PVK Statistik Carlos Mora
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- Karsten Kaufman
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1 PVK Statistik
2 Prüfung 1 Frage Binomialverteilung und/oder Poissonverteilung mit Test, Poisson-, Normalapproximation 1.Übungsblatt 1 Frage Normalverteilung, z-, t-test; Ein- und/oder zwei Stichproben 2. Übungsblatt 1 Frage Lineare Regression 3. Übungsblatt 1 Frage Gemischte Fragen 4. Übungsblatt PVK Statistik 2
3 Ziel dieses PVKs Auf die Prüfung vorzubereiten Repetition des Prüfungsstoffes Prüfungsaufgaben lösen Unklarheiten erkennen und beseitigen PVK Statistik 3
4 Richtig oder falsch? (1/2) 1. Eine Zufallsvariable X gibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an. FALSCH: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, welcher jedem Ereignis eine Zahl zuordnet. 2. Die Binomialverteilung, Bernoulliverteilung und Poissonverteilung sind stetige Verteilungen. FALSCH: Es sind alles diskrete Verteilungen. 3. Ein zweiseitiger statistischer Test testet, ob die Beobachtung signifikant grösser ist als ein angenommener Wert. FALSCH: Ein zweiseitiger Test untersucht, ob die Beobachtung vom angenommenen Wert abweicht, das beschriebene Beispiel wäre ein einseitiger Test. 4. Die Macht eines Tests gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Nullhypothese verworfen wird, wenn die Alternativhypothese zutrifft. Richtig PVK Statistik 4
5 Richtig oder falsch? (2/2) 5. Die kumulative Wahrscheinlichkeit P[X x] einer Normalverteilung kann ganz einfach mit dem Taschenrechner berechnet werden. FALSCH: Man muss Standardisieren und die z-tabelle benützen. 6. Ist die Standardabweichung von normalverteilten Messdaten nur geschätzt, muss der t-test durchgeführt werden. RICHTIG 7. Bei gepaarten Stichproben sind die Stichproben unabhängig voneinander. FALSCH: Sie sind zu Paaren geordnet und deshalb abhängig voneinander! 8. Anstatt des Verwerfungsbereichs eines zweiseitigen statistischen Tests auf 5% - Niveau wird der p-wert = angeben: die Alternativhypothese wird angenommen. RICHTIG PVK Statistik 5
6 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 30min inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
7 Block 4 Block 3 Übersicht :00 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) Übung 2C 7. Lineare Regression 12:00 Übung 3 Mittag 13:00 8. Verschiedenes Übung 4 ca.16:00 PVK Statistik 7
8 Block 5 Übersicht :00 8. Lösen von Prüfungen aus früheren Jahren 12:00 PVK Statistik 8
9 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
10 1. Grundlegendes 1.1 Zufallsvariable X Definition: Die Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis eines Zufallsexperiments eine Zahl x zuordnet. Diskrete Zufallsvariable Eine diskrete Zufallsvariable kann nur abzählbaren Ereignissen eine Zahl zuordnen, d.h. X = [0,1,2,3 ] Stetige Zufallsvariable Eine stetige Zufallsvariable ordnet nicht abzählbaren Ereignissen eine Zahl zu, d.h. X = [3.12, usw.] Bsp.: Sei X die Anzahl kaputter Gläser in einer Lieferung, kommt das Ereignis kaputte Gläser in einer Lieferung 3 mal vor, so ist X = 3. Bsp.: Sei X die Grösse eines Menschen, so ordnet X jedem zufällig ausgewählten Menschen seine Grösse zu. PVK Statistik 10
11 1. Grundlegendes 1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X Eine Verteilung ist eine Auflistung aller Wahrscheinlichkeiten für alle ganzen Zahlen x, -> diskrete Verteilung, -> ist ein Balkendiagramm reellen Zahlen x, -> stetige Verteilung, -> ist eine stetige Funktion welche die Zufallsvariable annehmen kann. Bsp. Stetige Verteilung: Liste der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Grössen der Menschen Binomialverteilung (diskret) Normalverteilung (stetig) PVK Statistik 11
