III. BUCH PYRAMIDEN. 2. Der PYTHAGORAS

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1 III. BUCH PYRAMIDEN 2. Der PYTHAGORAS

2 Eulers Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Satz des Pythagoras Nun hat ja ein Viereck i. a. weder einen Inkreis noch einen Umkreis, während jede Pyramide sowohl eine die vier Begrenzungsdreiecke berührende >>Inkugel<< des Radius r als auch eine durch die vier Ecken gehende >>Umkugel< des Radius R hat. Abb. 48: Rechtwinklige Pyramide im dreidim. rechtwinkligen Koordinatensystem mit einer Ecke im Ursprung und den anderen drei auf den Koordinatenachsen Die Einheitskugel mit dem Zentrum M =(1,1,1) ist die alle vier Dreiecks-Begrenzungsflächen berührende Inkugel

3 Der Einfachheit halber beginnen wir mit der dem rechtwinkligen Dreieck (dem halben Rechteck) entsprechenden rechtwinkligen Dreieckspyramide (die ein Drittel des Volumens eines Quaders enthält), den Eulerschen Tetraedern. Drei der vier begrenzenden Dreiecke sollen (an der kubischen Ecke) rechtwinklig sein! Die Dreieckspyramide ist also der von einer Ebene ausgeschnittene Teil eines Oktanden (im zweidimensionalen Koordinatensystem war es ein Quadrant), oder ein durch die Ecke geschnittener Backstein. Sind die Achsenabschnitte a, b und c, dann gilt a² + b² = f², a² + c²= d² und b² + c²= e², wobei a und d, b und e sowie c und f Gegenkanten sind, also Kanten ohne gemeinsame Ecke. Diese rechtwinklige Dreieckspyramide hat also drei Katheten oder drei rechtwinklige Kathetenflächen (kurz K-Flächen) und drei Hypotenusen bzw. eine von ihnen aufgespannte Hypotenusen-Fläche (die von mir kurz H-Fläche genannt wird)! Die H- Fläche ist die analog wie bei der Hypotenuse dem rechten Winkel (oder den drei rechten Winkeln) gegenüberliegende Fläche, während die drei anliegenden rechtwinkligen Dreiecke dann K-Dreiecke heißen. Es gilt der dreidimensionale Satz des Pythagoras 1 : Das Quadrat der doppelten Hypotenusen-Fläche ist gleich der Summe der Quadrate der drei doppelten Kathetenflächen! 1 Satz von Gua in den Pariser Memoiren von ist eigentlich aber von Timseau!

4 Der Kehrwert der nicht-trivialen Körperhöhe h K zum Quadrat ist übrigens analog dem Dreieck gleich der Summe der Kehrwerte der drei Katheten-Quadrate: h Körper - I = a - I + b - I + c - I Gerade das Volumen ist nun besonders einfach V = 1/6 abc und die Oberfläche ist O = ½(ab+ac+bc) + H-Dreiecksfläche = ½(ab+ac+bc) + ½ [(a²b²+a²c²+b²c²)] Beispiel: was wir später noch beweisen werden! a²b²+a²c²+b²c² = 2[(a²+b²)(a²+c²)+(a²+b²)(b²+c²)+(a²+c²)(b²+c²) - [(a²+b²)²+(a²+c²)²+(b²+c²)²] a=3, b=6 und c=9 liefert als Zweierprodukte 18, 27 und 54 und 18²+27²+54² = 63². Die doppelte Hypotenusenfläche ist gerade 63 und O = ½( ) = 81 h = 3V/A Hypo = 81/(½63) = [aibici/(aibi+aici+bici)] = 162/63 = 18/

