Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe Modul 07 Die fünf platonischen Körper Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung ii Inhalt Bastelstunde... Origami.... Beispiel mit zwei Teilen.... Der Puste-Würfel... Flechtmodelle des Würfels.... Mit drei Streifen.... Mit vier Streifen... Das Tetraeder.... Skelettmodell Tetraeder.... Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Tetraederhütchen aus einem dreieckigen Origami Papier..... Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Das Oktaeder Oktaeder aus einem einzigen rechteckigen Papierblatt Steckmodell eines Oktaeders mit zwei Teilen... Zahlentetraeder.... Spielregel.... Beispiel.... Hilfe zur Selbsthilfe Kanten färben: Tetraeder Kanten färben: Würfel Sudokubus Spielregeln Beispiele Sudokubus Sudokubus Sudokubus Ergebnisse Sudokubus Sudokubus Sudokubus... Modul 07 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe Sommer 007 Probeausgabe Frühjahr 009 Grafische Überarbeitung. Erweiterung Frühjahr 0 Keine Änderung last modified:. Januar 0 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 05 Basel

3 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Bastelstunde a) Kantenmodell eines platonischen Körpers b) Seitenflächenmodell eines platonischen Körpers Origami Die japanische Origami-Technik basiert auf quadratischem Papier. Über Origami vgl. [Chatani 98], [Chatani 989], [Fusè 990], [Fusè 99], [Kneißler 99], [Kneißler 999].. Beispiel mit zwei Teilen Zwei Origami-Blätter werden gemäß Muster gefaltet und je zu einem Körbchen aufgebogen. Das getönte Quadrat in der Mitte wird dabei zum Körbchenboden. Die beiden Körbchen stecken wir nun als Boden und Deckel zu einem Würfel zusammen. Beim Zusammenstecken ist ein wechselseitiger Innen- Außen- Rhythmus zu beachten. Talfalt Bergfalt Faltmuster

4 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Falten des einen Teils Zusammenbau. Der Puste-Würfel Für den Puste-Würfel (Aufblas-Würfel) benötigen wir ein einziges Orgami-Blatt. Wir falten wie folgt: () () ()

5 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung () (5) () (7) Faltvorgang () Mittellinien Bergfalt, Diagonalen Talfalt () Waagrechte Mittellinie senkrecht hereinklappen, obere Hälfte kommt nach unten. () Spitze Ecke rechts unten heraufklappen () Ecke auf halber Höhe rechts in Mittellinien hineinklappen (5) Spickel oben in Lasche hineinschieben () Schritte () bis (5) zyklisch für die drei anderen spitzen Ecken wiederholen (7) Oberes und unteres Dreieck nach hinten und nach vorne biegen, am Schluss aber wieder gerade biegen. (8) Unten aufblasen. Nicht erschrecken. Ein Würfel entsteht. Flechtmodelle des Würfels. Mit drei Streifen Das einfachste Flechtmodell des Würfels besteht aus drei Papierstreifen. Jeder Streifen besteht aus sechs Feldern, welche fast Quadrate sind; aus flechttechnischen Gründen (Spielraum) muss die Streifenbreite etwas geringer als die Kantenlänge des Würfels sein. In der Praxis genügt eine Verminderung von ε mm. Die beiden letzten (getönten) Felder der Streifen sind jeweils mit den beiden ersten zu überlappen; sie dienen zur Stabilisierung des Flechtmodells. Würfel aus drei Streifen. Mit vier Streifen Die drei Streifen unserer Flechtmodelle von Würfel und Quader laufen so um diese Körper, wie ein entsprechendes Paket in der Regel verschnürt wird, wobei noch eine dritte Schnur als Äquatorschnur dazu gedacht werden muss. Nun gibt es, etwa bei

6 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Geschenkpaketen, auch Schrägverschnürungen. Im einfachsten Fall des Würfels liefert eine solche schräge geschlossene Schnur ein regelmäßiges Sechseck. Da jedes dieser Sechsecke eine Würfeldiagonale als Achse besitzt, gibt es insgesamt vier solcher Sechsecke. Daraus läßt sich ein Flechtmodell mit vier Schrägstreifen ableiten. Verschnürungen Das Tetraeder. Skelettmodell Tetraeder (vgl. [Mitchell 997]) Würfel aus vier Streifen Material: Blätter DIN A (ein Blatt pro Kante) Die Figur zeigt die benötigte Faltstruktur im offenen Blatt von der Außenseite. Bergfalt Talfalt Faltstruktur Die sechs Module werden wie folgt gefaltet:

7 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 5 5 Falten eines Moduls Zusammenstecken der Module: Die Module haben die Form eines gleichschenkligen Dreieckes. Die Basislinien werden die Tetraederkanten. An den Schenkeln hängt je eine Lasche mit äußerer Konterlasche. Ebenfalls findet sich an jedem Schenkel eine Einstecktasche mit innenliegender Lasche und Konterlasche. Die Schenkel werden zu den Strecken von den Tetraederecken zum Tetraedermittelpunkt. An diesen Strecken kommen je drei Module zusammen. Die Laschen werden in zyklischer Reihenfolge in die Taschen gesteckt und im Tascheninnern werden die Konterlaschen umgebogen. Damit können die Laschen nicht mehr herausrutschen. Beim Zusammenstecken ist es zunächst ratsam, mit Büroklammern zu fixieren. Die Büroklammern können am Schluss entfernt werden, das Modell hält selbsttragend.. Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Die folgenden Modelle werden aus einem dreieckigen Origami Papier gebaut. Ein solches dreieckiges Origami Papier kann aus einem rechteckigen Papier (Format DIN A oder US Letter) geschnitten werden. Aus den Resten links und rechts können ebenfalls noch ein (kleineres) dreieckiges Blatt gemäß geschnitten werden.

8 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Herstellung eines dreieckigen Origami Papiers Resteverwertung.. Tetraederhütchen aus einem dreieckigen Origami Papier Wir bauen ein Tetraeder ohne Boden, ein Hütchen also. Die folgende Figur zeigt das effektive Faltlinienbild. Die effektiven Faltlinien sind die Linien, die im fertigen Modell mit der angegebenen Faltrichtung (Bergfalt / Talfalt) vorliegen. Es gibt Faltlinien, die je zur Hälfte Bergfalte und Talfalte sind. Daher ein zweistufiges Vorgehen: zunächst einmal die Faltlinien unabhängig von der Faltrichtung finden, dann in die benötigte Richtung allenfalls umfalten. Die anschließende Figur zeigt, welche Teile im fertigen Modell von außen und von innen sichtbar sind, also die effektiven Außen- und Innenseiten. Bergfalt, von außen gesehen Effektiv von außen sichtbare Teile Talfalt, von außen gesehen Effektiv von innen sichtbare Teile Effektive Faltlinien Effektive Außen- und Innenseiten

9 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 7 Die folgende Figur zeigt das Überlagerungsbild, es gibt bei jedem von außen sichtbaren Teil an, aus wie vielen Papierlagen die Tetraederoberfläche dort besteht. Die gleich bezeichneten Punkte liegen im fertigen Modell aufeinander. Das Papiermodell hat nicht die volle Symmetriegruppe des Tetraeders. Das Modell hat lediglich eine dreiteilige Drehsymmetrie um die auf der virtuellen Grundfläche stehende Höhe. Gemäß Figur hat die Grundfläche die Ecken ABC. Die Punkte D, E und F sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten BC, CA und AB. Der Punkt S ist die Spitze des Modells. S C D B E D C S B E F S A F A S -lagig -lagig Überlagerungsbild Die folgende Figur zeigt eine Ansicht, darin sehen wir von unten her in das Hütchen. Wir sehen in der Figur blinde Faltkanten, welche als Hilfslinien bei der Herstellung des dreieckigen Origami Papiers und zum Auffinden dessen Mittelpunktes verwendet wurden, aber im fertigen Modell nicht mehr gefaltet sind.

