von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch.
|
|
- Marta Fürst
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten k Ausgangsverteilung konvergiert die Verteilungsfunktion der Summe gegen die Normalverteilung. Ist die Anzahl der Summanden (n) hinreichend groß, so kann in der Prais die Verteilung einer Summe durch die Normalverteilung approimiert werden. Die Frage, ab wann n hinreichend groß ist, hängt von der gewünschten Genauigkeit und der Form der Ausgangsverteilung ab. Statistik für SoziologInnen 1 Zentraler Grenzwertsatz Verteilung von Summen Beispiel: Würfelwurf Frage: Wie verhält sich die Verteilung der Augensumme von -Würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationseperiment durch. 6 Würfe mit 1 Würfel 6 Würfe mit 2 Würfel 6 Würfe mit 3 Würfel etc. Statistik für SoziologInnen 2 Zentraler Grenzwertsatz
2 Augensumme von 1 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 3 Zentraler Grenzwertsatz Augensumme von 2 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 4 Zentraler Grenzwertsatz
3 Augensumme von 3 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 5 Zentraler Grenzwertsatz Augensumme von 5 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 6 Zentraler Grenzwertsatz
4 4 5 Augensumme von 1 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 7 Zentraler Grenzwertsatz 8 1 Augensumme von 5 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 8 Zentraler Grenzwertsatz
5 Zentraler Grenzwertsatz Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann gilt für die Verteilung Summe S n = X 1 + X X n Erwartungswert E(S n ) = nμ und Varianz V(S n ) = nσ². Statistik für SoziologInnen 9 Zentraler Grenzwertsatz Zentraler Grenzwertsatz Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe X nμ i Z = n nσ 2 mit wachsendem n gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert E(Z n ) = und Varianz V(Z n ) = 1. Z n ~ N(, 1²) Statistik für SoziologInnen 1 Zentraler Grenzwertsatz
6 Beispiel Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Verkäufe pro Tag eines bestimmten Produkts sei bekannt,5,4 X 1 2 3,3,2 Prob,4,3,2,1,1 Wie ist die Anzahl der Verkäufe pro 1 Tage (X1) verteilt, wenn die einzelnen Verkaufstage als unabhängig angesehen werden können? X1=X 1 +X X Statistik für SoziologInnen 11 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel (Fortsetzung) X Prob,4,3,2,1 X*Prob 3,3 4,4,3 ==> E(X)=1 X²*Prob,3,8,9 ==> E(X²)=2 V(X) = 2-1² = 1 E(X1)=1 V(X1)=1 X1~N(1, 1) z.b.: P(X1>12) = 1-F N ((12-1)/1) = 1-F N (2)=,23 Statistik für SoziologInnen 12 Zentraler Grenzwertsatz
7 Beispiel (Fortsetzung) Wie lautet das zentrale Schwankungsintervall, für das gilt, dass der Verkauf an 1 Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% in diesem Intervall zu liegen kommt? P( u <X1< o )=,5 P(z,25 <(X1-1)/1<z,75 )=,5 P(-,674<(X1-1)/1<,674)=,5 93,26,5 16,74 P(93,26<X<16,74)=,5 Statistik für SoziologInnen 13 Zentraler Grenzwertsatz Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes auf Mittelwert Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann gilt für die Verteilung des arithmetischen Mittels n = 1/n(X 1 + X X n ) Erwartungswert E( n ) = μ und Varianz V( n ) = σ²/n. i) Auch das arithmetisch Mittel ist dann eine Zufallsvariable ii) Die Standardabweichung des arithm. Mittels wird auch Standardfehler bezeichnet Statistik für SoziologInnen 14 Zentraler Grenzwertsatz
8 Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes auf Mittelwert Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann konvergiert die Verteilung des standardisierten Mittelwertes 1 Xi μ n μ Zn = = 2 2 σ / n σ /nn mit wachsendem n gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert E(Z n ) = und Varianz V(Z n ) = 1. Z n ~ N(, 1²) Statistik für SoziologInnen 15 Zentraler Grenzwertsatz Standardfehler Die Varianz bzw. die Standardabweichung des arithmetischen Mittels ergibt sich also durch: 2 σ = σ 2 / n 2 σ = σ / n = σ / n SLID$wages Der Mittelwert schwankt weniger stark als die Einzelwerte Die Standardabweichung des Mittelwertes wird auch als Standardfehler (standard error) bezeichnet. Wurzel-n Gesetz: Doppelte Genauigkeit benötigt vierfachen Stichprobenumfang! Statistik für SoziologInnen 16 Zentraler Grenzwertsatz