12 1. Grundlegendes 1.3 Parameter einer Verteilung Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X Der Erwartungswert beschreibt die mittlere Lage der Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert ist am grössten. Standardabweichung σ(x) Berschreibt die Streuung der Verteilung, d.h. die Streuung um den Erwartungswert. σ(x) Varianz Var(X) Standardabweichung im Quadrat, einfacher zum Berechnen. E(X) PVK Statistik 12
13 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
14 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 2.1 Bernoulliverteilung Definition: Ein Versuch mit nur zwei möglichen Ereignissen: Erfolg oder Nicht- Erfolg. Bsp. Was ist die Wahrscheinlichkeit bei 1x Münze (gefälscht) werfen, dass der Kopf oben liegt. X = Erfolg (Kopf -> 1 Erfolg, Zahl -> 0 Erfolge) p(kopf) = 0.6 X ~ Bernoulli(0.6) X ~ Binom(1,0.6) P[X=x] = p x * (1-p) n-x n=1 Anwendung: Spezialfall der Binomialverteilung mit n=1 PVK Statistik 14
15 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 2.2 Binomialverteilung (Zusammenfassung S.1) Definition: Limitierte Serie von gleichartigen, unabhängigen Versuchen, wobei die Anzahl Erfolge (Treffer) beschrieben wird. n 1 Anwendung: Qualitätskontrolle, Erfolg/Misserfolg bei Behandlungen/Experimenten, Glücksspielen usw. PVK Statistik 15
16 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 2.3 Binomialverteilung Bsp.: 20 x Münze (gefälscht) werfen X = Anzahl Erfolge (Kopf) p(kopf) = 0.6 X ~ Bin(20, 0.6) Was ist: P[X=2] = P[X < 2] = P[X >18] = 3.4 * 10-7 PVK Statistik 16
17 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 2.4 Poissonverteilung einer Zufallsvariable X Hat keine Obergrenze an Versuchen (kein definiertes n) und gilt also für unbeschränkte Zähldaten, z.b. Schadenmeldungen eines Versicherten pro Jahr. Bsp.: Im Durchschnitt werden bei der Radarfalle an der Hohlstrasse in Zürich 10 Autos pro Stunde geblitzt, also λ X =10. X ist die Anzahl geblitzter Autos pro Stunde. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur 8 Autos in einer Stunde geblitzt werden? P[X=8] = Formel mit λ X =10 und x=8. Poisson-Prozess: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Stunden 45 Autos geblitzt werden? Y = Anzahl geblitzter Autos pro 5 Stunden, λ Y = 5* λ X = 50 P[Y=45] = Formel mit λ Y =50 und y=45 17
18 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen Poissonapproximation (Zusammenfassung S.1) Für die Annäherung (Approximation) der Binomialverteilung geeignet. Bsp.: Die W keit für Komplikationen bei der Operation Z liegt bei 3%. Was ist die W keit, dass von 100 Patienten mind. eine Person eine Komplikation hat? X = Anzahl Personen mit Komplikationen; n=100 X~Binom 100, 0.03 P X 1 = Poissonapproximation X = Anzahl Personen mit Komplikationen; λ = = 3 X Poisson 3 P X 1 = PVK Statistik 18
19 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 2.5 Überblick diskrete Verteilungen (Zusammenfassung S.1) PVK Statistik 19
20 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
21 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übersicht PVK Statistik 21
22 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen 3.1 Binomialtest (Zusammenfassung S.5) PVK Statistik 22
23 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen 3.1 Binomialtest - Beispiel Bsp.: Test auf Hellsehefähigkeit Vreni wird 10 mal die Rückseite einer rein zufällig gewählten Jasskarte gezeigt. Sie muss die Farbe bestimmen. Vreni hat 5 mal richtig getippt (x=5). 1. Schritt: Was ist die Zufallsvariable X und das richtige Modell? X = Anzahl richtige Treffer X~Binom(n,p) 2. Schritt: Null- und Alternativhypothese bestimmen: Nullhypothese H 0 : p = 0.25 Alternativhypothese H A : p > Schritt: Teststatistik ->X ~Bin(10, 0.25), Signifikanzniveau α = 0.05 Testresulat a) P-Wert: P[X 5] < 0.05? -> P[X 5] = P[X=5]+ P[X=6]+ P[X=7]+ P[X=8]+ P[X=9]+ P[X=10]= Nullhypothese wird nicht verworfen. PVK Statistik 23
24 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen 3.1 Binomialtest - Fortsetzung b) Verwerfungsbereich: K = [c o, n] -> P[X c o ] 0.05 Liste: P[X 4] = 1 - P[X 3] = 1 - (P[X=0]+ + P[X=3]) = 0.22 P[X 5] = P[X 6] = < 0.05 c o = 6 P[X 7] = < 0.05 K= [6, 10] Die Nullhypothese wird nicht verworfen P[X 6] = P[K] 0.05!! K PVK Statistik 24 c o
