Lösungshinweise zu Kapitel 3

Transkript

1 Lösungshinweise zu Kapitel 3 Aufgabe 3. Aussagen sind klar Aufgabe 3.2 Die Verkettung von 2 Achsenspiegelungen mit Achsen g und h studiert man am besten unter Verwendung eines dynamischen Geometrieprogramms (z. B. DYNAGEO; über die Internetseite erhältlich). Aufgabe 3.3 Man wählt ein kartesisches Koordinatensystem so, dass g die x-achse ist und h die Steigung 0< m hat. Dann gilt für die Koordinate x, y des Bildpunkts P von P(x/n) 2 x' = x y, y' = y. m 2y' Auflösen nach x, y ergibt x = x', y= y'. m Setzt man dies in die Gleichung y = ax + b einer Geraden bzw. in die Gleichung x + (y a) = r eines Kreises (dessen Mittelpunkt o. B. d. A. auf der y-achse liegt) ein, so ergibt sich im ersten Fall wieder eine Geradengleichung, im zweiten Fall eine Ellipsengleichung für x, y. Aufgabe 3.4 z. B D =, AD = = Aufgabe 3.5 a) Für n = sind alle drei gleich, für n = 2 sind G 2 und G 3 gleich, aber verschieden von G, sonst sind alle drei verschieden. b) klar, da n D D für n > 2, also AD DA. c) Es folgen die Untergruppendiagramme für die Diedergruppen D n, n = 2, 3, 5, 6. Die Diedergruppe D 4 wird in d) behandelt. Die Abbildung A ist eine Achsenspiegelung, die Abbildung D ist die Drehung um o 360 n.

2 2 Diedergruppe D 6

3 3 d) Es folgt das Untergruppendiagramm für die Quadratgruppe D 4 ; die Abbildungen A, D wie in Bild 3., S. 73, also D Drehung um 90 o, A Achsenspiegelung an einer Mittellinie, AD Achsenspiegelung an einer Diagonalen. Der Viereckstyp hat die jeweilige Untergruppe als Symmetriegruppe: i Viereckstyp allgemeines Viereck 2,3 gleichschenkliges Trapez 4 Parallelogramm 5,6 Drachen 7 Rechteck 9 Raute 8,0 Quadrat

4 4 Aufgabe 3.6 Die Abbildung zeigt mögliche Netze mit Klebekanten. Aufgabe 3.7 Das Polyeder bestehe aus F kongruenten regelmäßigen n-ecken. An der Ecke i mögen y i Kanten zusammenstoßen. Dann folgt wie auf S. 79 n = 3, 4 oder 5, im Falle n = 4 bzw. n = 5 ist nur y = y i = 3 möglich, es gibt also dann nur die schon bekannten Platonischen Körper.

5 5 Es sei jetzt n = 3 und es gebe E i Ecken der Ordnung i, i = 3, 4, 5; d. h. in diesen Ecken stoßen jeweils 3, 4 bzw. 5 Kanten zusammen. Dann folgt analog zu S. 80 mit E = E 3 + E 4 + E 5, dem Eulerschen Polyedersatz und der Abzählung E3+ E4 + E5 + F= K+ 2, 2K = 3F, 2K = 3E + 4E + 5E Hieraus folgt die diophantische Gleichung 3E3 + 2E4 + E5 = 2. Diese Gleichung hat 9 Lösungen mit nicht negativen ganzen Zahlen, von denen jedoch nur die folgenden 8 zu realisierbaren Polyedern führen: E 3 E 4 E 5 E K F Typ Tetraeder A Oktaeder A A A A Isokader Bild 3.2 zeigt die 5 Ausnahme-Körper A A5, die folgende Abbildung zeigt Netze für diese Körper.

6 6 Aufgabe 3.8 Nehmen Sie jeweils ein Körpermodell in die Hand! a) = { A,G };2={ B,H };3={ C,E };4={ D,F} z. B. M =, S =, D = b) Analog mit Oktaeder-Modell!. Aufgabe z.b. D = = (23) = (3)(2), S = = (3)(24) Aufgabe 3.0 Bild Typ 5 a a a a 2, 3a, 5 Bild Spalte: Typ 3a, Typ 3b, Typ 3a 2. Spalte: Typ 2, Typ 5, Typ a 3. Spalte: Typ b, Typ 3b, Typ a, Typ a Aufgabe 3. a) b) Da sich nicht stempeln lässt, lässt sich kein Typ mit einer Achsenspiegelung oder Gleitspiegelung erzeugen. Es bleiben Typ a und Typ 4 (z. B. analog zu a) stempeln). c) Achsensymmetrische bzw. nicht achsensymmetrische Buchstaben verhalten sich wie a) bzw. b).