9 Beispiel (1) Canadian Survey of Labour and Income Dynamics Stundenlohn von n = Angestellten Frequency Min st Qu Median 14.9 Mean rd Qu Ma Lohn Statistik für SoziologInnen 17 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel (2) Var(Lohn) = 62,14 Std.Abw.(Lohn) = 7,88 VC = 5,7% Gedanken-Eperiment: Angenommen anstelle der Gesamtheit hätten wir nur 1 Stichprobe des Umfangs von n=1 Was könnten wir daraus über den Durchschnittslohn lernen? Statistik für SoziologInnen 18 Zentraler Grenzwertsatz
10 Eine konkrete Stichprobe sample(lohn, 1) Mean = Wir haben für die Stichprobe zufällig 1 von Personen ausgewählt. Der Stichprobenmittelwert liegt rund 1$ über dem wahren Mittelwert. Offensichtlich waren in dieser konkreten Stichprobe gut verdienende Personen überrepräsentiert. Was würde passieren, wenn wir nicht eine Stichprobe sondern 1. verschiedene Stichproben ziehen würden? Wir bekommen dann natürlich 1. verschiedene Stichprobenmittelwerte! Statistik für SoziologInnen 19 Zentraler Grenzwertsatz Ergebnis von 1. Stichproben Die Standard-Abweichung der Einzelwerte beträgt Density Histogramm der 1. Mittelwerte sm Min Mean Ma Var.6 Stand.Abw..77 Die Standard-Abweichung der Mittelwerte bezeichnen wir als Standardfehler. Er quantifiziert wie genau wir mit einer Stichprobe von n Elementen liegen! Im Beispiel gilt n=1 Statistik für SoziologInnen 2 Zentraler Grenzwertsatz
11 Beispiel Das mittlere Haushaltseinkommen in einer Stadt betrage 32.6,- mit einer Standardabweichung von 6.2,-. Für eine empirische Untersuchung wird eine Zufallsstichprobe von n=4 Haushalten gezogen. g Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe ein mittleres Jahreseinkommen von weniger als 32.,- zu beobachten? 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = σ = 96.1 = P ( 4 < 32.) =Φ ( ) =Φ( 1,935) =,26 31 Beachte: Einkommen sind typischerweise rechtsschief verteilt, dennoch können wir unter der Annahme von n identisch verteilten unabhängigen Realisierungen einer ZV für das arithmetische Mittel die Normalverteilung heranziehen Statistik für SoziologInnen 21 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe von n=4 Haushalten ein mittleres Jahreseinkommen zu beobachten, dass nur um 5 vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweicht? [- also zwischen 32.1,- und 33.1,- zu liegen kommt] 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = σ = 96.1 = P (32.1 < 4 < 33.1) =Φ ( ) Φ ( ) = Φ(1,613) Φ( 1,613) =,893 Statistik für SoziologInnen 22 Zentraler Grenzwertsatz
12 Beispiel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe von n=4 Haushalten ein mittleres Jahreseinkommen zu beobachten, dass nur um 25 vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweicht? [- also zwischen 32.35,- und 32.85,- zu liegen kommt] 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = σ = 96.1 = P ( < 4 < 32.85) =Φ ( ) Φ ( ) = Φ(,86) Φ(,86) =,58 Statistik für SoziologInnen 23 Zentraler Grenzwertsatz Gesetz der großen Zahlen Eng verwandt mit dem zentralen Grenzwertsatz ist, das Gesetz der großen Zahl Das schwache Gesetz der großen Zahlen lautet: P ( μ ε) für n n Vereinfacht formuliert bedeutet das Gesetz der großen Zahlen, dass mit wachsendem n (Stichprobenumfang), die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Erwartungswert der Grundgesamtheit (μ), welche absolut größer als ε ist, gegen null geht. Statistik für SoziologInnen 24 Zentraler Grenzwertsatz
13 Beispiel: durchschnittliche Lottozahl Beim Lotto 6 aus 45 werden die Zahlen 1-45 gleichverteilt gezogen. Der Mittelwert einer Ziehung liegt theoretisch bei 23 [(45+1)/2] Bei einzelnen Ziehungen schwankt dieser Mittelwert deutlich. Der Mittelwert über alle 9 Ziehungen des Jahres 23 beträgt 23,7. Der Mittelwert über alle 1218 Ziehungen beträgt 23,9. LOTTO Zahlen 23 Datum Rd Zahlen Mittelwert 1.1. Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , 9.2. So , Mi , So , Mi ,17 Statistik für SoziologInnen 25 Zentraler Grenzwertsatz Grenzwertsatz von De Moivre und Laplace Falls X binomialverteilt ist mit den Parametern n und p [es sei also X~Bi(n, p)] so gilt: X np np ( 1 p) N(,) 1 Die Güte der Anpassung hängt dabei von n und p ab. (Wenn p nahe 1/2 und n möglichst groß ist, so steigt die Güte) Faustregel: np>1 und n(1-p)>1 Statistik für SoziologInnen 26 Zentraler Grenzwertsatz