5 Dass die Schnittkanten der Oktanden-Schnittebene, die Hypotenusen d, e und f also auch noch ein rechtwinkliges Dreieck bilden ist nicht möglich, denn o.b.d.a. a² + b²+ a² + c²= b² + c² ergibt a=0 (senkrechter Schnitt). Somit folgt, dass dieses Hypotenusen-Dreieck mit den Seiten d, e und f immer spitzwinklig sein muss! Besonders einfach werden die Mitten der In- und Umkugeln: Da das Zentrum der Inkugel von allen Koordinatenebenen denselben Abstand r haben muss, der dann auch derselbe wie zur H-Fläche ist, sind seine Koordinaten M i = (r; r; r) Da V = Or/3 ist, folgt für den Inkugelradius r = 3V /O Der rechtwinklige Tetraeder mit den Ecken (a;0;0), (0;b;0) (0;0;c) und (0;0;0) hat als Inkugelmittelpunkt M i = (r; r; r) und als Umkugelzentrum M u = (a/2; b/2; c/2) Beispiel: a=c=4, b=3 ergibt d=f=5 und e=4 2, V = 8 und O= 2x6 + ½16 + ½x4 2x 17 = Der Inkugelradius ist r=3v/o = 24/( )

6 Entsprechend dem rechtwinkligen Dreieck ist das Umkugelzentrum der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten-EBENEN der drei Katheten, was zugleich der Schnittpunkt der Raumdiagonalen des Quaders der Kantenlängen a, b und c ist. Der Umkugelradius R ergibt sich als Länge des Ortsvektors vom Umkugelmittelpunkt M u = (a/2; b/2; c/2) zu R = ½ (a 2 +b 2 +c 2 ) als halbe Raumdiagonalenlänge. Aber es gibt auch Unterschiede zum rechtwinkligen Dreieck: War das Umkreiszentrum die Hypotenusen-Mitte, so ist nun das Umkugelzentrum nicht mehr der Schwerpunkt der Hypotenusendreiecksfläche! Ja, M u liegt überhaupt nicht auf dem Hypotenusendreieck 2 und die Hypotenusenfläche liegt nicht mehr in dem größten Kugelquerschnittskreis, wie das beim rechtwinkligen Dreieck war, bei dem die Hypotenuse Umkreisdurchmesser ist: Eine Entsprechung zum Thaleskreis existiert nicht mehr! 2 x/a + y/b + z/c =1 enthält nicht (a/2; b/2; c/2)

7 Besonders einfach werden die Mitten der In- und Umkugeln: Da das Zentrum der Inkugel von allen Koordinatenebenen denselben Abstand r haben muss, der dann auch derselbe wie zur H-Fläche ist, sind seine Koordinaten M i = (r; r; r) Da V = Or/3 ist, folgt für den Inkugelradius r = 3V /O Beispiel: a=c=4, b=3 ergibt d=f=5 und e=4 2, V = 8 und O= 2x6 + ½16 + ½x4 2x 17 = Der Inkugelradius ist r=3v/o = 24/( ) Der rechtwinklige Tetraeder mit den Ecken (a;0;0), (0;b;0) (0;0;c) und (0;0;0) hat als Inkugelmittelpunkt M i = (r; r; r) und als Umkugelzentrum M u = (a/2; b/2; c/2)

8 Beispiel für den Umkugelradius R: a=c=4, b=3 ergibt d=f=5 und e=4 2 Das Zentrum der Umkugel M u steht senkrecht auf der Hypotenusenmitte des rechtwinkligen Basisdreiecks der (x-y)-ebene mit den Seiten 4, 3 und 5. (Alle Kugeln durch den Thaleskreis dieses Dreiecks haben ihr Zentrum auf dieser Senkrechten!) M u liege um h über dem Grunddreieck: 2,5²+h²= R² Die Entfernung von M u zur Spitze der Dreieckspyramide muss so groß sein, wie die Entfernung zu den Basisdreiecks-Ecken: (4-h) ² +x² = R², wobei x die Länge von M u bis zu seiner Projektion auf die z-achse ist, gleich der Entfernung der Hypotenusenmitte bis zum Ursprung, also der Umkreisradius des Basisdreiecks und somit ebenfalls 2,5. Es folgt aus 2,5²+h² =(4-h) ² +2,5² der z-wert des Umkugelzentrums h=2 und somit R² = 2,5² + 4 = 10,25, also R = ½ 41 M u =(2 ; 1,5 ; 2) hat zu den vier Ecken (0;0;0) (4;0;0) (0;3;0), (0;0;4) der Pyramide die gleiche Entfernung, nämlich ½ 41. Andererseits ist 41 = = 4R² Analog zum rechtwinkligen Dreieck ist bei der Eulerpyramide die Cosinusquadratsumme cos² A + cos² B+ cos² C =1 der drei Ebenenwinkel zu den Koordinaten-Ebenen genau 1 (und daher ist die Sinusquadratsumme 2): cos A = ab/ [(a²b²+a²c²+b²c²)] cos B = bc/ [(a²b²+a²c²+b²c²)] cos C = ac/ [(a²b²+a²c²+b²c²)]