25 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Fehler 1. Art eines Tests P[Fehler 1. Art]: Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird, obwohl sie zutrifft. P[Fehler 1.Art] = α (= 0.05) P K = α = P X c 0 = P[Fehler 1. Art] K PVK Statistik 25
26 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Fehler 2. Art P[Fehler 2. Art]: Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl die Alternativhypothese zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird immer für ein bestimmtes als wahr angenommenes p wahr berechnet Bin(n, p wahr ) Wandtafel!!! Vreni kann die Farbe mit p wahr = 0.4 voraussehen. Mit welcher W keit erkennt der Test nicht, dass Vreni hellsehen kann? Bin(10,0.4) -> P[X< c o ] = P[X< 6] = P[X 5] = 0.83 Mit 83% W keit erkennt man nicht, dass Vreni hellsehen kann, falls sie es (ein bisschen) könnte. Wird Fehler 1. Art kleiner, vergrössert sich der Fehler 2. Art. Problem in der Wissenschaft!! PVK Statistik 26
27 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen 3.2 Macht eines Tests Fehler 2. Art umgekehrt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese verworfen wird, wenn die Alternativhypothese für p wahr = 0.4 zutrifft. 1- P[Fehler 2. Art] = = 0.17 Das heisst, dass man merkt, dass Vreni hellsehen kann, beträgt nur 17%! -> Dieser Test erkennt also keine Personen, welche nur ein wenig hellsehen können. PVK Statistik 27
28 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen 3.3 Zweiseitiges approximatives 95% Vertrauensintervall für p Man benötigt die Anzahl Versuche n und die Beobachtung x. Für was braucht man das 95% Vertrauensintervall (=Konfidenzintervall)? Bsp: Beobachtung 5 von 100 Fahrgästen fahren schwarz. Schätzung p = 0.05 In welchem Bereich liegt das wahre p? Schwarzfahren: I [0.0073, ] Ist es plausibel, dass 12% aller Fahrgäste schwarz fahren? Nein. Wie könnte man das Vertrauensintervall genauer (kleiner) machen? PVK Statistik 28
29 Übung 1 (1.Teil) 1. Übungsblatt A) C) lösen min Pause 15 min PVK Statistik 29
30 Grundlegendes Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X Eine Verteilung ist eine Auflistung aller Wahrscheinlichkeiten für alle ganzen Zahlen x, -> diskrete Verteilung, -> ist ein Balkendiagramm reellen Zahlen x, -> stetige Verteilung, -> ist eine stetige Funktion welche die Zufallsvariable annehmen kann. Bsp. Stetige Verteilung: Liste der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Grössen der Menschen Binomialverteilung (diskret) Normalverteilung (stetig) PVK Statistik 30
31 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
32 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 4.1 Allgemein Die Verteilungsfunktion f(x) ist stetig (ununterbrochen), heisst nun Dichtefunktion und ist die 1. Ableitung der kumulativen Verteilung F(x). z.b. Exponentialverteilung: F(x) = 1-exp(-λ*x); x 0 f(x) = λ*exp(-λ*x); x 0 Da P[X=x] 0 kann man nur Bereiche von Wahrscheinlichkeiten (kumulative Wahrscheinlichkeiten!!!) bestimmen: z.b. P[1 X 4] = P[1<X<4]= P[X<4]-P[X<1] z.b. P[- <X<4] = P[X<4]-P[X<- ] = P[X<4] PVK Statistik 32
33 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 4.2 Uniforme und Exponentialverteilung (Zusammenfassung S.2) PVK Statistik 33
34 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 4.3 Normalverteilung (Zusammenfassung S.3) PVK Statistik 34
35 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 4.4 Standardnormalverteilung (Zufallsvariable Z) 0 Die kumulativen Wahrscheinlichkeiten Φ(z) der Standardnormalverteilung sind tabelliert in der z-tabelle. Was ist P Z < 0.45 = Φ 0.45? Φ = Was ist Φ = z? z = 0.44 PVK Statistik 35
![P[X<160] = P[Z< x μ 160 170 ] = P[Z< ] = P[Z< -1.11] = 1 - P[Z< 1.](/docs-images/77/75318498/images/36-6.jpg "11] = (Z-Tabelle) σ 81 = 1 0.8665 = 0.1335 P[X>160]=1-P[X<160] = 0.")
