Oloid. Martino Antognini. 26. Mai Universität Zürich, Frühlingssemester 2010 Seminar über Elementare Flachentopologie Prof. Dr.

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1 Oloid Martino Antognini 6. Mai 00 Universität Zürich, Frühlingssemester 00 Seminar über Elementare Flachentopologie Prof. Dr. Markus Brodmann

2 Inhaltsverzeichnis Einführung Die Torse Ψ Abwicklung von Ψ 6 4 Flächeninhalt 4 5 Volumen 5 6 Bewegung des Oloids Kinematik 6 Literatur 8

3 Einführung Seien k A, k B zwei Kreise mit gleichen Radien, die auf senkrechten Ebenen Π, Π liegen, und deren Zentren M A und M B zu k B beziehungsweise zu k A gehören. Wir führen ein orthogonales positiv orientiertes Koordinatensystem O; x, y, z ein, wobei: der Ursprung O der Mittelpunkt der Strecke M A M B ist; die y Achse der Durchschnitt der Ebenen Π und Π ist auch als bezeichnet; M A 0,,0, M B 0,,0; x Achse Π, z Achse Π. Bezüglich O; x, y, z sind deshalb die Kreise durch folgende Gleichungen charakterisiert: k A : x + y + und z 0, k B : y + z und x 0. Abbildung : Kreis k A und k B in O;x,y,z. Definition Die Konvexe Hülle einer Teilmenge X eines reellen oder komplexen Vektorraumes V convx : K X K V,Kkonvex ist definiert als der Schnitt aller konvexen Obermengen von X.

4 Abbildung : Paul Schatz mit einem Oloid. Sie ist selbst konvex und damit die kleinste konvexe Menge, die X enthält. Definition Die Konvexe Hülle der Menge k A k B heisst Oloid. Dieser geometrischer Körper wurde 99 vom Paul Schatz entdeckt. Schatz war ein deutscher Maschinenbauer. Er hat auch den umstülpbaren Würfel erfunden. Die Torse Ψ Sei τ eine gemeinsame Tangentialebene der Kreisen k A und k B. Seien A und B die Berürungspunkten von τ mit k A beziehungsweise k B. Die Torse Ψ ist die einhüllende Fläche aller tangenten Ebenen τ. AB ist eine erzeugende Strecke der Torse. Man parametrisiert Ψ durch die Bogenlänge t von k A mit Anfangswert t 0 in U auf der negative y-achse. Deshalb bekommt man: A sint, cos t,0. Von einem Würfel lassen sich von zwei diagonalen Ecken aus je ein Drittel des Volumens derart entfernen, dass der dazwischen liegende Rest umstülpbar, das heisst von innen nach aussen kehrbar ist. Der Rest ist zunächst in sechs gleiche ungleichförmige Tetraeder zerfallen. Verbindet man diese an ihren Stossstellen, die sie im Würfel hatten, gelenkig miteinander, entsteht eine Kette, deren Glieder sich gemeinsam um sich selbst jedes um die eigene Längsachse drehen lassen. Umstülpbar heisst, dass es dabei eine Lage gibt, in der die Glieder einen Hohl-Würfel zum Teil umschliessen. Vgl. [0], Artikel Umstülpbarer Würfel. Aus dieser Erfindung hat Schatz eine Bewegungslehre, die er Inversionskinematik nannte, entwickelt.

5 y z B M B k A x T M A M B y M A cost t sint A k B T Abbildung : Grundriss und Seitenriss. Die Tangente in A von k A trifft die Tangente in B von k B in einem Punkt T auf der y Achse. Aus Ähnlichkeitsgrunden kann man die Koordinaten von T in Abhängigkeit von t berechnen. M A T M A A M AA cos t M AT cos t y T + cos t cos t cos t, und deshalb: T 0, + cos t,0. cos t Da für B y B + z B und x B 0 gilt, haben wir: TB y B y T + z B 0 zb + y B + + cos t cos t y B + y B + + cos t. cos t Wir wenden Satz des Pythagoras auf TBM B an: TB M B T M B B + cos t. 4 cos t Durch Gleichsetzen von und 4 bekommt man: y B cos t + cos t und z B ± + cos t + cos t. 4

6 Die Koordinaten von Punkt B sind gegeben durch: B 0, cos t + cos t + cos t, ± + cos t. 5 Abbildung 4: Koordinatensystem und Notation. Satz Jede Strecke AB von Ψ hat die Länge AB. Beweis: AB sin t + + cos t cos t + + cos t + cos t + cos t sin t + + cos t cos t + + cos t + cos t + cos t sin t + + cos t + AB. Wir können die Torse Ψ analog durch die Bogenlänge u von k B mit Anfangswert u 0 auf der positive y Achse parametrisieren. Zwei Punkte A k A und B k B gehören zur selben erzeugenden Strecken von Ψ genau dann, wenn die Parameter t und u folgende Bedingung erfüllen: y B,u! y B,t + cos u cos t + cos t cos u cos t + cos t. 6 5

