Kürzeste Wege Mathematik ist schön 4

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1 E R L Ä U T E R U N G E N Z U D E N K A L E N D E R N M A T H E M A T I K I S T S C H Ö N Kürzeste Wege Mathematik ist schön Der FERMAT-Punkt eines Dreiecks Der französische Mathematiker PIERRE DE FERMAT ( ) stellte dem italienischen Gelehrten EVANGELISTA TORRICELLI (608 67) das Problem, welcher Punkt eines Dreiecks die Eigenschaft hat, dass die Summe der Abstände dieses Punktes von den drei Eckpunkten minimal ist. TORRICELLI konnte das Problem lösen. Sein Schüler VINCENZO VIVIANI 6 70) veröffentlichte diese Lösung im Jahr 659. In der Literatur findet man für den zu bestimmenden Punkt sowohl die Bezeichnung FERMAT-Punkt als auch TORRICELLI-Punkt. Wenn das Dreieck ABC keinen Winkel hat, der größer ist als 0, dann kann man wie folgt vorgehen: Man erhält den gesuchten Punkt, indem man über jeder der Seiten a, b, c des Dreiecks ein gleichseitiges Dreieck errichtet und jeweils den nicht auf den Seiten a, b, c liegenden Eckpunkt der gleichseitigen Dreiecke mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt A, B, C des Ausgangsdreiecks ABC verbindet. Diese Verbindungslinien (rot) verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt F, der die gewünschte Eigenschaft hat. Die am Punkt F auftretenden Winkel haben alle eine Winkelgröße von 60, also haben die Verbindungslinien von F zu den drei Eckpunkten jeweils einen Winkel von 0. Dem deutschen Mathematiker JOSEPH EHRENFRIED HOFMANN (900 97) verdanken wir den folgenden wunderschönen geometrischen Beweis dazu (veröffentlicht 99): Zunächst wählt man irgendeinen Punkt F im Innern des Dreiecks ABC, den man mit den Eckpunkten verbindet. Die Summe der Abstände des Punktes F von den Eckpunkten ergibt sich also aus den Längen der Strecken AF (blau), BF (grün) und CF (rot). Im nächsten Schritt betrachtet man z. B. das Dreieck ABF, von dem zwei Seiten für die Summe der Abstände benötigt werden. Dreht man das Dreieck um 60 um den Punkt B, dann erhält man das kongruente Dreieck C BF. Wegen der Drehung um 60 entsteht ein gleichseitiges Dreieck F BF, in dem also die Seite FF genauso lang ist wie die Seite BF. Da C F genauso lang ist wie AF, ergibt sich ein Streckenzug C F F C, dessen Gesamtlänge genauso groß ist wie die Summe der Abstände des Punktes F von den drei Eckpunkten A, B, C. Seite / Heinz Klaus Strick 06

2 Die Länge des Streckenzugs ist genau dann minimal, wenn alle Teilstrecken C F, F F und FC auf der Strecke C C liegen, also wenn die vier Punkte C, F, F und C auf derselben Geraden liegen. Dies ist der Fall, wenn die beiden Winkel bei F zusammen einen Winkel von 80 ergeben, ebenso wie die beiden Winkel bei F: (C F B) + (BF F) 80, also wegen (BF F) 60 : (C F B) 0, und (BFC) + (F FB) 80, also wegen (F FB) 60 : (BFC) 0. Da (C F B) genauso groß ist wie (BFC), folgt, dass auch die anderen Winkel am Punkt F eine Winkelgröße von 0 haben. Diese Überlegungen kann man analog auch für die anderen beiden Seiten des Ausgangsdreiecks anstellen, dort gleichseitige Dreiecke errichten und die entsprechenden Verbindungslinien zeichnen. Der FERMAT-Punkt ist der gemeinsame Punkt der drei Verbindungslinien. Es gibt aber noch eine weitere einfache Konstruktionsmöglichkeit für den FERMAT-Punkt: Gemäß dem Satz über Mittelpunkts- und Umfangswinkel ergänzen sich die Umfangswinkel über und unter einer Sehne eines Kreises zu 80. (BFA) 0 und (BC A) 60 liegen über bzw. unter der Sehne AB. Daher liegt der Punkt F auf dem Umkreis des gleichseitigen Dreiecks AA B. Man kann den gesuchten Punkt also auch dadurch erhalten, dass man über einer Seite des Ausgangsdreiecks ABC ein gleichseitiges Dreieck errichtet und zu diesem den Umkreis zeichnet. Die Verbindungsstrecke des äußeren Eckpunktes des gleichseitigen Dreiecks mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Ausgangsdreiecks schneidet den Umkreis des gleichseitigen Dreiecks im Punkt mit der Minimaleigenschaft. Oder man zeichnet zur Bestimmung des FERMAT-Punkts nur die drei gleichseitigen Dreiecke und deren Umkreise. Wenn einer der Winkel des Ausgangsdreiecks eine Winkelgröße von 0 hat, dann verlaufen zwei der Verbindungslinien der äußeren Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke zu den gegenüberliegenden Eckpunkten auf den Seiten des Ausgangsdreiecks. In der Abbildung links ergibt sich also der Punkt C als FERMAT-Punkt. Wenn im Dreieck ein Winkel mit einer Winkelgröße über 0 auftritt, macht die o. a. Konstruktion keinen Sinn. Im Beispiel der Abbildung rechts bleibt deshalb C derjenige Punkt, zu dem die Summe der Abstände zu den drei Punkten minimal ist. Seite / Heinz Klaus Strick 06