36 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 4.5 Standardisieren Bsp: X ist die Grösse eines Menschen in cm; X ~ Normal(170, 81) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand grösser ist als 160cm? P[X>160]= 1 - P[X<160] Umweg: Negativ! P[X<160] = P[Z< x μ ] = P[Z< ] = P[Z< -1.11] = 1 - P[Z< 1.11] = (Z-Tabelle) σ 81 = = P[X>160]=1-P[X<160] = Was ist die W keit, dass jemand kleiner ist als 185cm? Selber ausrechnen! P[X<185] = P[Z<( )/9]= P[Z<1.67] = PVK Statistik 36
37 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
38 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 38
39 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.1 Normal Q-Q plot Normalverteilt oder nicht normalverteilt? normalverteilt Nicht normalverteilt PVK Statistik 39
40 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 40
41 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.2 z-test (Zusammenfassung S.6) PVK Statistik 41
42 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Bsp. z-test Salatgurken im Garten Annahme: X=Länge [cm] der Gurken und X~Normal(μ,σ 2 ) 10 Gurken sind gewachsen Gurken von Migros sind durchschnittlich 42.5 cm lang und in der internationalen Gurkendatenbank steht, dass die Streuung der Länge von Salatgurken 7cm beträgt. Sind meine Gurken länger als die von der Migros (α = 0.05)? Z-Test, 2. Hypothese: 3. Teststatistik: PVK Statistik 42
43 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Fortsetzung Bsp. z-test 4. Testentscheid: z = Nullhypothese wird nicht verworfen! 5. Verwerfungsbereich K = 1. 64,, z = K PVK Statistik 43
44 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 44
45 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.3 Normalapproximation (Zusammenfassung S.5) Für was braucht man Approximationen (=Annäherungen) an die Normalverteilung (am häufigsten verwendete Verteilung für Approx., Alternative: Poissonverteilung)? Um mit Verteilungen (z.b. Binomialverteilung, usw.) zu rechnen, mit denen man sonst nur schwer von Hand arbeiten kann! Vorgehen ist sehr einfach siehe Zusammenfassung S.1, Bsp. Binomialverteilung PVK Statistik 45
46 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.3 Normalapproximation der Binomialverteilung, Bsp. Bsp.: Heidi werden die Rückseiten von 800 Jasskarten gezeigt, sie muss die Jasskartenfarbe bestimmen. a) Mit welcher Verteilung ist X = Anzahl richtig getippte Jasskartenfarbe unter der Nullhypothese, dass Heidi keine Hellseherin ist, verteilt? X ~ Binom(800, 0.25) b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heidi mehr als 210 Jasskarten richtig tippt? Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit mit einer geeigneten Approximation! E(X) = 800 * 0.25 = 200; Var(X)= 800 * 0.25 * 0.75 = 150 X Normal(200,150) P[X>210] 1 P[X<210] = 1- P[Z< ] = 1- P[Z<0.82] = = PVK Statistik 46
47 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.3 Normalapproximation der Binomialverteilung, Test Normalapproximation: Für n gross Bsp.: Heidi werden die Rückseiten von 800 Jasskarten gezeigt, sie tippt 230mal richtig. 1. Modell: X = Anzahl richtig getippter Jasskarten X ~ Binom(n, p) 2. Nullhypothese H 0 : p = 0.25 Alternativhypothese H A : p > Teststatistik -> X ~Binom(800, 0.25) E(X) = 800*0.25 = 200 Var(X) = 800*0.25*0.75= 150 X Normal(200,150) -> Standardabweichung bekannt Z-Test Was ist das Testergebnis? Was ist der Verwerfungsbereich? z = 2.44 > 1.64 Nullhypothese wird verworfen, Heidi kann tatsächlich hellsehen!! Was ist der Verwerfungsbereich? K = [c o, n] = [221, 800] PVK Statistik 47
48 Übung 1 (2.Teil) 1. Übungsblatt D) - F) (~45-60 min) Mittagessen Nochmals 15min Zeit PVK Statistik 48
49 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
50 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 50
51 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.4 t-test (Zusammenfassung S.7) PVK Statistik 51
52 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Bsp. t-test Salatgurken im Garten 2.0 Annahme: X=Länge [cm] der Gurken und X~Normal(μ,σ 2 ) 10 Gurken sind gewachsen Gurken von Migros sind durchschnittlich 42.5 cm lang und in der internationalen Gurkendatenbank steht, dass die Streuung der Länge von Salatgurken 7cm beträgt. Sind meine Gurken länger als die von der Migros (α = 0.05)? t-test, 2. Hypothese: 3. Teststatistik PVK Statistik 52
