1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3... n x n y n

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1 3.2. Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare von Merkmalsausprägungen (x, y) Beispiele: Material - Festigkeit berufliche Qualifikation - Einkommen Wetter - Umsatz einen Kaufhauses Variablen mit verschiedenem Skalenniveau können zusammengestellt werden (Problem!) Fragen: Zusammenhang ja / nein Stärke des Zusammenhanges evtl. Richtung, Typ des Zusammenhanges Kausalität muss Fachwissenschaft klären verschiedene grafische Methoden und viele Maßzahlen zur Bewertung von Zusammenhängen 1

2 3.2.1 (Grafische) Darstellungen bivariater Verteilungen Urliste für zwei Variablen Versuchsperson (Objekt) Ausprägung von Merkmal X Y 1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y n x n y n Beispiel: ALLBUS-Datensatz X Variable: Allgemeiner Schulabschluss Y Variable: monatliches Nettoeinkommen des Haushaltes Beispiel: ALLBUS-Datensatz X Variable: Geschlecht Y Variable: Art des vorwiegenden Lebensunterhaltes zunächst Variablen einzeln untersuchen (univariate Statistik) 2

3 dann Variablen gemeinsam untersuchen (multivariate bzw. bivariate Statistik): Bestimmung der absoluten Häufigkeiten für alle möglichen Beobachtungspaare/Kombinationen (für metrische Variable evtl. Klasseneinteilung vornehmen) Tabelle heißt Kontingenztafel, Kreuztabelle, (Kreuztafel) grafische Veranschaulichung dieser Tabelle: bivariates Histogramm, gestapeltes Histogramm für relative Häufigkeiten bei stetigen (metrischen) Variablen: häufig Klasseneinteilung (sonst Tabelle unsinnig) Informationsverlust, bei stetigen Daten oft besser: Streudiagramm oder Scatterplot (Punktwolke) Beobachtungen (x, y) als Punkte in der Zahlenebene darstellen zum Erahnen funktionaler Abhängigkeiten z.b. y = ax + b y = ax 2 + bx + c y = a sin(bx) + c y = f(x) 3

4 lineare Abhängigkeit (metrischer Variabler) wird als Korrelation bezeichnet (Unterschied zur Umgangssprache! Interpretation der Linearität!) Beispiele: a) Variablen extrem korreliert, Korrelation positiv b) Variablen stark korreliert, Korrelation positiv c) Variablen schwach korreliert, Korrelation positiv d) Variablen nahezu unkorreliert e) Variablen negativ korreliert f) Variablen extrem korreliert, Korrelation negativ g) Variablen nahezu unkorreliert, jedoch starker funktionaler Zusammenhang Quantifizierung der Stärke der Korrelation Korrelationskoeffizient 4

5 Abhängigkeitsmaße bivariater Verteilungen Zusammenhang zwischen zwei Variablen soll durch numerische Größen, Kenngrößen, beschrieben werden breites Spektrum solcher Kenngrößen Abhängig vom Skalenniveau: nominal Kontingenzkoeffizient ordinal Rangkorrelationskoeffizient metrisch Korrelationskoeffizient Unterschiede in der Qualität der Aussagen über mögliche Zusammenhänge: abhängig, monoton abhängig, linear abhängig gemischte Skalenniveaus Literatur 5

6 Nominale Daten Grundlage: absolute Häufigkeiten n ij für das Auftreten der Merkmalskombination (x i, y j ) zweier Merkmale X und Y Kontingenztafel, Kreuztabelle Beispiel: Zusammenhang zwischen Produktionsverfahren (hier I, II und III) und Güteklasse des Produktes (A, B, C) Variable Y : Güteklasse A B C I n 11 n 12 n 13 n 1 = Z 1 X II n 21 n 22 n 23 n 2 = Z 2 III n 31 n 32 n 33 n 3 = Z 3 n 1 = S 1 n 2 = S 2 n 3 = S 3 n = n die Größen Z i und S j heißen (absolute) Randhäufigkeiten Beobachtet wurde: Variable Y : A B C I X II III