3 Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a und b ist die Berechnung der Summe der kürzesten Verbindungen der Eckpunkte zum FERMAT-Punkt besonders leicht möglich, da zusätzliche rechtwinklige Dreiecke ergänzt werden können: ( b + a ) + ( a) b² + ab a² AA ' + und ( a + b ) + ( b) a² + ab b² BB ' + Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit α 0, also a c und b c (vgl. obere Abb.), ergibt sich für die Summe der kürzesten Verbindungen: AA ' c² + c² + c², also c 7 a 7 AA. ' Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit α 5, also a b c (vgl. untere Abb.), ergibt sich: AA ' + a + c. Aus der Abb. lässt sich aber auch ablesen: CC c + c ( + ) c woraus sich auch die Beziehung + + ergibt (was durch Quadrieren leicht zu überprüfen ist). ', In einem Dreieck, bei dem keiner der Winkel größer ist als 0, kann man allgemein die Summe der kürzesten Verbindungen mithilfe des Kosinussatzes berechnen: L AA ² BB ² CC ² c² + a² ca cos(β + 60 ) a² + b² ab cos(γ + 60 ) b² + c² bc cos(α + 60 ) Für den Winkel α ergibt sich beispielsweise mithilfe des Additionstheorems für den Kosinus: cos(α + 60 ) cos(α) cos(60 ) sin(α) sin(60 ) α ) sin( α ). Andererseits gilt bzgl. des Winkels α a² b² + c² bc cos(α), also bc cos(α) b² + c² a². Hieraus folgt dann b² + c² ( b² + c² a²) + bc cos( L b² + c² bc cos( α + 60 ) b² + c² bc sin( α ) ( cos( α ) sin( α )) ( a² + b² + c²) + bc Analog die anderen Gleichungen. Somit ergibt sich insgesamt: Seite / Heinz Klaus Strick 06 sin( α ) L a² + b² + c²) + bc sin( α ) ( a² + b² + c²) + ca sin( β ) ( a² + b² + c²) + ab ( sin( γ )