53 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Fortsetzung Bsp. t-test 4. Testentscheid: t-tabelle nachschauen! t = Nullhypothese wird nicht verworfen! 5. Verwerfungsbereich K = ,, t = K PVK Statistik 53
54 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 54
55 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.5 Vorzeichentest (Zusammenfassung S.8) PVK Statistik 55
56 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 5.5 Vorzeichentest Modell: X i ~beliebige stetige Verteilung mit n unabhängigen Stichproben (Messungen) Annahme: μ = Median X i P X μ = % der Daten liegen jeweils über- und unterhalb des Medians! Bemerkung: Für unser Wissensniveau nehmen wir der Einfachheit halber immer an, dass die beliebige Verteilung symmetrisch ist (wie auch die Normalverteilung), das heisst: E X i = Median X i = μ Teststatistik: V: Anzahl X i mit X i > μ 0 Treffer (Anzahl «+» = Messungen grösser als μ 0 ) werden gezählt V ist binomialverteilt!!! V~Bin(n, 0. 5) Binomialtest, P-Wert, Verwerfungsbereich K PVK Statistik 56
57 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Vorzeichentest, Bsp. 2. Hypothese: 3. Teststatistik V: Anzahl X i mit X i > μ 0 v = 7 4. Testresultat P-Wert = P V 7 = P V = P V = 10 = H 0 wird nicht verworfen!! Verwerfungsbereich K = [c o, 10] P V 7 = P V 8 = P V 9 = c o =9 K = 9, 10, v K PVK Statistik 57
58 Übung 2A 2. Übungsblatt A) (~15-20min) Pause 15 min PVK Statistik 58
59 Block 2 Block 1 Übersicht :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
60 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Übersicht PVK Statistik 60
61 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen 6.1 Gepaart oder ungepaart? Gepaart Beide Stichproben bilden ein Paar. Ungepaart Es gibt keine Paare. Beide Stichproben sind abhängig voneinander, z.b. gleiche Messung an derselben Person. Beide Stichproben sind unabhängig voneinander. WICHTIG: n ist für beide Stichprobengruppen gleich gross! WICHTIG: Die Anzahl Stichproben muss für beide Stichprobengruppen nicht gleich gross sein! PVK Statistik 61
62 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen Gepaart oder ungepaart? Man weiss, dass männliche C57BL/6 Labormäuse mehr Testosteron produzieren als männliche BALB/c Mäuse. Zeigt sich dies in ihrem Verhalten? Es wird beschlossen, eine direkte Konkurrenzsituation herbeizuführen. Man bildet 20 Paare aus je einer männlichen C57BL/6 und einer BALB/c Maus, steckt je ein Paar in einen Käfig und misst nach einer Woche, wie viel Gewicht jede Maus zugenommen hat. Daraus will man ableiten, welcher Mausstamm aggressiver ist. gepaart, Paarbildung Ein neues Medikament gegen Fettsucht, ANTIFETT, soll auf Wirksamkeit getestet werden. Dazu wird eine Doppelblindstudie durchgeführt (der Arzt und der Patient wissen beide nicht, welches das echte und das Placebo-Medikament ist, nur der Studienkoordinator weiss es). 28 fettleibigen Personen wird ein Placebo, 32 fettleibigen Personen das echte Medikament abgegeben. ungepaart, unabhängige Gruppen, unterschiedliche Grösse der Gruppen PVK Statistik 62
63 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen X 3 X 3 Transgene Pflanzen Kontrolle PVK Statistik 63
64 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen H 0 : μ transgen = μ Kontrolle H A : μ transgen < μ Kontrolle PVK Statistik 64
65 Block 2 Block 1 Rückblick :15 1. Grundlegendes 2. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen 3. Statistischer Test für diskrete Verteilungen Übung 1 (1.Teil) 1h 15min inkl. Pause 4. Verteilungen von stetigen Zufallsvariablen 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) 12:00 13:00 Mittag Übung 1 (2.Teil) 5. Ein-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) 1h, anschl. Mittag Übung 2A 1h inkl. Pause 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (1.Teil) ca.15:30-16:00 Übung 2B 15min
66 Block 4 Block 3 Übersicht :00 6. Zwei-Stichproben-Tests für stetige Verteilungen (2.Teil) Übung 2C 7. Lineare Regression 12:00 Übung 3 Mittag 13:00 8. Verschiedenes Übung 4 ca.16:00 PVK Statistik 66
67 Übung 2B 2. Übungsblatt B) (~15min) Ende Tag 1 Danke für Eure Aufmerksamkeit!!! PVK Statistik 67
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