11. Nichtparametrische Tests

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1 11. Nichtparametrische Tests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012

2 In Kapitel 8 und 9 haben wir vorausgesetzt, daß die Beobachtungswerte normalverteilt sind. In diesem Fall kann man beweisen, daß die t-tests in gewissem Sinn optimal sind. Bei großen Stichproben kann der t-test aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes auch ohne diese Voraussetzung angewendet werden. Bei kleinen Stichproben ist der t-test aber nicht mehr korrekt. Wir wollen jetzt zwei Tests betrachten, die unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung anwendbar sind. Bei diesen Tests werden Hypothesen über den Median (statt über den Erwartungswert) getestet.

3 Der Vorzeichentest Voraussetzung: X 1,X 2,...,X n sind unabhängige Stichproben einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Median µ. Nullhypothese: µ = µ 0 bzw. µ µ 0 bzw. µ µ 0. Teststatistik: V = Anzahl der X i s mit X i > µ 0 = Anzahl der positiven Vorzeichen von X i µ 0 Verteilung der Teststatistik unter der Hypothese µ = µ 0 : V Bin(n,1/2) ( N(n/2,n/4) für große n)

4 Der Vorzeichentest Testentscheidung: H 0 : µ = µ 0 wird verworfen, falls V > b 1 α/2 (n,1/2) oder V < b α/2 (n,1/2) H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls V < b α (n,1/2) H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls V > b 1 α (n,1/2) Hierbei bezeichnet b α (n,p) das α-quantil der Bin(n,p)-Verteilung.

5 Der Vorzeichentest Testentscheidung für große n (n 30): H 0 : µ = µ 0 wird verworfen, falls V n > 2 H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls n 4 z 1 α/2 V < n 2 n 4 z 1 α H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls V > n 2 + n 4 z 1 α

6 Der Vorzeichentest Beispiel. Ein Glühbirnenhersteller behauptet, die Lebensdauer seiner Glühbirnen betrage im Mittel mindestens 900 Stunden. Um diese Behauptung zu überprüfen, wurde die Lebensdauer (in Stunden) bei 30 Glühbirnen gemessen: Muss die Nullhypothese µ 900 verworfen werden (α = 5%)?

7 Der Vorzeichentest Wir haben n = 30, V = 11, α = 0,05. Wegen n 30 können wir mit der Normalverteilung arbeiten. Die Nullhypothese ist daher zu verwerfen, falls Wegen 11 < z 0, z 0,95 = 15 7,5 1,645 = 10,49 < 11 kann H 0 nicht verworfen werden.

8 Der Vorzeichentest Bei normalverteilten Daten ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Nullhypothese beim Vorzeichentest verworfen wird, deutlich kleiner als beim t-test. Bei nicht in guter Approximation normalverteilten Daten ist der Vorzeichentest dagegen dem t-test oft überlegen. Ein Nachteil beim Vorzeichentest ist, daß er die Information, wie stark die Beobachtungswerte von µ 0 abweichen, nicht benutzt.

9 Der Wilcoxon-Test Der Wilcoxon-Test ist ein Kompromiss, der keine Normalverteilung voraussetzt, aber die Information der Daten besser ausnützt als der Vorzeichentest. Voraussetzung: X 1,X 2,...,X n sind unabhängige Stichproben einer stetigen symmetrischen W keitsverteilung mit Median (= Mittelwert) µ.

10 Der Wilcoxon-Test Man geht wie folgt vor: 1. Formulierung der Nullhypothese: µ = µ 0 oder µ µ 0 oder µ µ Den Beträgen X i µ 0 der Abweichungen werden Rangziffern zugeordnet. Das bedeutet, dass man die Abweichungen nach der Größe ihres Betrages aufsteigend ordnet und dann fortlaufend numeriert. Die Rangziffern sind dann die fortlaufenden Nummern. Ist X i µ 0 für zwei oder mehr Indizes i gleich, so wird für diese Indizes das arithmetische Mittel der zugeordneten Rangziffern vergeben. 3. Die Rangziffern werden für positive und negative Abweichungen getrennt aufgeführt. 4. W n + := Summe der Rangziffern der positiven Abweichungen, Wn := Summe der Rangziffern der negativen Abweichungen. 5. Kontrollrechnung: Es muss stets W + n +W n = n(n+1) 2 gelten.

11 Der Wilcoxon-Test Für große n (Faustregel: n 26) sind W n + und W n unter der Hypothese µ = µ 0 näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 4 1n(n+1) und Varianz 24 1 n(n+1)(2n+1). Dies führt zu der folgenden Testentscheidung: H 0 : µ = µ 0 wird verworfen, falls W n + 1 n(n+1)(2n+1) 4 n(n+1) > z 24 1 α/2. H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls W n + < 1 n(n+1)(2n+1) 4 n(n+1) z 1 α. 24 H 0 : µ µ 0 wird verworfen, falls W n + > 1 n(n+1)(2n+1) 4 n(n+1)+ z 1 α. 24

12 Der Wilcoxon-Test Beispiel. Ein Glühbirnenhersteller behauptet, die Lebensdauer seiner Glühbirnen betrage im Mittel mindestens 900 Stunden. Um diese Behauptung zu überprüfen, wurde die Lebensdauer (in Stunden) bei 30 Glühbirnen gemessen: Muss die Nullhypothese µ 900 verworfen werden (α = 5%)?

13 LD 900 Rang > 0) Rang 0) , , W = 131 W = 334

14 Wir haben n = 30, W n + = 131, α = 0,05. Wegen n 30 können wir mit der Normalverteilung arbeiten. Die Nullhypothese ist daher zu verwerfen, falls 131 < z 0, Wegen z 0,95 = 232,5 2363,5 1,645 = 152,53 > muss H 0 verworfen werden.