7 7 Aufgabe 3.2. Spalte: Typ a, Typ 5, Typ 2, Typ b. 2. Spalte: Typ b, Typ a, Typ 5, Typ Spalte: Typ 3a, Typ 3a, Typ 3b, Typ 4. Aufgabe 3.3 Die 7 Gruppen sind auch gruppentheoretisch gesehen alle nicht isomorph. Wenn die erzeugende Spiegelung γ eine Achsenspiegelung ist, so gibt es zu Γ 0 (F) isomorphe Untergruppen, was schon die meisten Typen unterscheidet. Bei den Typen 6,7,8 liegen unterschiedliche Relationen vor, was drei verschiedene Isomorphietypen ergibt: Typ 6 : γ = E, γ τ γ =τ, γ τ γ =τ Typ 7 : γ = E, γ τ γ =τ, γ τ γ =τ Typ 8: γ =τ, γ τ γ =τ, γ τ γ =τ Auch die Gruppen der Typen 9 2 sind unterschiedlich: Typ 9 entspricht bzgl. γ dem Typ 6, Typ 0 und entspricht bzgl. γ dem Typ 7, Typ 2 entspricht bzgl. γ dem Typ 8. Bei Typ 0 gilt, 2 2 γδ2 δ2γ. Typ 3 entspricht bzgl. γ dem Typ 7, Typ 4 entspricht bzgl. γ dem Typ 6, also sind die entsprechenden Gruppen nicht isomorph. Typ 5 entspricht bzgl. γ dem Typ 6, Typ 6 entspricht bzgl. γ dem Typ 7, so dass auch diese Gruppen nicht isomorph sind. Aufgabe 3.4 Hier sind der Phantasie keine Grenzen gesetzt; Tipps findet man im Internet. Aufgabe 3.5 Bild Typ Aufgabe 3.6 Der Typ hängt auch davon ab, ob man Färbungen mit einbezieht. Bilder Typ

8 8 Aufgabe 3.7 Der Typ hängt auch davon ab, ob man Färbungen mit einbezieht. Bild Typ Bild Typ Aufgabe 3.8 a) b) BC = CD = DE = EA =, α= 45, AD = BD = 2, γ= 20 2α= 30, β= = 75, ( ) x = AB = 2 ADcos( β ) = 2 2 cos 75 0,73. Diese vier Typen haben große Symmetriegruppen: Bei Typ II liegt der Ornament-Typ 6 (p4g) vor, die anderen drei haben den Ornament-Typ 7 (p6m). d) Verwendet man die verschiedenen Grazebrook-Fünfecke, so lassen sich bis auf den Typ 5 (Symmetrietyp p4m) alle anderen 6 Typen von Flächenornamenten realisieren. Als Grundparkett verwendet man einen der Typen II, III oder IV von b). Im Folgenden werden einige Beispiele (nach Schatz, 200) gezeigt. Zur besseren Darstellung sind sie

9 9 farbig; es sind jeweils die Grundkacheltypen vermerkt unter Bezug auf Bild 3.80; die dortigen sechs Typen werden mit a, b, c (erste Zeile) und d, e, f (zweite Zeile) bezeichnet. Typ (p) Nur Fünfecke (Typ I), rotes entspricht Bild 3.80d, blaues entspricht Bild 3.80 b Typ 2 (p2) Nur Fünfecke (Typ I),, rotes entspricht Bild 3.80d, blaues entspricht Bild 3.80 b Typ 4 (p4) Nur Fünfecke (Typ I), rotes entspricht Bild 3.80d, blaues entspricht Bild 3.80 e Typ 3 (p3) Fünf- und Sechsecke (Typ III), es werden vier Fünfeckstypen von Bild 3.80 benötigt (weiß, rot, gelb, blau) Typ 3 (p3m) Fünf- und Sechsecke (Typ II), es werden drei Typen von Bild 3.80 benötigt (rot, grün, blau) Typ 4 (p3m) Fünf- und Sechsecke (Typ II), es werden drei Typen von Bild 3.80 benötigt (weiß, grau, blau) Aufgabe 3.9 Das Dreieck ABE ist ein goldenes Dreieck (vgl. Bild 2.3), woraus die Behauptung folgt.