9 sin A = c [ (a²+b²)/ (a²b²+a²c²+b²c²)] sin B =a [ (b²+c²)/ (a²b²+a²c²+b²c²)] sin C = b [ (a²+c²)/ (a²b²+a²c²+b²c²)] Entsprechen ergeben sich der Tangens zb. tan A = (a²+b²)/(ab) Für beliebige Tetraeder gilt der entsprechende verallgemeinerte Satz des Pythagoras (Cosinussatz): Das Quadrat einer Pyramidenfläche ist gleich der Summe der drei anderen Flächenaudrate vermindert um die doppelten Produkte der je zweier Flächen mal dem Cosinus der sie einschießenden Ebenen-Winkel 3 d² = a²+b²+c²- 2ab cos (A, B) -2ac cos (A, C) -2bc cos (B,C) Monge beweis sogar: Das Quadrat des Flächeninhalts einer beliebigen Figur ist gleich der Summe der Inhalte ihrer Projektionen auf drei beliebige andere aufeinander senkrecht stehenden Ebenen. Für Euler-Tetraeder mit den 3 rechten Ebenenwinkeln wird daraus für die größte Fläche d (Hypotenusen-Fläche) eben der 3D-Pythagoras: d² = a²+b²+c² 3 Beispiel: Die Ebene durch die Dreiecksfläche A des Inhalts a schließt mit der Ebene durch die Dreiecksfläche B des Flächeninhalts b den Ebenen-Winkel (A, B) ein

10 Übungsaufgaben 1.) Vervielfache den Achsenabschnitt eines rechtwinkligen Tetraeders um den Faktor n. Dann wird sein Volumen um denselben Faktor n vervielfacht, ebenso zwei Kathetenflächen. Wie verändert sich aber die Oberfläche und die Kugelradien r und R? Verdopplung des x-achsenabschnitts Zeige, dass sich hier bei der Verdopplung des x-achsenabschnitts für die Achsenschnitte 3, 6 und 9 (siehe Abb. 51) der Umkugelradius um den Faktor (17/14) - bzw. allgemein um {1+(nI-1)aI/ [ai+bi+ci]}- vergrößert, und der Inkugelradius r sich um den Faktor vergrößert. (2a+b+c) [(2ab+2ac+bc) - (4a²b²+4a²c²+b²c²)] / / {(a+b+c) [(ab+ac+bc) - (a²b²+a²c²+b²c²)]} 2.) Bei einer Scherung wird die Spitze C z.b. statt (0; 0; c) zu (x; y; c) und das Volumen bleibt gleich. Berechne die Oberfläche der gescherten Pyramide und damit ihr Inkugelradius 3V/O. Schere nochmals an einer anderen Ecke und wiederhole die Berechnung der Oberfläche einer nun allgemeinen Pyramide

11 3.) Drei Ortsvektoren a, b und c bilden zusammen mit dem Ursprung die Pyramide ABCO. Zeigen Sie, dass der Inkugelradius die Determinante der drei Vektoren a, b und c dividiert durch die Summe der Längen der Kreuzprodukte (Vektorprodukte) von a x b, a x c, b x c und (b-a) x (c-a) ist (falls a, b und c positiv orientiert sind, sonst Betrag der Determinante nehmen)! r = det(a, b,c) / { axb + axc + bxc + (b-a)x(c-a) } 4.) Zeige, dass das Volumenverhältnis gleich dem Produktverhältnis der drei Seitenkanten zur Spitze O ist