4 Die Abstände der Eckpunkte zum FERMAT-Punkt können ebenfalls mithilfe des Kosinussatzes beschrieben werden: c² u² + v² uv cos(0 ) u² + v² + uv und a² v² + w² vw cos(0 ) v² + w² + vw b² w² + u² wu cos(0 ) w² + u² + wu, also u² + uv + ( ½ v)² (u + ½ v)² c² ¾ v², d. h. u c² v ² v und w² + wv + ( ½ v)² (w + ½ v)² a² ¾ v², d. h. w a² v ² v Aus der Kenntnis von L bei gegebenen Seiten a, b, c (und hieraus bestimmtem Winkel α, β oder γ, s. o.) und wegen L u + v + w erhält man so eine Gleichung mit der Variablen v, die man etwa mithilfe eines CAS lösen kann: L u + v + w c² v ² v + v + a² v ² v, also L c² v² + a² v Hiermit kann man dann die Werte von u und w berechnen. ² Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit α 0 und a c ergibt sich aus 7 L c a 7 die Gleichung: a a² v ² + a² v ² 7 Für a (also c ) ergibt sich v 0,756 und hieraus weiter u,5 und w 0,78. Im Falle eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks mit α 5 und a b c folgt aus ( + ) c ( + ) a L die Gleichung: ( ) ² + a a v² + a² v Für a (also c ) ergibt sich v 0,86 und hieraus weiter u 0,86 und w 0,99. ² Das geometrische Problem der minimalen Abstandssumme hat eine praktische Anwendung: Die drei Punkte können beispielsweise Ortschaften (oder nur einzelne Häuser oder Fabriken) darstellen. Dann kann man mithilfe des FERMAT-Punkts ein Netz von Wegen entwerfen, bei dem die Gesamtlänge minimal ist. Im Folgenden sollen weitere Untersuchungen eines Wegenetzes mit minimaler Länge vorgestellt werden. Beispiel Zwei Ortschaften A und B, die unterschiedlich weit von einer Bundestraße entfernt liegen, sollen miteinander und mit einer Bundesstraße verbunden werden. Wohin muss der Verzweigungspunkt F gelegt werden, damit das Wegenetz eine möglichst kurze Gesamtlänge hat? Abstand von der Bundesstraße: Ortschaft A:,0 km, Ortschaft B:,5 km Horizontaler Abstand der beiden Orte:,0 km Bei dieser einfachen Modellierung werden Aspekte wie Häufigkeit der Nutzung oder Umweltbelastung nicht berücksichtigt. Hierzu hat HANS WALSER interessante Überlegungen veröffentlicht: Optimales_Verkehrsnetz/Optimales_Verkehrsnetz.htm Seite / Heinz Klaus Strick 06

5 Lösung: Gesucht ist ein Punkt F, von dem aus die Strecke AB unter einem Winkel von 0 gesehen wird, außerdem die Winkelgröße der Winkel zwischen der Einmündung C der zu planenden Straße in die Bundesstraße und den Ortschaften A bzw. B jeweils 0 beträgt. Dazu konstruiert man ein gleichseitiges Dreieck ABE über der Strecke AB und fällt das Lot vom Punkt E auf die Gerade, welche den Verlauf der Bundesstraße darstellt. Vom Fußpunkt C des Lotes aus werden dann nach beiden Seiten Winkel von 0 abgetragen und die freien Schenkel solange parallel verschoben, bis sie durch A bzw. B verlaufen. Ergebnis: AF,809 km, BF,809 km, CF,095 km, also: Gesamtlänge ca. 6,7 km. Zum Vergleich: AB + Abstand A von der Bundestraße: 7,0 km das ist deutlich länger. Wie kann die Berechnung der Lage des Punktes F erfolgen? Um F zu bestimmen, kann man auch den Umkreis des gleichseitigen Dreiecks zeichnen. Dieser schneidet das Lot EC in F, vgl. Abb. links. Eine andere Herangehensweise kann mithilfe einer Tabellenkalkulation erfolgen: Bei der Grafik rechts wurde numerisch untersucht, für welchen Punkt des Umkreises des gleichseitigen Dreiecks die Gesamtlänge des Streckennetzes minimal ist. Dieser Punkt wurde dann mit der Grundlinie verbunden. Minimale Streckennetze in Vielecken STEINER-Netze Wenn die zu verbindenden Orte Eckpunkte eines Vielecks sind, kommt man nur in Ausnahmefällen mit einem zusätzlichen Punkt im Innern des Vielecks aus. Beim Viereck müssen i. A. zwei Hilfspunkte bestimmt werden, damit ein Streckennetz mit möglichst geringer Gesamtstreckenlänge erstellt werden kann. Diese Hilfspunkte werden als STEINER-Punkte bezeichnet (nach dem Schweizer Mathematiker JAKOB STEINER, ), das entstehende Wegenetz als STEINER-Netz. Eigentlich handelt es sich von der Struktur her nicht um ein Netz, sondern um einen Baum mit Verzweigungen (Ästen), geschlossene Wege treten nicht auf. In der Literatur wird daher auch der Begriff STEINER-Baum verwendet. Die zu den einzelnen STEINER-Punkten führenden drei Strecken bilden dabei untereinander jeweils einen Winkel von 0. Seite 5 / Heinz Klaus Strick 06

