1.6 Der Vorzeichentest

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1 .6 Der Vorzeichentest In diesem Kapitel soll der Vorzeichentest bzw. Zeichentest vorgestellt werden, mit dem man Hypothesen bezüglich des Medians der unabhängig und identisch stetig verteilten Zufallsvariablen X, X,, X n testen kann, deren Realisierungen als eine Stichprobe x, x,, x n vorliegt. Das Datenniveau sollte hier sogar metrisch sein. Es wird, wie bei allen hier vorgestellten nichtparametrischen Verfahren, keine Normalverteilung der X i vorausgesetzt. Nun können wir die folgenden Hypothesen testen: H 0 : Median = Median 0 H : Median Median 0 Im folgenden Beispiel wollen wir nun H 0 : Median = H : Median testen. Wir verwenden folgende Daten: v 4 3 Seite 4

2 Wenn Sie dann Univariate Statistik wählen, können Sie neben dem Button Vorzeichentest den Wert für Median 0 eintragen, also hier. Danach können Sie auf Vorzeichentest klicken und erhalten den folgenden Output: Vorzeichentest Anzahl Werte größer als Anzahl Werte kleiner als H0: Median = H: Median <> H0: Median >= H: Median < H0: Median <= H: Median > p-werte Kommen wir nun zur Beschreibung des Tests bzw. des Outputs. Wir bestimmten die transformierte Stichprobe y i = x i - Median 0 = x i - : -, 0, 3, 3,,, 0, 3 Die Zufallsvariablen Y i (deren Realisierungen die y i sind) hätten unter H 0 den Median 0. Aus der transformierten Stichprobe werden nun alle Nullen entfernt: -, 3, 3,,, 3 Unser (neuer) Stichprobenumfang ist nun n = 6. Eine Beobachtung ist negativ und k = sind positiv. Unter H 0 ist die Anzahl k der positiven Werte y i eine Realisierung einer mit den Parametern n und p = ½ (= P(Y i > 0)) binomialverteilten Zufallsvariablen K, da bei einer stetigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit 0% beträgt, dass diese einen Wert größer dem Median annimmt. Bei einer stetigen Zufallsvariablen Y ist P(Y = 0) = 0. Seite

3 H 0 kann verworfen werden, wenn P (X k) / oder P (X k) P (X k ) /. Oben ist zu beachten, dass bei einer diskreten Verteilung, wie hier der Binomialverteilung, P(X = k) größer als Null ist für wenn k = 0,,, n ist. Aus diesem Grund ist ist, was oben verwendet wurde. P(X < k) = P(X k - ) Somit kann die Nullhypothese verworfen werden, wenn ) PB (n,/ (X k) oder ( P (n,/ (X k )) Somit ergibt sich der zweiseitige p-wert: B. p-wert = min { P (X k), ( P (X k )), } Im Beispiel gilt: p-wert = min { P (X ), ( P (X 4)), } = 0.87 B(6,/ B(,/ Diesen p-wert finden Sie auch im Output (in der ersten Spalte für den zweiseitigen Test). Die Nullhypothese kann also beispielsweise auf einem Signifikanzniveau von % nicht verworfen werden (0,87 > 0,0). Damit weicht der Median nicht signifikant vom Wert ab. Daneben befinden sich im Output die p-werte für die beiden einseitigen Tests. Für H 0 : Median Median 0 H : Median < Median 0 wird H 0 Seite 6

4 verworfen, wenn k zu klein ist, also wenn p-wert = P (X k). Im Beispiel gilt: p-wert = P B(6,/ (X ) = 0,98437 > 0,0 Für H 0 : Median Median 0 H : Median > Median 0 wird H 0 verworfen, wenn k zu groß ist, also wenn Im Beispiel gilt: p-wert = P (X k ). p-wert = P (X 4) = 0,0937 > 0,0 B(6,/ Somit könnten in den beiden einseitigen Tests die Nullhypothesen ebenfalls nicht auf einem Signifikanzniveau von % verworfen werden. Bemerkung: Für n 00 und np(-p) > 9 erscheinen im Output approximative p-werte. Da k E(X) k np z mit p = ½ Var(X) np( p) (unter H 0 ) asymptotisch standardnormalverteilt ist, werden als (approximative) p-werte (-F N(0,) ( z )), F N(0,) (z) und -F N(0,) (z) ausgegeben, wobei eine Stetigkeitskorrektur verwendet wird. Seite 7

5 Umsetzung mit SAS: data dat; input x; cards; 4 3 run; proc univariate data = dat mu0=; var x; run; SAS-Output zur Prozedur UNIVARIATE: Die Prozedur UNIVARIATE Variable: x Momente N 8 Summe Gewichte 8 Mittelwert 3.37 Summe Beobacht. 7 Std.abweichung Varianz.3743 Schiefe Kurtosis Unkorr. Qu.summe 09 Korr. Quad.summe 7.87 Variationskoeff Stdfeh. Mittelw Grundlegende Statistikmaße Lage Streuung Mittelwert Std.abweichung.9799 Seite 8

6 Grundlegende Statistikmaße Lage Streuung Median Varianz.37 Modalwert Spannweite Interquartilsabstand Tests auf Lageparameter: Mu0= Test Statistik p-wert Studentsches t t Pr > t 0.04 Vorzeichen M Pr >= M 0.88 Vorzeichen-Rang S 9 Pr >= S Seite 9