8.1 Vorstellen im Raum

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1 äumliche Geometrie 1 8 äumliche Geometrie 8.1 Vorstellen im aum 1. Alle dargestellten Körper sind aus elf Würfeln zusammengesetzt. a) Welche der Körper sind deckungsgleich zueinander? b) Welche der Körper sind spiegelbildlich zueinander? A B C D E F G H I J K L

2 8.2 Darstellen in Schrägbildern Darstellen in Schrägbildern 1. Ein Körper, dessen vier Flächen kongruente gleichseitige Dreiecke sind, heisst reguläres Tetraeder. a) Zeichne in die beiden gezeichneten Würfelschrägbilder je ein reguläres Tetraeder in verschiedener Lage, so dass die Tetraederecken auf Würfelecken liegen. # Ziehe die sichtbaren Kanten aus und strichle die unsichtbaren Kanten! b) Zeichne die beiden Tetraeder in einem einzigen Würfelschrägbild und färbe nur die sichtbaren Teile der Tetraederflächen ( Tetraederstern ). # c) Wie viele Ecken, Kanten und Flächen besitzt der Tetraederstern? 2. Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Würfelflächen, entsteht ein reguläres Oktaeder. Zeichne ein Kantenmodell und ein Flächenmodell. #

3 Konstruieren in Schrägbildern 8.3 Konstruieren in Schrägbildern 1. Konstruiere die Schnittfigur der Ebene durch, und mit dem Würfel. # a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Ebenso: # a) b) c)

4 8.4 Stereometrie Stereometrie 1. Berechnungen in Würfeln: a) Mit welcher Zahl muss man die Kantenlänge a multiplizieren, um die Länge d der Körperdiagonale zu erhalten? b) Mit welcher Zahl muss man die Flächendiagonale f multiplizieren, um die Länge d der Körperdiagonale zu erhalten? c) Drücke das Volumen V durch seine Oberfläche S aus. d) Drücke die Oberfläche S und das Volumen V durch die Körperdiagonale d aus. 2. Bei einem Würfel werden in der dargestellten Art sieben kleinere Würfel mit je einem Drittel Kantenlänge ausgebohrt. a) Bestimme die Anzahl der Teilwürfel und die Anzahl der Teilquadrate auf der Oberfläche des Körpers und vergleiche mit dem ganzen Würfel. b) Nun wird jeder Teilwürfel derart ausgebohrt. Bestimme wiederum die Anzahl der Teilwürfel und die Anzahl der Teilquadrate auf der Oberfläche des Körpers. c) Zeige, dass sich die Anzahl der uadrate auf der Oberfläche des Körpers nach n Schritten mit dem Term 2 20 n +4 8 n berechnen lässt. d) Was geschieht mit den Werten für das Volumen und für die Oberfläche, wenn n immer grösser wird? 3. Berechnungen in uadern (rismen!) mit quadratischer Grundfläche: a) Berechne die Höhe des rismas, wenn sie neun Mal so lang wie die Grundkante ist und das Volumen 576 cm 3 beträgt. b) Berechne die Grundkante des rismas, wenn die Höhe 5 cm und die Oberfläche 78 cm 2 beträgt. 4. Um die Kantenlänge eines Würfels mit 2 m 3 auminhalt näherungsweise zu bestimmen, beginnen wir mit einem uader mit quadratischer Grundfläche von 1 m Grundkante und 2 m Höhe und verformen ihn schrittweise zu einem Würfel. a) Da der uader zu hoch ist, verkleinern wir die Höhe, indem wir für die neue Grundkante das arithmetische Mittel aus alter Seitenkante und alter Höhe bilden. Berechne die neue Grundkante und die neue Höhe des uaders. b) Wiederhole (mit Brüchen!) den obigen Schritt zwei Mal und bilde dann das arithmetische Mittel aus Grundkante und Höhe. c) Vergleiche mit dem exakten Wert der gesuchten Würfelkante. (Delisches roblem der Würfelverdoppelung)

5 Stereometrie 12. a) Betrachte einen geraden Kreiszylinder als Grenzfall von regelmässigen geraden rismen mit sehr vielen Ecken und bestimme das Volumen des Zylinders mit adius r und Höhe h. h r b) Betrachte einen geraden Kreiskegel als Grenzfall von regelmässigen geraden yramiden mit sehr vielen Ecken und bestimme das Volumen des Kegels mit adius r und Höhe h. h r 13. Leite Formeln für die Mantelflächen und Oberflächen her: a) für Zylinder mit adius r und Höhe h. b) für Kegel mit adius r und Höhe h. 14. Bei einem geraden Kreiszylinder sind zwei der Grössen r, h, M, S und V bekannt. Berechne die drei fehlenden Grössen. a) h =5.4cm, M = cm 2 b) h = 50 cm, V =1m 3 c) r =1m,S = 16 m d) M = 62 cm 2, V = 248 cm Zwei an den Enden o ene Leitungsrohre mit je kreisförmigen uerschnitten und 3 cm Innendurchmesser werden gemäss nebenstehender (nicht massstäblicher) Skizze zusammengeschweisst. a) Wie viele cm 2 Blech werden benötigt? b) Wie viele cm 3 haben latz in diesem Leitungsstück? Ein echteck mit den Seiten a und b (a <b) kann auf zwei Arten als abgewickelter Mantel eines Zylinders aufgefasst werden. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der Zylinder zueinander?

