minimalfläche besteht aus 1 Dreiecken und 6 Vierecken. In der folgenden Abbildung sind sie abwechslungsweise rot, gelb und blau gefärbt. Minimalfläche Die folgende Abbildung zeigt lediglich die Dreiecke. Sie bilden vier nach innen gerichtete Pyramiden.

3 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 3/9 Nach innen gerichtete Pyramiden Die sechs Vierecke sind Drachenvierecke, deren Längsachse auf Oktaederdiagonalen liegen. Die Ebenen zweier Vierecke mit der Längsachse auf derselben Oktaederdiagonalen sind orthogonal zu einander. Drachenvierecke

4 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 4/9 3 Geometrisches Modell Wir verwenden das Koordinatensystem der folgenden Abbildung. Koordinatensystem Die Ecken des Oktaeders legen wir wie folgt fest: A( 1,0,0 ), B( 0,1,0 ), C( 1,0,0 ), D( 0, 1,0 ), E( 0,0,1), F 0,0, 1 ( ) Für die Verzweigungspunkte ergeben sich folgende sehr einfache Koordinaten: P( 1 6, 1 6, 1 6 ), Q( 1 6, 1 6, 1 6 ), R( 1 6, 1 6, 1 6 ), S( 1 6, 1 6, 1 6 ), M ( 0,0,0) Die Punkte PQRS sind die Ecken eines Tetraeders. Aus diesen Koordinaten lassen sich die oben angegebenen Winkel verifizieren. Zu dieser Lösung gibt es noch eine zweite Lösung, welche zur ersten Lösung punktsymmetrisch ist. 4 Papiermodell 4.1 Modelltyp Wir stellen ein doppelwandiges Papiermodell mit Einschiebeschlitzen her. Die Dreiecke und Vierecke bestehen also aus zwei Lagen, zwischen welche die Verbindungsfalze eingeschoben werden. Bei der Verwendung von verschiedenen Farben für die Bauteile sind die Verbindungsfalze unsichtbar. Die Verbindungsfalze können eingeklebt werden; ich habe sie lediglich mit Bostitch-Klammern fixiert. 4. Bauteile Der stumpfe Schnittwinkel der beiden Diagonalen eines Rechteckes im DIN-Format ist α = arccos 1 3 ( ) = , entspricht also dem Winkel, der in unseren

5 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 5/9 Dreiecken und Vierecken vorkommt. Daher versuchen wir, die Bauteile auf der Basis von Papier im DIN-Format herzustellen. Ich habe DIN A5 verwendet. In den folgenden Abbildungen für die Bauteile sind Schnittlinien schwarz, konvexe Faltlinien ( Bergfalte ) blau und konkave Faltlinien ( Talfalte ) rot gezeichnet. Konstruktionselemente sind grün. Verbindungsfalze etwas dunkler getönt. Maßangaben sind Verhältnismaße Dreiecke Aus einem DIN A5 Papier ergibt sich ein Doppeldreieck: Doppeldreieck Der eingezeichnete Winkel λ bei den Verbindungsfalzen sollte etwa 30 messen. Es sind insgesamt 1 solcher Bauteile erforderlich, also bei Verwendung von drei Farben je vier. 4.. Vierecke Aus einem DINA5 Papier ergeben sich zwei Vierecke. Zwei Drachenvierecke Wegen der Doppelwandigkeit sind insgesamt zwölf Vierecke erforderlich, je vier von jeder Farbe.

6 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 6/9 Die folgende Abbildung zeigt das fertige Modell. Modell 5 Technisches Der Zusammenbau der Bauteile ist nicht ganz einfach. Es empfiehlt sich zuerst ein Gesellenstück. 5.1 Tetraeder Wir tauchen ein Kantenmodell des Tetraeders in die Seifenlauge. Die entstehende Minimalfläche hat einen einzigen Verzweigungsknoten, den Mittelpunkt. Die Verbindungen zu den Tetraederecken sind die Verzweigungskanten. Situation im Tetraeder Die Minimalfläche besteht aus sechs Dreiecken, welche dieselbe Form haben wie die Dreiecke bei der Minimalfläche des Oktaeders.

7 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 7/9 Minimalfläche Die Minimalfläche besteht aus vier nach innen gerichteten Pyramiden, welche die Spitze gemeinsam haben (Mittelpunkt). Wir können daher mit sechs Doppeldreiecken, je zwei in jeder Farbe, die Minimalfläche des Tetraeders zusammenbauen. Der Zusammenbau ist relativ einfach. Modell der Minimalfläche des Tetraeders 5. Kollapsmodell Beim Oktaeder und beim Tetraeder haben wir dieselben vier Pyramiden. Wenn wir also die vier Pyramiden des Oktaeders je um ihre Höhe gleich orientiert drehen und gleichzeitig den Abstand zum Mittelpunkt reduzieren, kollabiert das Oktaeder zum Tetraeder. 5.3 Ausblick Gibt es ein Modell, das ohne Leim oder Fixierklammern auskommt?

8 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 8/9 6 Flächenvergleiche Wir berechnen den Flächeninhalt A min unserer Minimalfläche. Für eines der Dreiecke gilt: Für eines der Vierecke gilt: Aus cos( α ) = 1 3 folgt sin ( α ) = 3 A Dreieck = 1 A Viereck = 3 A Viereck = 3 Für die Minimalfläche erhalten wir: 1 = sin( α ). Somit wird: = 1 6 A min = 1A Dreieck + 6A Viereck = 3 + = Wir vergleichen nun mit der Fläche, welche sich ergibt, wenn wir die Oktaederkanten mit dem Mittelpunkt verbinden. Wir haben dann drei sich paarweise orthogonal durchdringende Quadrate der Seitenlänge. Mittelpunktsebenen Für den Flächeninhalt der Gesamtfläche finden wir: Somit ist: A Mittelpunktsebenen = 3 = 6 A min < A Mittelpunktsebenen

9 Hans Walser: Modell der Minimalfläche im Oktaeder 9/9 7 Reduzierte Symmetrie Während die Minimalfläche des Tetraeders die gleiche Symmetriegruppe hat wie das Tetraeder, haben wir bei der Minimalfläche des Oktaeders nur die Symmetriegruppe des Tetraeders. Wir haben also einen Symmetrieverlust. Das ist allerdings nicht überraschend, da wir eine Dimension tiefer einen analogen Sachverhalt haben. Der Steinerbaum des regelmäßigen Dreiecks hat dieselbe Symmetriegruppe wie das Dreieck. Steinerbaum des Dreieckes Beim Quadrat sieht die Situation aber anders aus. Steinerbaum des Quadrates Der Steinerbaum des Quadrates hat nur noch die Symmetriegruppe des Rechtecks. Beim Quadrat gibt es noch einen zweiten Steinerbaum, welcher aus dem gezeichneten Steinerbaum durch eine Vierteldrehung entsteht. Literatur [Limperg 011] Limperg, Gerd: Steinerbäume (auch dreidimensionale) im Experiment. MNU, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 64/5 ( ) Seiten