7 Variable Y : A B C I n 11 n 12 n X II n 21 n 22 n III n 31 n 32 n im Beispiel: insgesamt 70 mal A, 210 mal B und 140 mal C (Verhältnis 1:3:2) 120 Teile nach Verfahren I, 240 nach Verfahren II, 60 nach Verfahren III (Verhältnis 2:4:1) Angenommen, es besteht kein Zusammenhang zwischen X und Y, dann müssten sich diese Verhältnisse in jeder Zeile (1:3:2) bzw. Spalte (2:4:1) wider spiegeln: Variable Y : A B C I X II III Unabhängigkeit bedeutet: Inhalt der Zelle müsste jeweils proportional zu den relativen Randhäufigkeiten und zur Gesamtzahl der Fälle sein: 20 = , 60 = ,... 7

8 Also: Bestimme die bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten = Idealwerte bei Unabhängigkeit, s.o.: ñ ij = 1 n Z is j = n i n j n ( = n i n n,j n n ) Tabelle heißt Indifferenztabelle Vergleiche mit den beobachteten Häufigkeiten n ij, bei Gleichheit: Merkmale X und Y empirisch unabhängig Maßzahl für die Abweichung von der Unabhängigkeit, unter Einbeziehung der Abweichungen n ij ñ ij : χ 2 = i,j (n ij ñ ij ) 2 ñ ij chi Summe über alle i, j Basis für weitere Kenngrößen (s. Literatur) z.b. Kontingenzkoeffizient: C = χ 2 χ 2 + n 0 C 1, C = 0 : empirische Unabhängigkeit Anwendung als Testgröße später. 8

9 Metrische Daten Wie kann man lineare Abhängigkeit = Korrelation messen? Gegeben: n Beobachtungen zweier Merkmale X und Y : (x i, y i ), i = 1, 2,..., n. empirische Kovarianz cov(x, Y ) = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i ȳ) empirischer Korrelationskoeffizient (auch: Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient nach Pearson und Bravais) r XY = cov(x, Y ) s X s Y = 1 n 1 ( n i=1 x i y i n xȳ ) s X s Y x, ȳ... Mittelwerte der Merkmale X bzw. Y s X, s Y... Standardabweichung der Merkmale X, Y Unabhängig von der Maßeinheit Interpretation: Gehören zu kleinen x i häufig kleine (große) y i, so ist das Vorzeichen von (x i x)(y i ȳ) häufig + ( ) und die Summe wird groß, positiv (klein, negativ), bei Unabhängigkeit ergibt sich ein Wert nahe 0. Es gilt 1 r XY 1. 9

10 Besteht zwischen den Merkmalen X und Y ein deterministischer linearer Zusammenhang Y = a + bx ( y i = a + b x i, i = 1,..., n ), so ist ( ) r XY = 1, wenn b > 0 1, wenn b < 0 r XY = 0 empirische Unkorreliertheit r XY (nur) Maß für die Stärke eines linearen Zusammenhanges liefert Anhaltspunkt, ob Ausgleichsgerade sinnvoll 10

11 Ordinale Daten Frage nach dem Grad einer monotonen Abhängigkeit (Zusammenhanges) zweier Merkmale X und Y (d.h. X wächst/fällt gleichzeitig mit Y ) Es sei: R i = Rg(x i ) Rang von x i unter den x-werten R i = Rg(y i ) Rang von y i unter den y-werten d i = R i R i Differenz der Ränge treten Rangplätze mehrfach auf = Bindungen: Literatur Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman und Krueger für ordinale Daten ohne Bindungen R = 1 6 n i=1 d 2 i n(n 2 1) Summe klein bei etwa gleichlaufenden Reihen (d i 0 also R 1) Summe groß bei gegenläufigen Reihen, Normierung so, dass dann R = 1. Es gilt : Werte zwischen -1 und 1, mit Interpretation gegenläufig gleichläufig 11

12 Beispiel: Kundenbefragung durch einen Baumarkt Zusammenhang zwischen der Häufigkeit der Benutzung eines bestimmten Gerätes und der Zufriedenheit mit diesem Gerät (n=8) Kunde i Benutzung pro Jahr Note 1,3 6,0 4,1 3,7 2,1 1,6 4,5 3,0 Rang R i Rang R i d i d i = 12 Damit ist R = (64 1) = 0, 857 Die Rangreihen sind stark gleichlaufend. Kunden, die das Gerät häufiger benutzten, waren häufiger auch zufriedenere Kunden. Je häufiger die Kunden das Gerät benutzten, desto zufriedener waren sie damit. Kunden, die mit dem Gerät zufrieden waren, nutzten es auch häufiger. 12