6 Stereometrie 24. Um eine Formel für das Volumen einer Kugel zu erhalten, vergleichen wir eine Kugel in einem umgebenden Zylinder (Bild links) mit einem Körper, welcher durch Herausschneiden eines Doppelkegels aus einem identischen Zylinder entsteht (Bild rechts). Auf der gleichen Höhe in beiden Körpern betrachten wir eine zur Grundfläche des Zylinders parallele Schnittfläche durch die Kugel bzw. durch den estkörper. (Kugelradius r, Abstand der Schnittfläche zum Mittelpunkt des Zylinders a) a) Weshalb genügt es, nur die obere Hälfte der Körper zu betrachten? b) Skizziere eine Seitenansicht der beiden oberen Hälften und zeichne die Grössen ein. c) Unter welchen Voraussetzungen haben zwei Körper das gleiche Volumen? d) Drücke den Inhalt der markierten Kreisfläche im linken Bild durch r und a aus. e) Drücke den Inhalt der markierten Kreisringfläche im rechten Bild durch r und a aus. (Tipp: Weshalb ist a gerade der kleinere adius des ings?) f) Leite nun aus den obigen Betrachtungen eine Formel für das Volumen einer Kugel mit adius r her. 25. Wie viele Litermasse könnten durch einen tropfenden Wasserhahn innert einer Woche gefüllt werden, wenn alle 3 Sekunden ein Tropfen mit 4 mm Durchmesser fällt? 26. Berechne die Dichte % = m V (Masse m in kg, Volumen V in m3 ) a) der Erde mit dem adius r E = 6370 km und der Masse m E = kg. b) der Sonne mit dem adius r S = m und der Masse m S = kg. 27. Durch Drehen eines Kreisrings mit den adien r 1 und r 2 = r 1 a um eine Symmetrieachse erhält man eine Hohlkugel mit Wanddicke a. a) Berechne das Volumen einer Hohlkugel mit r 1 = 10 cm und a = 1 mm Wanddicke. b) Welche Wanddicke müsste eine Hohlkugel mit 10 cm Aussenradius besitzen, damit ihr Volumen gleich gross wäre wie das Volumen des Hohlraums? 28. Einer Kugel mit 5 cm adius wird jeweils ein Körper einbeschrieben. Berechne den Bruchteil des Körpervolumens in Bezug auf das Kugelvolumen, wenn der einbeschriebene Körper a) ein Würfel ist. b) ein Zylinder mit 3 cm Grundkreisradius ist. c) ein Kegel ist, dessen Höhe dreimal so viel wie sein Grundkreisradius misst.

7 Vermischte Aufgaben 8.5 Vermischte Aufgaben 1. Welche der Körper A - D sind identisch zum Körper X? A B C D X 2. Bilde aare von Teilkörpern, welche sich zu einem Würfel zusammensetzen lassen. A B C D E F G H I J 3. Welche der Knoten sind identisch zueinander? X Y Z 4. a) Wie viele Flächen hat ein olyeder mit 32 Ecken und 60 Kanten? Kann es aus lauter Vierecken bestehen? b) Weshalb gibt es kein olyeder mit 13 Ecken, 19 Kanten und 7 Flächen? c) Wie viele Ecken, Kanten und Flächen besitzt ein Ikosaederstumpf ( Fussball ), welcher durch Abschneiden der Ikosaederecken gebildet wird, so dass die Oberfläche des Körpers aus lauter regelmässigen Fünf- und Sechsecken besteht? d) Weshalb gibt es kein Deltaeder mit einer ungeraden Flächenzahl? e) Wie viele Ecken und Kanten müsste ein Deltaeder mit 18 Flächen haben?

8 8.6 Weiterführende Aufgaben Weiterführende Aufgaben äumliches Konstruieren Im aum kann man nicht direkt mit Zirkel und Lineal konstruieren. Wir stellen uns deshalb zusätzliche räumliche Werkzeuge vor, mit welchen wir räumliche Konstruktionen ausführen können: ein Ebenenlineal und einen Kugelzirkel. Damit lassen sich folgende räumliche Konstruktionen ausführen: (1) Gerade durch zwei gegebene unkte konstruieren (Lineal) (2) Ebene durch drei gegebene unkte konstruieren (Ebenenlineal) (3) Kugel um einen unkt mit vorgegebenem adius konstruieren (Kugelzirkel) (4) Schnittlinien von Flächen (Ebenen und Kugeln) konstruieren (5) unkte auf Linien und Flächen setzen (6) in einer Ebene konstruieren (Zirkel und Lineal) 1. Was für Objekte können entstehen beim Schnitt a) zweier Ebenen? b) zweier Kugeln? c) einer Geraden und einer Kugel? d) dreier Ebenen? e) dreier Kugeln? f) einer Ebene und zweier Kugeln? 2. Gegeben ist eine Gerade g und ein unkt, welcher nicht auf g liegt. Konstruiere mit den Schritten (1) (6) a) die Ebene E, welcheg und enthält: E =Ebene(g, ) b) die Gerade s, welchesenkrechtzug steht und enthält: s =Senkrechte(g, ) c) die Gerade p, welche parallel zu g verläuft und enthält: p = arallele(g, ) 3. Gegeben ist eine Ebene E und ein unkt, welcher nicht in E liegt. Konstruiere mit den Schritten (1) (6) a) die Gerade n, welchezue senkrecht steht und enthält: n = Normale(E,) b) die Ebene F, welche parallel zu E verläuft und enthält: F = arallelebene(e,) c) die Kugel K, welchedenmittelpunktin hat und E berührt. 4. Schneide folgende Objekte mit den Schritten (1) (6): a) Ebene E und Gerade g b) Kugel K und Gerade g c) Ebene E und Kreis k 5. Konstruiere mit Hilfe der in den Aufgaben 2 4 gelösten Schritte a) die Normalebene N durch den Mittelpunkt der gegebenen Strecke. b) die winkelhalbierenden Ebenen W 1 und W 2 der gegebenen (schneidenden) Ebenen E und F. c) die Normalebene N zu einer gegebenen Ebene E, so dass N die gegebene Gerade g enthält.