7 Wegen cos φ +cos φ, ist dies äquivalent zu: cos u cos t 4. 7 Wir fügen noch eine Bedingung ein, um komplexe Zahlen zu vermeiden: + cos t 0 cos t π < t < π und π < u < π. 8 Abwicklung von Ψ Abbildung 5: Axonometrische Darstellung des Oloids und Abwicklung auf τ. Falls man Ψ auf einer Ebene τ abwickelt, dann werden die Kreise k A und k B isometrisch auf zwei ebenen Kurven ka d und k B d abgebildet. Unseres Ziel ist diese beiden Kurven zu parametrisieren und deren Krümmungen zu analysieren. Definition Die geodätische Krümmung bezeichnet bei einer Kurve auf einer Fläche die Krümmung dieser Kurve, die in der Fläche gemessen werden kann. Anschaulich ist sie die Krümmung der in die Tangentialebene projizierten Kurve. Kurven mit der geodätischen Krümmung 0 werden als Geodäten bezeichnet. Sie bilden den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten in der Fläche. 6

8 Definition 4 Es seien F und F zwei injektiven Flächenparametrisierungen und φ eine Abbildung von F auf F. Die Abbildung φ heisst isometrisch oder längentreu, wenn für jeden Kurvenstück K auf F das zugehörighe Bild K dieselbe wie K hat. Satz Jede isometrische Abbildung lässt die geodätische Krümmung invariant. Deshalb sind für entsprechenden Punkte A k A Ψ und A d ka d τ die geodätischen Krümmungen gleich. Der Krümmungsvektor K von k A in A lässt sich in zwei orthogonalen Vektoren K τ und K n zerlegen, wobei K τ parallel zu τ ist. Die geodätische Krümmung ρ ist die Norm von K τ. Wegen K und da die Krümmung von ka d mit ihren geodätischen Krümmung übereinstimmt, aus der Ähnlichkeit der beiden rechtwinkligen Dreiecken in Abbildung 6 folgt, dass das Zentrum K des Krümmungskreises von ka d in Ad A auf der Normalen von Π durch M A liegt. Oxy Π M A k ρ τ K ρ AA d Abbildung 6: Reziproke Lage der Punkte K und M A. Deshalb sind die Koordinaten des Krümmungszentrums durch K 0,, ±k gegeben. k lässt sich aus Ähnlichkeitsgrunden vgl. Abbildung 4 bestimmen: M A T + cos t k z B y B y T + cos t. + cos t Es gilt Satz des Pythagoras auf M A KU: ρ AK + k + cos t + cos t. Jetzt kann man die Krümmung κ der Kurve ka d finden: in Abhängigkeit von t ρ κt + cos t + cos t. 9 7

9 Um eine explizite Darstellung von ka d zu bekommen, führen wir ein neues Koordinatensystem in τ ein vgl. Abbildung 7: Ursprung: U d U τ; Abszissenachse I: Achse parallel zur Tangentenvektor von k A in U d ; Ordinatenachse II: senkrecht zu I. Aus der Differentialgeometrie ist bekannt, dass die Bogenlänge αt für die Parameterdarstellung der Kurve ka d in τ bezüglich I,II wie folgt benutzt werden kann vgl. zum Beispiel [] oder [4]: I A t II A t t 0 t 0 cos αt, sin αt, wobei αt : t 0 κt. Man integriert κt durch Substitution v tan t, und deshalb t arctan v, dv, cos t v. +v +v + v +v κt + v + v dv +v v + v dv v v + v dv dv + 4 v v + v dv. } {{ } J Jetzt berechnen wir J durch folgende Substitution: r dr 6 v v dv, v r 4+r. v v, und deshalb 4 v v J dr r 4+r dr v + v 6 + r 4+r v + rdr arctan r + c arctan + c v arctan tan t tan + c arcsin t + c tan t + tan t sin t arcsin +cos t sin t + cos t + c arcsin + c + cos t +cos t + cos t 6 8