10 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 8 Ansicht.. Tetraeder aus einem dreieckigen Origami Papier Die folgende Figur zeigt das effektive Faltlinienbild. Die Faltlinien sind die effektiven Faltlinien, das heißt, die Linien, die im fertigen Modell mit der angegebenen Faltrichtung (Bergfalt / Talfalt) vorliegen. Es gibt Faltlinien, die je zur Hälfte Bergfalte und Talfalte sind. Daher ein zweistufiges Vorgehen: zunächst einmal die Faltlinien unabhängig von der Faltrichtung finden, dann in die benötigte Richtung allenfalls umfalten. Die anschließende Figur zeigt, welche Teile im fertigen Modell von außen sichtbar sind, also die effektiven Außenseiten. Bergfalt, von außen gesehen Effektiv von außen sichtbare Teile Talfalt, von außen gesehen Effektive Faltlinien Außenseiten Die nächste Figur zeigt das effektive Überlagerungsbild, es gibt bei jedem von außen sichtbaren Teil an, aus wie vielen Papierlagen die Tetraederoberfläche dort besteht. Die gleich bezeichneten Punkte liegen im fertigen Modell aufeinander.

11 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 9 Das Papiermodell hat nicht die volle Symmetriegruppe des Tetraeders. Drei Seitenflächen dies Modells sind kongruent, die vierte Seite, die Grundfläche, ist zwar auch ein gleichseitiges Dreieck, hat aber eine andere Binnenstruktur. Das Modell hat lediglich eine dreiteilige Drehsymmetrie um die auf der Grundfläche stehende Höhe. Gemäß Figur 00 hat die Grundfläche die Ecken ABC und den Mittelpunkt M. Die Punkte D, E und F sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten BC, CA und AB. Der Punkt S ist die Spitze des Modells. S A E A F M F S B S F D M C E A E C D M B D M E D F S C S B S -lagig 5-lagig Überlagerungsbild Die folgende Figur zeigt eine Zwischenphase des Modellbaus. Wir sehen auf die Spitze des Tetraeders, welches sich in der Mitte befindet. Die nächste Figur zeigt dieselbe Situation von unten. Die drei Flügel werden über den Boden geklappt und wechselseitig verschlauft. Wir sehen hier auf dem Bodenstück blinde Faltkanten, welche zum Auffinden des Mittelpunktes des Origami Papiers gebraucht wurden, aber im fertigen Modell nicht mehr gefaltet sind.

12 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 0 Sicht auf das angefangene Modell von oben und von unten In der folgenden Figur sind bereits zwei Flügel in der richtigen Position. Das Einstecken des dritten und letzten Flügels ist etwas heikel. Man kann mit einer Pinzette von der Gegenseite her ziehen helfen. Die anschließende Figur zeigt eine Ansicht des fertigen Modells, darin sind die Grundfläche (mit der dreiteiligen Drehsymmetrie) und eine Seitenfläche sichtbar. Zwei Flügel sind eingeklappt Ansicht

13 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 5 Das Oktaeder 5. Oktaeder aus einem einzigen rechteckigen Papierblatt Anregung: Ilona Vogel, Leipzig Benötigtes Material: Der Länge nach halbiertes Blatt DIN A (9.7cm 0.5cm). Das Blatt wird gemäß Figur gefaltet. Bergfalt, von außen gesehen Talfalt, von außen gesehen Faltlinien Im fertigen Modell sind die getönten Dreiecke der folgenden Figur von außen sichtbar. N N N N N a S S S S S Von außen sichtbar Sichtbare Teile Die horizontale Linie a wird zum Äquator, die Punkte N werden zum Nordpol und die Punkte S zum Südpol. Die beiden ungetönten angeschnittenen Dreiecke ganz rechts werden von den beiden Dreiecken ganz links überlappt. Die Spickel zwischen den Dreiecken werden an den Polen hineingestossen.