6 Der einfachste Fall liegt vor, wenn das Viereck ein Quadrat ist. Würde man die Diagonalen des Quadrats mit Seitenlänge a als Verbindungstrecken der vier Eckpunkte verwenden, ergäbe sich für das Netz die Gesamtlänge L Diagonalen a, 88 a Die auftretenden Strecken lassen sich wegen der 0 -Winkel an den Verzweigungspunkten leicht bestimmen: Die vier von den Ecken zu den Punkten E und F verlaufenden Strecken der Länge s können als Seiten von gleichseitigen Dreiecken aufgefasst werden. Die Länge der Strecke EF ergibt sich dann aus der Differenz der Seitenlänge a und der zweifachen halben Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks: a s a s und hieraus a s + ( a s) + a + a, 7 Aus h folgt ( ) a Im Vergleich zum Netz aus Diagonalen ist das STEINER-Netz um LNetz + 0,0,% L Diagonalen kürzer. Die Überlegungen am Quadrat können teilweise für ein Rechteck der Breite b und der Höhe a übernommen werden: L Diagonalen a² + b² a s + ( b s) + b a + b In der Grafik rechts gilt a 5 LE, b 60 LE, also L 50 LE, 7, 9 Diagonalen L LE. Netz Das STEINER-Netz ist um ca. 8,0 % kürzer als das Netz aus Diagonalen. Zu diesem Rechteck ist noch ein zweites STEINER-Netz denkbar, vgl. untere Abbildung. Hierfür gilt entsprechend: b + a 8,9 LE. Es ist ebenfalls kürzer als das Diagonalen-Netz (um 0,7 %). Wenn a < b, dann ist das erste STEINER-Netz stets kürzer als das zweite STEINER-Netz. Wenn a b, entfällt die vertikal verlaufende Strecke im zweiten STEINER-Netz und dieses stimmt daher mit dem Diagonalennetz überein (vgl. Abb. rechts). Für a < b existiert dann nur das erste STEINER-Netz. Seite 6 / Heinz Klaus Strick 06

7 Betrachtet man allgemein ein Rechteck mit b k a, dann ergeben sich folgende Längen: L Diagonalen a² + ( k a)² a + k² und ( + k ) a Für das Verhältnis der beiden Längen gilt: L L Netz Diagonalen ( + k) a a + k² + k + k² Der Quotient nimmt maximal den Wert an, nämlich für k 0, 577 (vgl. Sonderfall). Für sehr große k nähert sich der Quotient von oben dem Grenzwert 0,5. Auch bei gleichschenkligen Trapezen lassen sich i. A. zwei STEINER-Netze einzeichnen: Der Basiswinkel (DAB) (ABC) des Trapezes werde mit α bezeichnet, der Komplementärwinkel (ADC) (BCD) mit β ( 80 α). Zwischen a, b, c, α und der Höhe h des Trapezes bestehen dann die Beziehungen: cos( a b ) c h c α, sin(α ) und h² c² ¼ (a b)² Im Dreieck AED (und analog im Dreieck BCF) gilt gemäß Sinussatz: y c sin( α 60 ) sin(0 ), x c sin( β 60 ) sin(0 ), also gilt für das erste STEINER-Netz: ( x + y) + ( b y ) b + x + y. Für das Diagonalen-Netz gilt: L Diagonalen h² + ( a + b)² c² + ab. Wegen sin(β 60 ) sin(0 α) sin(0 ) cos(α) sin(α) cos(0 ), sin(α 60 ) sin(α) cos(60 ) sin(60 ) cos(α) und sin(0 ) sin(60 ), cos(60 ) ½, cos(0 ) ½ kann man den Term b + x + y auch wie folgt notieren: a + b) + c² ( a b)² ( Seite 7 / Heinz Klaus Strick 06

8 Für das zweite STEINER-Netz gilt: a u und b v u a und b, also v und daher L ( ) ( Netz u + v + h u v) h +,5 ( u + ), also v a + b) + c² ( a b)² ( Aus dem Vergleich der beiden Terme für die Netzlängen ergibt sich: Das erste STEINER-Netz ist kürzer als das zweite STEINER-Netz, wenn a² + b² > c². Die folgenden Abbildungen zeigen die beiden gleich langen Netze (also a² + b² c²) für a 6, b und c 6 5,0: Bei dem speziellen gleichschenkligen Trapez mit a b c ist α 60 ; dann liegen die zugehörigen Strecken des ersten STEINER-Netzes auf drei der Trapezseiten, also c + b a b Für α < 60 sind dies auch die Netze mit minimaler Gesamtlänge. Das zweite STEINER-Netz kann nur gezeichnet werden, wenn h ½ (u + v), also wenn h ( a + b). Im Falle h ( a + b), also a² + b² ab c², stimmt es mit dem Diagonalen-Netz überein. 6 Die beiden folgenden Trapeze erfüllen diese Bedingung: Beispiel (Abb. links): a 6, b, c 8 /,055 Beispiel (Abb. rechts): a 6, b c (also α 60 ) 6 Seite 8 / Heinz Klaus Strick 06