14 .8 1. n= 1 p= Statistik für SoziologInnen 27 Zentraler Grenzwertsatz.8 1. Im Vergleich zum vorherigen Bild hat sich die Anpassung verbessert. n= 2 p= Statistik für SoziologInnen 28 Zentraler Grenzwertsatz
15 n= 2 p=.1 Im Vergleich zum vorherigen Bild hat sich die Anpassung wieder verschlechtert Statistik für SoziologInnen 29 Zentraler Grenzwertsatz n= 1 p= Sehr gute Anpassung Statistik für SoziologInnen 3 Zentraler Grenzwertsatz
16 Beispiel: Prognose des Rücklaufs Bei einer bestimmten schriftlichen Befragung weiß man aus Erfahrung, dass etwa 2% der Befragten tatsächlich antworten. Es werden n=5. Fragebogen g versandt. X sei die Anzahl der Antworter Var(X)=5*,2*,8 X~N(1., 8) Std.Abw. =28 Mehr als 1. Antworten: P(X>1.) =,5 Mehr als 1.2 Antworten: P(X>1.2) =, 95% Intervall für die Anzahl der zu erwartenden Antworten: P(1-1,96*28<X<1+1,96*28) =,95 P(945<X<155) =,95 Statistik für SoziologInnen 31 Zentraler Grenzwertsatz y n= 5 p=.2 y n= 5 p= Statistik für SoziologInnen 32 Zentraler Grenzwertsatz
17 .4 n= 5 p= n= 5 p=.2 y y Statistik für SoziologInnen 33 Zentraler Grenzwertsatz n= 5 p= n= 5 p= y y Statistik für SoziologInnen 34 Zentraler Grenzwertsatz
18 .4 n= 5 p= n= 5 p= y y Statistik für SoziologInnen 35 Zentraler Grenzwertsatz.2.25 n= 1 p= n= 1 p=.5 y y Statistik für SoziologInnen 36 Zentraler Grenzwertsatz
19 Stetigkeitskorrektur + 5, np 5, np PX ( = ) Φ Φ np( 1 p) np( 1 p) bzw. + 5, np PX ( ) Φ np( 1 p) Bei der Approimation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist eine Stetigkeitskorrektur (Kontinuitätskorrektur) zu berücksichtigen. Statistik für SoziologInnen 37 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel: In einer Bevölkerung sind 6% der Bürger für die Einführung eines neuen Gesetzes. Wie wahrscheinlich ist es, genau 5 Befürworter in einer Stichprobe vom Umfang n=1 zu haben? Binomialverteilung PX ( = ) = *, *,, = 13 5 Normalverteilung PX ( = 5) = Φ Φ = Φ( 1939, ) Φ( 2, 143) =, 262, 16 =, 12 Statistik für SoziologInnen 38 Zentraler Grenzwertsatz
20 Beispiel: In einer Bevölkerung sind 6% der Bürger für die Einführung eines neuen Gesetzes. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Stichprobe von 1 (1) Personen, weniger als 5 (5) Befürworter des Gesetzes finden? a) Binomialverteilung mit n=1 und p=.6 P(X<5)=P(X=) + P(X=1) P(X=4)= =.166 (Eaktes Ergebnis durch Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung) Statistik für SoziologInnen 39 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel: b) Bei einer Stichprobe von n=1 gibt es 2 Lösungswege: b1) Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung mit n=1 und p=.6 P(X<5)=P(X=) + P(X=1) P(X=49)=.168 b2) Approimation durch Normalverteilung X~N(6; 24) n.p=1*,6=6 np(1p)=6* n.p.(1-p)=6,4=24 Wurzel(n.p.(1-p))=4,899 P(X 49) = F N ((49+,5-6)/4,899)= F N (-2,14)=,16 Statistik für SoziologInnen 4 Zentraler Grenzwertsatz
21 ,3,3,25,25,2,2,15,15,1,1, ,5, Normalverteilung Binomialverteilung Anzahl Prob. kum. Prob. Anzahl kum. Prob. 49,,68,168 49,,124 49,5,16 5,,13,271 5,,26 Statistik für SoziologInnen 41 Zentraler Grenzwertsatz Bernoullis Gesetz der großen Zahlen Überträgt man das schwache Gesetz der großen Zahlen auf die n-malige Durchführung eines Bernouilli-Eperimentes mit konstanter Wahrscheinlichkeit p, dann gilt für die relative Häufigkeit f n : P( f p ε) für n n Vereinfacht formuliert bedeutet dies, dass mit wachsendem n (Stichprobenumfang), die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung der relativen Häufigkeit von der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit, welche absolut größer als ε ist, gegen null geht. Statistik für SoziologInnen 42 Zentraler Grenzwertsatz
