Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Tabellen (leicht gekürzte Version)

2 Hans Walser: Tabellen ii Inhalt Binomische Verteilung.... Binomische Verteilung (ohne Summation) Summierte binomische Verteilung Summierte binomische Verteilung, p = q = Normalverteilung Studentsche t-verteilung Mittelwert einer Stichprobe. Vertrauensintervall Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteilungen Unabhängige Stichproben Gepaarte Stichproben Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Korrelationsanalyse Kritische Werte für den Korrelationskoeffizienten nach Pearson Kritische Werte für den Korrelationskoeffizienten nach Spearman Chi-Quadrat-Tabelle...22 Tabellen für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2006 Probeausgabe Sommer 2007 Korrekturen. MathType. Ergänzungen Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitung. Kleine Ergänzungen Frühjahr 2009 Fehlerkorrekturen Frühjahr 20 Fehlerkorrekturen. Kürzung Frühjahr 204 Kleine Überarbeitung Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel März 205: Leicht gekürzt und Formeln ersetzt 22. Februar 208: Kleine Überarbeitung der Erklärungen zu den Tabellen Christine Zehrt

3 Hans Walser: Tabellen Binomische Verteilung Binomische Verteilung (ohne Summation) Es ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. Ferner ist q = p die Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P n (k), auf n Versuche genau k Erfolge zu haben P n (k) = ( n k ) pk q n k Summierte binomische Verteilung Es ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. Ferner ist q = p die Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, auf n Versuche höchstens x Erfolge zu haben P n (k x) = P n (0) + P n () + + P n (x) = P n (k) x k=0

4 Hans Walser: Tabellen 2. Binomische Verteilung (ohne Summation) P n (k) = ( n k ) pk q n k n = 2, 3,, 7 p / n k

5 Hans Walser: Tabellen 3 Binomische Verteilung (ohne Summation) P n (k) = ( n k ) pk q n k n = 8, 9, 0 p / n k

6 Hans Walser: Tabellen 4 Binomische Verteilung (ohne Summation) P n (k) = ( n k ) pk q n k n = 5, 20 p / n k

7 Hans Walser: Tabellen 5.2 Summierte binomische Verteilung P n (k x) = P n (k) x n = 2, 3,, 7 k=0 p / n x

8 Hans Walser: Tabellen 6 Summierte binomische Verteilung x P n (k x) = P n (k) n = 8, 9, 0 k=0 p / n x

9 Hans Walser: Tabellen 7 Summierte binomische Verteilung x P n (k x) = P n (k) n = 5, 20 k=0 p / n x

10 Hans Walser: Tabellen 8.3 Summierte binomische Verteilung, p = q = 0.5 P n (k x) = P n (k) x n =, 2,, 20 k=0 n x n x

11 Hans Walser: Tabellen 9 Summierte binomische Verteilung, p = q = 0.5 P n (k x) = P n (k) x n = 2, 22,, 30 k=0 n x

12 Hans Walser: Tabellen 0 2 Normalverteilung (u) = 2π e 2 x2 dx u 0.4 Tabellenwert: u =.5 Beispiel: Was die Tabelle liefert.5 (.5) = 2π e 2 x2 dx = Problemstellung: P(a X b) = σ 2π e () Umrechnen der Grenzen: (2) Die Tabelle liefert: (3) Berechnung des Integrals u b = a b 2 (t μ b μ σ, u a μ a = σ (u) = 2π e 2 x2 dx u b u b σ )2 dt = 2π e 2 x2 dx u P(a X b) = 2π e 2 x2 dx = (u b ) (u a ) u a u a

13 Hans Walser: Tabellen Die zweite Stelle nach dem Dezimalpunkt für den Input u wird der obersten Zeile entnommen. Beispiel: (.26) = u Negatives u: ( 0.7) = (0.7) = =