14 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 5. Steckmodell eines Oktaeders mit zwei Teilen Anregung: Ilona Vogel, Leipzig Benötigtes Material: Zwei der Länge nach halbierte Blätter DIN A (9.7cm 0.5cm). Werden zwei verschiedene Farben verwendet, wird der Äquator zur Farbscheide. Die beiden Blätter werden je gemäß Figur gefaltet. Schattiert die im fertigen Modell von außen sichtbaren Teile. Bergfalt Talfalt Faltlinien Die beiden Teile werden genau gleich gefaltet. Die folgende Figur zeigt einen Bauteil. Die beiden Bauteile werden gegengleich ineinander gesteckt. Die äußersten Dreieckslappen dienen der Verriegelung. Bauteil

15 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Zahlentetraeder. Spielregel Wir unterteilen die vier Dreiecksseiten eines regelmäßigen Tetraeders je in vier kleinere gleichseitige Dreiecke halber Seitenlänge. Unterteilung der Tetraederseiten Und nun schreiben wir in jedes Teildreieck eine der vier Zahlen,,,, so, dass. auf jeder Tetraederseite jede Zahl genau einmal vorkommt,. an jeder Kante des Tetraeders jede Zahl genau einmal vorkommt. Die folgende Figur illustriert diese zweite Bedingung. In den vier Dreiecken zur roten Kante soll jede Zahl genau einmal vorkommen. Kantenbedingung

16 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung. Beispiel Nun sind drei und nur drei Zahlen vorgegeben: B C D Zahlenvorgabe Wie müssen die anderen Teildreiecke beschriftet werden? A

17 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 5. Hilfe zur Selbsthilfe Schnittmuster des Tetraeders mitsamt den vorgegebenen drei Zahlen: D B D C A Schnittmuster mit Zahlenvorgabe Bastelanweisung:. Ausschneiden. Falten an den blauen Linien (Bergfalt). Dreieck ABC mit der Zahl nach unten auf den Tisch legen. Die drei Dreiecke ABD, BCD, CAD hochbiegen 5. Die rosaroten Dreiecke einstecken D

18 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung Zusammenstecken des Modells: Ergebnis B Zusammenstecken zum Tetraeder C C D B A A Ergebnis D

19 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 7 D C B A D D Schnittmuster mit Ergebnis

20 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 8 7 Kanten färben: Tetraeder Die sechs Kanten eines Tetraeders sollen mit drei Farben so gefärbt werden, dass jede Dreiecksseitenfläche alle drei Farben auf dem Rand enthält. Ergebnis Tetraeder Mögliche Lösung Die Lösung ist einfach; gegenüberliegende Kanten müssen dieselbe Farbe haben. Diese Kanten gleicher Farbe sind orthogonal. Abwicklung: Abwicklung Die zyklische Reihenfolge der Farben ist auf allen Dreiecken dieselbe, im gezeichneten Beispiel rot-grün-blau.

21 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 9 8 Kanten färben: Würfel Die zwölf Kanten des Würfels sollen mit vier Farben so gefärbt werden, dass jede quadratische Seitenfläche alle vier Farben auf dem Rand enthält. Würfel Ergebnis Drei Kanten gleicher Farbe sind paarweise orthogonal und disjunkt. Mögliche Lösung

22 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 0 Abwicklung: Die Nummern sind so positioniert, dass sie jeweils auf der roten Kante stehen. 5 Abwicklung Die zyklische Reihenfolge der Farbe ist jedes Mal anders. Wir erhalten alle zyklischen Permutationen der vier Farben, jede Permutation genau ein Mal. 5 Zyklische Permutationen

23 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 9 Sudokubus Ein würfelförmiges Gerüst wird an den Knoten mit Kugeln versehen. Die Kugeln bilden eine xx-anordnung. Würfel mit 7 Kugeln 9. Spielregeln Versehen Sie die 7 Kugeln mit den Zahlen bis 9, so dass - in jeder der drei Etagen jede Zahl genau ein Mal erscheint, - in jeder der drei zur Frontalebene parallelen Ebenen jede Zahl genau ein Mal erscheint und - in jeder der drei zur Seitenwand parallelen Ebenen jede Zahl genau ein Mal erscheint. Die Figur illustriert die drei Etagen, die drei zur Frontalebene parallelen Ebenen und die drei zur Seitenwand parallelen Ebenen. Drei Mal drei Ebenen

24 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 9. Beispiele 9.. Sudokubus Sudokubus

25 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 9.. Sudokubus Sudokubus

27 Hans Walser: Modul 07, Die fünf platonischen Körper. Lernumgebung 5 9. Ergebnisse 9.. Sudokubus Sudokubus 9.. Sudokubus Sudokubus