22 Gesetz der großen Zahlen Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit der Erfolge bei Wiederholung eines Bernouilli-Zufallseperiments immer weiter an die theoretisch ti h erwartete t Erfolgs- wahrscheinlichkeit h hk it p annähert, je häufiger das Zufallseperiment durchgeführt wird. Beachte: Dies gilt nicht für die absolute Anzahl der Erfolge! Sei X n die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen, so gilt V(X n )=n.p.(1-p). Sei f n die relative Häufigkeit der Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen, so gilt f n =X n /n V(f n )=p.(1-p)/n Statistik für SoziologInnen 43 Zentraler Grenzwertsatz Kein absoluter Ausgleich Entwicklung des Anteils der Erfolge 7,% 65,% 6,% 55,% 5,% 45,% Die Schwankungsbreite für die absolute Abweichung nimmt beständig zu. 4,% 35,% beobachteter Anteil UG ANTEIL OG ANTEIL 6 Entwicklung der Anzahl der Erfolge 3,% Die relative Häufigkeit it wird immer genauer. Anzahl der Erfolge beobachtete Anzahl UG ANZAHL OG ANZAHL ERWARTUNG Anzahl der Münzwürfe Statistik für SoziologInnen 44 Zentraler Grenzwertsatz
23 ,5 5, 4,,25 3, 2, 1,,, -1, -,25-2, -3, relative Abweichung absolute Abweichung -4, -,5-5, Statistik für SoziologInnen 45 Zentraler Grenzwertsatz
Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:
Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die
MehrMarcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung
Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrProgramm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung
Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus
MehrBinomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec
Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrHypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung Typischer Anwendungsfall: Ziehen ohne Zurücklegen Durch den Ziehungsprozess wird die Wahrscheinlichkeit des auch hier zu Grunde liegenden Bernoulli-Experimentes verändert.
MehrTabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen
Kapitel 11 Stichprobenfunktionen Um eine Aussage über den Wert eines unbekannten Parameters θ zu machen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. Das Merkmal wird in diesem
MehrDefinition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=
Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)
MehrStandardnormalverteilung
Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative
Mehr4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung
Mehr5. Spezielle stetige Verteilungen
5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr
Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am 5..201 von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne
MehrAbiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung
MehrM13 Übungsaufgaben / pl
Die Histogramme von Binomialverteilungen werden bei wachsendem Stichprobenumfang n immer flacher und breiter. Dem Maximum einer solchen Verteilung kommt daher keine allzu große Wahrscheinlichkeit zu. Vielmehr
MehrExponentialverteilung
Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit
Mehr1 Dichte- und Verteilungsfunktion
Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management
Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)
MehrSpezielle stetige Verteilungen
Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für
MehrStatistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de
rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent
MehrZufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential
Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:
Mehr1.6 Der Vorzeichentest
.6 Der Vorzeichentest In diesem Kapitel soll der Vorzeichentest bzw. Zeichentest vorgestellt werden, mit dem man Hypothesen bezüglich des Medians der unabhängig und identisch stetig verteilten Zufallsvariablen
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 14
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juli 017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 8. Juli
MehrAnliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.