14 Hans Walser: Tabellen 2 3 Studentsche t-verteilung 3. Mittelwert einer Stichprobe. Vertrauensintervall Testgröße für μ 0 als Mittelwert: t = x μ 0 SE x Vertrauensintervall zum Niveau α: [ x t α, SE x, x + t α, SE x ] Dabei bedeutet t α, die kritische Schranke für das Signifikanzniveau α und den Freiheitsgrad = n, wobei der Stichprobenumfang n klein ist. Schreibweise: x ± t α, SE x Beispiel: t 5%,8 = (zweiseitig) 3.2 Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteilungen 3.2. Unabhängige Stichproben Nullhypothese: μ x = μ y wählen. Entscheiden, ob zweiseitig oder einseitig testen. Testgröße: t = x y SE x y = x y n xn y Freiheitsgrad: = n x + n y 2 Aus Tabelle t krit ablesen. n x +n y 2 n x +n y s 2 x (n x )+s 2 y (n y ) Falls t > t krit => Nullhypothese verwerfen Gepaarte Stichproben Nullhypothese: μ x = μ y wählen. Entscheiden, ob zweiseitig oder einseitig testen. Testgröße: t = d SE d Freiheitsgrad: = n, dabei ist d i = x i y i Aus Tabelle t krit ablesen. Falls t > t krit => Nullhypothese verwerfen

15 Hans Walser: Tabellen 3 Studentsche t-verteilung FG Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test FG Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test

16 Hans Walser: Tabellen 4 4 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Varianzenquotiententest Nullhypothese: σ x = σ y Signifikanzniveau α wählen. Testgröße: F = s x 2 s2, Zähler größer als Nenner y Freiheitsgrade: x = n x, y = n y Aus Tabelle F krit ablesen. Falls F > F krit => Nullhypothese verwerfen

17 Freiheitsgrade für den Nenner (kleinere Varianz) Hans Walser: Tabellen 5 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Freiheitsgrade für den Zähler (größere Varianz)

18 Freiheitsgrade für den Nenner (kleinere Varianz) Hans Walser: Tabellen 6 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Freiheitsgrade für den Zähler (größere Varianz)

19 Freiheitsgrade für den Nenner (kleinere Varianz) Hans Walser: Tabellen 7 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Freiheitsgrade für den Zähler (größere Varianz)

20 Freiheitsgrade für den Nenner (kleinere Varianz) Hans Walser: Tabellen 8 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Freiheitsgrade für den Zähler (größere Varianz)

21 Freiheitsgrade für den Nenner (kleinere Varianz) Hans Walser: Tabellen 9 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5% Freiheitsgrade für den Zähler (größere Varianz)

22 Hans Walser: Tabellen 20 5 Korrelationsanalyse 5. Kritische Werte für den Korrelationskoeffizienten von Pearson Voraussetzung: Bivariate Normalverteilung Nullhypothese: Keine Korrelation Testgröße: r xy, wobei r xy = n i= (x i x) (y i y) n i=(x i x) 2 n i=(y i y) 2 Signifikanzniveau α wählen. Aus Tabelle r krit ablesen. Falls r xy > r krit => Nullhypothese verwerfen (zweiseitig) (zweiseitig) 0% 5% 2% % 0% 5% 2% % n n

23 Hans Walser: Tabellen Kritische Werte für den Korrelationskoeffizienten von Spearman Keine bivariate Normalverteilung vorausgesetzt. Nullhypothese: Keine Korrelation Testgröße: r S, wobei r S = n 6 n(n 2 ) d i 2 i= (d i = Rangdifferenz) Signifikanzniveau α wählen. Aus Tabelle r krit ablesen. Falls r S > r krit => Nullhypothese verwerfen (zweiseitig) (zweiseitig) 0% 5% 2% % 0% 5% 2% % n n

24 Hans Walser: Tabellen 22 6 Chi-Quadrat-Tabelle Nullhypothese H 0 : Stochastische Unabhängigkeit Testgrösse 2 : Aus Randhäufigkeiten die unter H 0 erwarteten Häufigkeiten berechnen. Differenzen zwischen den beobachteten und den erwarteten Häufigkeiten quadrieren und durch die erwarteten Häufigkeiten dividieren. Die Summe dieser Zahlen ist 2. m n Felder haben den Freiheitsgrad (m )(n ). 2 Signifikanzniveau α wählen. Aus Tabelle krit ablesen. Falls 2 2 > krit => Nullhypothese verwerfen Freiheitsgrad = 0% = 5% = 2.5% = % = 0.5%