Lineare Korrelation. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.143

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1 Lineare Korrelation Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.143

2 Produkt-Moment-Korrelation Der Produkt-Moment-Korrelationskoffizient r von Pearson ist ein Zusammenhangsmaß für metrische Variablen Kann zwischen -1 (neg. Zusammenhang) und +1 (pos. Zusammenhang) schwanken Beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y mit der Kovarianz r = s xy s x s y s xy = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i ȳ) Voraussetzung: Zwei metrische Variablen Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.144

3 Abbildung: Kovarianzen (a) Positive Kovarianz (b) Negative Kovarianz (c) Keine Kovarianz Positive Kovarianz: Fälle mit niedrigen x-werten weisen auch niedrigen y-werte auf, Fälle mit hohen x-werten hohe y-werte. Negative Kovarianz: Fälle mit niedrigen x-werten weisen hohe y-werte auf, Fälle mit hohen x-werten niedrige y-werte. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.145

4 Signifikanztest für Pearson s r Der Signifikanztest für Pearsons r testet Hypothesen über die Größe des Korrelationskoffizienten ρ (rho) in der Grundgesamtheit. Bei ungerichteten Hypothesen gilt: H 0 : ρ = 0 ; H 1 : ρ 0 Bei gerichteten Hypothesen gilt: H 0 : ρ 0 ; H 1 : ρ > 0 oder H 0 : ρ 0 ; H 1 : ρ < 0 Mit df = n 2 Freiheitsgraden wird ein empirischer t-wert berechnet: n 2 t = r 1 r 2 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.146

5 Beispiel: Problemstellung Eine Zufallsstichprobe von 10 Kölner Stadtteilen ergab folgendes Ergebnis: Stadtteil y: Arbeitslosenquote 1996 x: Ausländeranteil 1995 Neustadt-Süd 15,7 23,6 Marienburg 11,5 14,0 Rondorf 8,2 7,5 Rodenkirchen 7,5 9,1 Immendorf 10,0 7,2 Widdersdorf 7,0 5,9 Mauenheim 12,4 18,3 Volkhoven/Weiler 13,6 18,3 Eil 9,1 8,1 Höhenhaus 12,4 10,3 Existiert ein linearer Zusammenhang zwischen Ausländeranteil und Arbeitslosigkeit? Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.147

6 Beispiel: Streudiagramm und Quadranten Arbeitslosenquote Ausländeranteil 1995 Da nahezu alle Koordinatenpunkte im ersten oder dritten Quadranten liegen, kann ein positiver Zusammenhang vermutet werden. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.148

7 Beispiel: Berechnung der Kovarianz Stadtteil y x (y i ȳ) (x i x) (y i ȳ) (x i x) Neustadt-Süd 15,7 23,6 Marienburg 11,5 14,0 Rondorf 8,2 7,5 Rodenkirchen 7,5 9,1 Immendorf 10,0 7,2 Widdersdorf 7,0 5,9 Mauenheim 12,4 18,3 Volkhoven 13,6 18,3 Eil 9,1 8,1 Höhenhaus 12,4 10,3 ȳ = x = = s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) i=1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.149

8 Beispiel: Berechnung von r Stadtteil y x (y i ȳ) 2 (x i x) 2 Neustadt-Süd 15,7 23,6 Marienburg 11,5 14,0 Rondorf 8,2 7,5 Rodenkirchen 7,5 9,1 Immendorf 10,0 7,2 Widdersdorf 7,0 5,9 Mauenheim 12,4 18,3 Volkhoven 13,6 18,3 Eil 9,1 8,1 Höhenhaus 12,4 10,3 ȳ = x = = = r = s xy s x s y Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.150

9 Beispiel: Berechnung von r Im vorliegenden Beispiel ergibt sich eine Kovarianz von s xy = 138, = 15, 37 Da die Standardabweichung von y gleich 73, 0485 s y = = 2, 85 9 und die Standardabweichung von x gleich wird r berechnet als s x = r = 324, , 37 6, 00 2, 85 = 6, 00 = 0, 90 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.151

10 Beispiel: Signifikanztest Da eine gerichtete Hypothese vorliegt, gilt: H 0 : ρ 0 ; H 1 : ρ > 0 Der empirische t-wert wird berechnet als t emp = r n 2 mit df = n 2 1 r2 t emp = 0, = 5, 84 mit df = 8 1 0, 92 Als Signifikanzniveau wählen wir α = 0.05, so dass der einseitige, kritische t-wert bei 8 Freiheitsgraden lautet t krit = t 0.05;8 = 1, 86 Da t emp > t krit, kann die Nullhypothese verworfen werden. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.152

11 Beispiel: Interpretation Die Untersuchung hat einen stark positiven, signifikanten Zusammenhang zwischen Arbeitslosenquote und Ausländeranteil in einem Stadtviertel ergeben. Bei der Interpretation muss ein ökologischer Fehlschluss vermieden werden. Ökologischer Fehlschluss: Es wird eine Korrelation zwischen Geburtenrate und Anzahl der Störche in einem Gebiet gefunden. Ergo bringen die Störche die Kinder. Korrekte Interpretation: In ländlichen Gebieten ist die Geburtenrate höher als in urbanen Gebieten. Gleichzeitig leben in ländlichen Gebieten mehr Störche. (kein kausaler Zusammenhang!) Vorliegendes Beispiel: In ökonomisch schwachen Stadtvierteln ist die Arbeitslosenquote höher als in ökonomisch starken Vierteln. Ausländer siedeln sich (u.a. aufgrund der niedrigeren Mieten) verstärkt in ökonomisch schwachen Vierteln an. Auch hier besteht kein kausaler Zusammenhang zwischen Arbeitslosenqoute und Ausländeranteil. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.153