10 αt t 0 t κt v arcsin arcsin 0 t dv + v + arcsin tan t + arcsin 0 sin t + cos t 6sin t + cos t 4 v + v dv + cos t 6. 0 Satz Im Koordinatensystem I, II läutet die Parameterdarstellung der Abwicklung ka d des Kreises k A bezüglich der Bogenlänge t von k A : [ I A t ] cos t + cos t cos t + arccos, + cos t Beweis: II A t 9 9 [ 4 cos t + ln + cos t ]. Im Folgenden benutzten wir diese Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen: sin φ θ sin φcos θ cos φsin θ; sinθ sin θ cos θ; cosθ sin θ; cosarcsin x x. 6 sint sin αt sin arcsin arcsin + cos t }{{} β sinβcos γ cosβsin γ tan t } {{ } γ sin β cos β cos γ sin βsin γ 6sin t 6sin t tan t + cos t 9 + cos t 6sin t tan t 9 + cos t + 9

11 6 sint cos t + cos t + + 4cos t cos t + cos t 4cos t + cos t tan t 9 + cos t 4 sintcos t + 4cos t tan t 9 + cos t 9 9 tan t [4cos t + 4cos t ] 9 tan t 4cos t + 5. Jetzt integrieren wir sin αt. Wir benutzen zuerst Substitution v tan t und dann w v +,dw vdv. sin αt tan t 4cos t v 4 v 9 + v v dv [ ] v 8 9 v + dv + v + v dv [ ] 8 9 w dw + ln + v + c [ 8 ] 9 w + ln + v + c [ 8 9 tan t + + ln [ 4 + cos t + ln 9 ] t tan + + c + cos t ] + c. Deshalb: II A t t 0 sin αt 9 und damit haben wir gezeigt. Mittels dii A t [ 4 cos t + ln + cos t ], 9 sin t 4 + sinα + cos t 0

12 können wir cos α berechnen: di A t diia t cos α cos t cos t5 + 4cos t 7 + cos t + cos t + cos t + cos t 6 + cos t / 9. + cos t und An- Das Integral von cos αt kann durch die Substitution v tan t wendung von einem CAS berechnet werden. Abbildung 7: Abwicklung des Oloids auf der Ebene τ. Die Variation von t im Intervall [0, π ] entspricht jener von α in [0, π ]. Die Parameterdarstellung von kb d lässt sich aus der Relation U d B d U d A d + A d B d Computer algebra system, zum Beispiel Mathematica

13 gewinnen. Aus Satz folgt: A d B d cos eab, sine AB, wobei der Winkel e AB α + γ wie in Abbildung 7. Deshalb: I B t I A t + cos e AB, 5 II B t II A t + sin e AB. 6 Wir haben α schon berechnet. γ ist auch der Winkel zwischen den Vektor AB und den Tangentenvektor v A cos t,sin t,0. 7 Man berechnet cos γ mit Hilfe des Skalarproduktes: cos γ v A AB cos t,sin t,0 sint, + cos t sintcos t + sin t + sin t cos t sin t cos t + cos t cos t +cos t, ± +cos t +cos t sin t + cos t. Daraus folgt sin γ cos γ + cos t + cos t. 8 Und jetzt mit Hilfe der Additionsformeln für Sinus und Kosinus erhält man, nach Vereinfachung: sin e AB 7 + 7cos t + 4cos t, cos t cos e AB + cos t cos t + cos t cos t Wir fügen diese Relationen in 5 und 6 und bekommen schliesslich: Satz 4 Im Koordinatensystem I, II läutet die Parameterdarstellung der Abwicklung kb d des Kreises k B bezüglich der Bogenlänge t von k A : I B t arccos 9 II B t ln 9 cos t + cos t + cos t + cos t + cos t, + cos t. + 7cos t + cos t

14 Abbildung 8: Detail von Abbildung 7. Analog kann man auch die Parameterdarstellung der Evolute 4 e k d A von k d A finden: I K t 9 arccos II K t 6 + ln 9 I K t I A t ρsin α, II K t II A t + ρcos α, Das heisst, mit 9, und 4 folgt nach einigen Rechnungen: cos t + cos t cos t + cos t,. 4 + cos t 4 Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrischer Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte.

15 4 Flächeninhalt Da die Abwicklung von Ψ lokal eine Isometrie ist, können wir ihren Flächeninhalt auch in der Ebene τ berechnen. Die Idee wäre, das Segment AB in τ von t 0 bis t laufen lassen. Durch eine Formel in [] S. 8 haben wir: t S v A + v B AB, 5 t 0 wobei v A und v B die Geschwindigkeitsvektoren in A und B sind. Das infinitesimale Flächenelement lässt sich gewinnen, wenn man die Fläche des Vierecks AtBtBt + tat + t mit Hilfe des Vektorsprodukts berechnet und danach t 0 laufen lässt. Da die Vektoren in R sind, darf die Norm mit dieser Reihenfolge der Vektoren weggelassen werden. Satz 5 Der Flächeinhalt des Oloids stimmt mit dem der Einheitssphäre überein. Beweis: Im Koordinatensystem I,II von τ haben wir vgl.,, 5 und 6: AB cos eab, sine AB, dia v A, dii A, dia v B de AB sin e AB, dii A de AB cos e AB. Deshalb: v A + v B Aus dies folgt: v A + v B AB di A sin e AB de AB, dii A + cos e AB de AB dia sin e AB de AB sin e AB + diia cos e AB de AB cos e AB dia sine AB dii A cos e }{{} }{{} AB } }{{}{{} sinα+γ cosα+γ cos α sinα sin γ 4 de AB. de AB.