9 Da Rauten punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen sind und durch die Diagonalen in vier zueinander kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden, ist die Bestimmung der STEINER-Netze leicht möglich: Es genügt, das Netz für zwei einander gegenüberliegende rechtwinklige Dreiecke zu bestimmen (vgl. die oben stehenden Ausführungen hierzu). Die beiden Abbildungen zeigen STEINER-Netze für eine Raute mit α 75. Das alternativ mögliche STEINER-Netz kann auch durch Drehung und Spiegelung der Figur erhalten werden; es hat dieselbe Länge. α 50 α 60 STEINER-Netze in beliebigen Vierecken Man zeichnet über zwei einander gegenüberliegenden Viereckseiten jeweils ein gleichseitiges Dreieck und verbindet dann die äußeren Eckpunkte dieser gleichseitigen Dreiecke miteinander. Da dies auf zwei Arten möglich ist, ergeben sich zwei alternative STEINER-Netze. Im Beispiel des Vierecks rechts sind a 8 LE, b LE, d 7 LE, α 70 und β 75 gewählt worden. Für die Länge der beiden STEINER-Netze gilt: L rot 8, LE und L violett 7,7 LE Wie WILFRIED HAAG (Wege zu geometrischen Sätzen, Klett, 00) ausführt, haben die beiden möglichen Netze genau dann die gleiche Länge, wenn die Vierecke orthodiagonal sind, d. h., wenn die Diagonalen des Vierecks sich orthogonal schneiden. Dies ist der Fall, wenn für die Vierecksseiten gilt: a² + c² b² + d². Seite 9 / Heinz Klaus Strick 06

10 STEINER-Netz im regelmäßigen 5-Eck Benötigt werden drei zusätzliche Punkte im Innern der Figur. Das rechts abgebildete Netz wurde so konstruiert, dass zunächst eine Symmetrieachse durch den oben liegenden Eckpunkt und dazu parallele Geraden durch die unteren beiden Eckpunkte eingezeichnet wurden. Die Lage der Verzweigungspunkte wurde dann aufgrund der 0 -Bedingung ermittelt. Welche Rechnungen sind hier notwendig? STEINER-Netze im regelmäßigen 6-Eck Es ist naheliegend, die sechs Eckpunkte mit dem Mittelpunkt der Figur zu verbinden und in jedem zweiten entstehenden gleichseitigen Dreieck jeweils den Fermat-Punkt zu bestimmen. Dieses so entstehende Netz hat jedoch eine größere Gesamtlänge als das STEINER-Netz, das aus fünf der sechs Seiten des regelmäßigen 6-Ecks besteht (benachbarte Seiten bilden jeweils 0 -Winkel). Wenn in einer Anwendungssituation z. B. sechs Ortschaften miteinander verbunden werden müssten, wäre das kürzeste Netz rechts für die Betroffenen kaum akzeptabel. a L a 5, 96 a L 5 a Seite 0 / Heinz Klaus Strick 06

11 Hinweise Zur Konstruktion von STEINER-Netzen, auch für beliebige, nicht notwendig regelmäßige n-ecke, sei auf die schönen Beiträge von HANS WALSER verwiesen Im ersten Beitrag sind u. a. auch Anleitungen zur experimentellen Untersuchung von minimalen Wegenetzen mithilfe einer Seifenlauge enthalten. Im dritten Beitrag wird an einem Beispiel mit sieben Punkten erläutert, wie man hierzu ein STEINER-Netz finden kann. Abdruck der Grafiken mit freundlicher Genehmigung von HANS WALSER Viele Anregungen für diese Erläuterungen zum Thema habe ich durch die posthum veröffentlichten Untersuchungen von HANS ENGELHAUPT erhalten, die von der Website des Vereins Begabtenförderung Mathematik e. V. ( heruntergeladen werden können: Seite / Heinz Klaus Strick 06