2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang
MehrInstitut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013
Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive
MehrDie ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.
.3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil
MehrMathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
MehrStetige Verteilungen Rechteckverteilung
Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a
MehrÜbung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 6
Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2012-2013 Übungsblatt 6 26. November 2012 Aufgabe 17 (4 Punkte): Sei X B(n, p) eine binomial verteilte Zufallsvariable, die ein Zufallseperiment mit n unabhängigen Wiederholungen
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:
MehrZusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind
MehrÜbungsaufgaben zu Statistik II
Übungsaufgaben zu Statistik II Prof. Dr. Irene Prof. Dr. Albrecht Ungerer Die Kapitel beziehen sich auf das Buch: /Ungerer (2016): Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Springer Gabler 4 Übungsaufgaben
MehrZufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s
X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrPrüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen. Musterlösung
Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen Gesamtpunktezahl =80 1) Wissenstest (maximal 20 Punkte) Prüfungsdauer: 2 Stunden Musterlösung Kreuzen ( ) Sie die jeweils richtige Antwort an. Jede richtige Antwort
MehrBasiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)
MehrMotivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen
MehrKapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt
MehrHinweis: Es sind 4 aus 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden mehr als 4 Aufgaben bearbeitet, werden nur die ersten vier Aufgaben gewertet.
11.01.2012 Prof. Dr. Ingo Klein Klausur zur VWA-Statistik Hinweis: Es sind 4 aus 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden mehr als 4 Aufgaben bearbeitet, werden nur die ersten vier Aufgaben gewertet. Aufgabe 1:
MehrStatistik II. Statistische Tests. Statistik II
Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen
Mehr(8 + 2 Punkte) = = 0.75
Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
Mehrk np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr
Die so genannte Gütefunktion g gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Test die Nullhypothese verwirft. Für unser hier entworfenes Testverfahren gilt ( ) k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p
MehrETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels
Mehr0, t 0,5
XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mehr2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]
20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:
Mehr6. Schätzverfahren für Parameter
6. Schätzverfahren für Parameter Ausgangssituation: Ein interessierender Zufallsvorgang werde durch die ZV X repräsentiert X habe eine unbekannte Verteilungsfunktion F X (x) Wir interessieren uns für einen
MehrEinführung in die (induktive) Statistik
Einführung in die (induktive) Statistik Typische Fragestellung der Statistik: Auf Grund einer Problemmodellierung sind wir interessiert an: Zufallsexperiment beschrieben durch ZV X. Problem: Verteilung
Mehr9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe
Übungsmaterial 9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe 9. Erwartungswert Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den Erwartungswert
Mehr3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:
MehrGrundlegende Eigenschaften von Punktschätzern
Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur
Mehr3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)
3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung
Mehr2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung
2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von
Mehrue biostatistik: normalverteilung, standard-nvtlg 1/12 h. lettner / physik
ue biostatistik: normalverteilung, standard-nvtlg 1/1 h. lettner / physik VERTEILUNGEN 1. Binomialverteilung Voraussetzungen 1. Resultat eines einzelnen Versuches ist entweder Erfolg oder Mißerfolg. Die
MehrKlassifikation von Signifikanztests
Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und
Mehr0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
MehrSchließende Statistik
Schließende Statistik [statistical inference] Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.
MehrZufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests
Mehr7.2 Moment und Varianz
7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p
MehrGrundlagen der Mathematik II (LVA U)
Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung
Mehr7.5 Erwartungswert, Varianz
7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k
Mehr1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...
Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Punkt- und Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr.
MehrKlausur zu Statistik II
GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel
MehrKapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion
MehrKonfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert
Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir
Mehrdie wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen
Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung
MehrStochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume
Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.
MehrDas Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.