16 Mittels 8, Ableitung von arcsinsin e AB vgl. 9 und Vereinfachung folgt: ds + cos t cos t + cos t + cos t + cos t + cos t. 6 + cos t + cos t Eine ähnliche Rechnung wie jene der Integration von κt ergibt: St [ ] 4cos t + 5cos t arcsin arcsin + k. + cos t Also: [ π ] [ S Ψ 8 S S0 4 S ] π S0 4π. 7 5 Volumen Jedes Flächenelement von Ψ ist die Basis einer Pyramide mit Spitze in O. Die Höhe r der Pyramide ist der Abstand zwischen O und τ. Sie kann aus der Analyse der Bewegung des Oloids entnommen werden. r + cos t + cos t. Für das Volumenelement dv bekommt man also: dv r ds + cos t + cos t. 8 + cos t Durch numerische Integration bekommen wir: π V Ψ cos t + cos t + cos t

17 6 Bewegung des Oloids Kinematik Wie nehmen an, dass der Oloid auf der Ebene τ abrollt. Bezüglich O;x,y,z wählen wir für den Punkt B in 5 die negative z Koordinate. Um das Rollen von Ψ auf τ zu beschreiben, benutzt man ein begleitendes Dreibein A;v A,w A,n A, wobei v A der Tangentialvektor an die Kurve k d A ist, w A orthogonal zu v A in der Tangentialebene τ ist und n A v A w A. Ausserdem erweitert man das Koordinatensystem I,II zu U d ;I,II,III, wobei III senkrecht zu τ ist. Bezüglich U d ;I,II,III gilt: A I A t,ii A t,0, v A cos α,sin α,0, w A sin α,cos α,0, n A 0,0,. Bezüglich O; x, y, z gilt: A sin t, cos t,0, v A cos t,sin t,0, w A sin t + cos t,cos t + cos t,, + cos t n A + cos t sin t,cos t, + cos t. Sei P ein beliebiger Punkt des Oloids. P hat Koordinaten: x, y, z bezüglich O; x, y, z; I,II,III bezüglich U d ;I,II,III; ξ,η,ζ bezüglich A;v A,w A,n A. Es gilt: Deshalb: x y z I II III OP U d P sin t cos t 0 I At II A t 0 OA + AP, U d A + AP. + v wa na A + v A w A n A 6 O;x,y,z U d ;I,II,III ξ η ζ ξ η ζ,.

18 Durch Eliminieren von ξ,η,ζ aus diesen zwei Matrizengleichungen, erhält man I, II, III in Abhängigkeit von x, y, z. Diese Darstellung ist von der Form 5 : I II III O I O II O III + a ij i,j O I,O II,O III sind die Koordinaten des Punktes O Ursprung des Koordinatensystems O;x,y,z bezüglich U d ;I,II,III. Die dritte Komponente O III r wurde für die Berechnung des Volumens benutzt. x y z 5 Für die vollständigen Resultate vergleiche [] 7

19 Literatur [] W. Blaschke, H. R. Müller: Ebene Kinematik, Verlag von R. Oldenbourg, München 956. [] H. Dirnböck, H. Stachel: The Development of the Oloid, Journal for Geometry and Graphics, Volume 997, No., [] J. J. Stoker: Differential Geometry, Wiley-Interscience, 969. [4] K. Strubecker: Differentialgeometrie I,. Aufl., Sammlung Göschen, Bd. /a, Walter de Gruyter & Co, Berlin 964. [5] K. Strubecker: Differentialgeometrie II,. Aufl., Sammlung Göschen, Bd. 79/79a, Walter de Gruyter & Co, Berlin 969. [6] V. Wünsch: Differentialgeometrie, Kurven und Flächen, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 997. [7] 0. Mai 00. [8] 9. Mai 00. [9] 0. Mai 00. [0] Mai 00. Abbildungen, 4, 5, 7 und 8 wurden von [] genommen. Abbildung kommt aus [9]. 8