10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrWiederholung Hypothesentests Zusammenfassung. Hypothesentests. Statistik I. Sommersemester Statistik I Hypothesentests I (1/36)
Statistik I Sommersemester 2009 Statistik I I (1/36) Wiederholung Grenzwertsatz Konfidenzintervalle Logik des 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 2 0 2 4 Statistik I I (2/36) Zum Nachlesen Agresti/Finlay: Kapitel 6+7
MehrWirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13
Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die
MehrÜbung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable
MehrVorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 017 4 Spezielle Zufallsgrößen Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition
MehrDie Varianz (Streuung) Definition
Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ
MehrKlausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende
Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,
MehrSTETIGE VERTEILUNGEN
STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen
Mehrfalls rote Kugel im 1. Zug gezogen Die Ziehungen sind daher nicht unabhängig voneinander. Damit liegt kein Bernoulli-Prozess
6.4 Hypergeometrische Verteilung Gegeben ist eine Urne, die mit N Kugeln gefüllt ist. Es seien M dieser Kugeln rot und N-M Kugeln sind nicht rot. Wir entnehmen n Kugeln, d.h. Stichproben vom Umfang n.
MehrKlausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende
Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,
MehrI. Deskriptive Statistik 1
I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................
MehrBachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5
MehrWebinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie
Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.
Mehr1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung
0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung Motivation und Hinführung Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 009 war genau
MehrStatistische Tests (Signifikanztests)
Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)
MehrChi-Quadrat-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte
MehrKapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion
Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig
MehrVorlesung Wirtschaftsstatistik 2 (FK ) Wiederholungen deskriptive Statistik und Einleitung Normalverteilungsverfahren. Dipl.-Ing.
Vorlesung Wirtschaftsstatistik 2 (FK 040637) Wiederholungen deskriptive Statistik und Einleitung Normalverteilungsverfahren Dipl.-Ing. Robin Ristl Wintersemester 2012/13 1 Vorlesungsinhalte Wiederholung:
MehrStatistik-Klausur vom
Statistik-Klausur vom 27.09.2010 Bearbeitungszeit: 60 Minuten Aufgabe 1 Ein international tätiges Unternehmen mit mehreren Niederlassungen in Deutschland und dem übrigen Europa hat seine überfälligen Forderungen
MehrZentraler Grenzwertsatz/Konfidenzintervalle
/ Statistik I Sommersemester 2009 Statistik I ZGWS/ (1/37) Kann Ahmadinejad die Wahl gewonnen haben? Im wesentlichen Dreiteilung der polit. Elite 2005: 17.3 Millionen Stimmen (Stichwahl), Wahlbeteiligung
MehrMacht des statistischen Tests (power)
Macht des statistischen Tests (power) Realer Treatment ja Ergebnis der Studie H 0 verworfen statistisch signifikant O.K. Macht H 0 beibehalten statistisch nicht signifikant -Fehler Effekt nein -Fehler
MehrTeil II. Der Weg zur schließenden Statistik: Von den Daten zu Wahrscheinlichkeiten. StatSoz 127
Teil II Der Weg zur schließenden Statistik: Von den Daten zu Wahrscheinlichkeiten StatSoz 127 6 Zufallsstichprobe und Parameter 6.1 Parameter einer Grundgesamtheit 6.2 Zufallsstichprobe und Bias 6.3 Stichprobenfehler
MehrBootstrap: Punktschätzung
Resampling Methoden Dortmund, 2005 (Jenő Reiczigel) 1 Bootstrap: Punktschätzung 1. Die Grundidee 2. Plug-in Schätzer 3. Schätzung des Standardfehlers 4. Schätzung und Korrektur der Verzerrung 5. Konsistenz
Mehr2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
MehrÜbung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009
Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
MehrKlausur zur Vorlesung Statistik für BWL Name Vorname Matrikelnr.
Hochschule Darmstadt Fachbereich MN Prof. Dr. Dietrich Baumgarten Darmstadt, den 9.7.2012 Klausur zur Vorlesung Statistik für BWL Name Vorname Matrikelnr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe Note Punkte 1 Aufgabe
MehrPrüfungsteil 2, Aufgabe 8 Stochastik
Prüfung Mathematik Nordrhein-Westfalen 2013 (LK) Aufgabe 8: (WTR) Abitur Mathematik: Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Nordrhein-Westfalen 2012 LK Aufgabe a (1) und (2) 1. SCHRITT: VERTEILUNG ANGEBEN Da die Anzahl
Mehr