Einführung in die statistische Datenanalyse I

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1 Einführung in die statistische Datenanalyse I Inhaltsverzeichnis 1. EINFÜHRUNG IN THEORIEGELEITETES WISSENSCHAFTLICHES ARBEITEN 2 2. KRITIERIEN ZUR AUSWAHL STATISTISCH METHODISCHER VERFAHREN 2 3. UNIVARIATE DATENANALYSE 4 4. HÄUFIGKEITSANALYSE VERTEILUNGSDISKUSSION 4 5. DER CHI-QUADRAT-TEST 7 6. BIVARIATE DATENANALYSE 8 1

2 1. Einführung in theoriegeleitetes wissenschaftliches Arbeiten Die drei Schritte des Forschungsablaufes: Entdeckungszusammenhang: Ausgehend von einem sozialen Problem, einer Theorie oder einem Auftrag definiert man eine Problemstellung. Begründungszusammenhang: Nach der Problemstellung definiert man eine Hypothese, die in weiterer Folge belegt oder auch widerlegt werden soll. Folglich muss man Indikatoren für die Hypothese definieren und Operationalisierungen vornehmen. Es folgt die Datenerhebung, die statistische Auswertung und Prüfung. Wird die Hypothese widerlegt, muss man eine neue definieren, ansonsten geht man weiter zu Schritt drei. Verwertungszusammenhang: Die Theorie wird bewiesen und es folgt die Darstellung und die Publikation. Das kann im Prinzip auch zu einer neuen Problemstellung führen. 2. Kritierien zur Auswahl statistisch methodischer Verfahren Diese Kriterien sind abhängig von der Fragestellung, der Zahl der gemeinsam zu analysierenden Variable/Merkmale und von den Datenniveaus. Abhängig von der Fragestellung wählt man zwischen deskriptiver oder schließender Statistik. Die deskriptive Statistik ist die rein beschreibende Statistik. Sie macht Angaben über die Erscheinungsform eines Sachverhaltes, z.b.: durch Benennung, Ordnung, Klassifizierung, Definition oder Angaben zur Häufigkeit. Daraus ist aber keine Erklärung des Sachverhaltes möglich, denn solche Erklärungen setzen die Beschreibung von mindestens zwei Sachverhalten voraus. Ein Sachverhalt alleine ist aber keine Erklärung, sondern kann eben nur mit einem zweiten Sachverhalt dazu werden. Die deskriptive Datenanalyse beschränkt sich auf die Beschreibung von Daten durch Kennziffern von Verteilungen. Die Frage, ob eine Verteilung durch Zufall bedingt ist, kann die deskriptive Statistik nicht lösen. In der schließenden Statistik muss man die statistische Signifikanz und die Kausalhypothesen überprüfen, das heißt, man überprüft den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen. Die statistische Signifikanzprüfung vergleicht zwei oder mehrere Verteilungen im Bezug auf ihren Unterschied: Unterschiede zwischen zwei Verteilungen werden dann als signifikant (bedeutsam) bezeichnet, wenn sie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht durch Zufall zu Stande gekommen sind. 2

3 Die Überprüfung erfolgt mittels Nullhypothese, die die optimale Zufallsverteilung definiert Die Definition der Nullhypothese ist von der Fragestellung abhängig. Eine Kausalhypothese enthält eine Ursachen-Wirkung Relation, sprich: Die Verteilung/Veränderung des Sachverhaltes bedingt, erklärt die Verteilung eines anderen Sachverhaltes. Abhängig von der Zahl der zu analysierenden Variable/Merkmale wählt man zwischen Univariater, Bivariater oder Multivariater Datenanalyse. In der Univariaten Datenanalyse wird die Verteilung einer Variable überprüft: Deskriptive Statistik Häufigkeitsanalyse Schließende Statistik Prüft Zufälligkeit von Ereignisfolgen Bei der Bivariaten Datenanalyse wird die Verteilung der Merkmale einer Variable in Abhängigkeit der Verteilung der Merkmale einer anderen Variable gesetzt: Deskriptive Statistik Häufigkeitsanalyse der Merkmalskombinationen mittels Kreuztabellenanalyse Schließende Statistik Prüft Kausalhypothesen. Des Weiteren ergeben sich die Stärke und die Richtung von Zusammenhängen, was zu je-desto Aussagen führt. Bei der Multivariaten Datenanalyse werden mehr als zwei Variablen zur Analyse herangezogen. Abhängig von den Datenniveaus wählt man zwischen kategorialen Date (z.b.: Schulnoten, Antwortkategorien,...) und metrischen Daten (z.b.: Einwohnerzahl, Flächenangaben,...). Die Datenniveaus bestimmt man mit statistischen Maßzahlen zur Beschreibung von Verteilungen und statistischen Analyseverfahren. Sie ergeben sich weiters aus den Eigenschaften der Merkmale, die gemessen wurden. Messen ist die Zuordnung von Zahlen zu Merkmalsträgern. An einem Merkmalsträgern können mehrere Merkmale gemessen werden, die Zuordnung von Zahlen zu Merkmalsträgern nennt man Codierung. Je nachdem, was und wie gemessen wurde, ergeben sich unterschiedliche Eigenschaften von Daten und daraus resultierende Eigenschaften von Daten: Gleichheit bzw. Ungleichheit Ordnung Gleichheit von Differenzen Gleichheit von Verhältnissen Je mehr Eigenschaften von Aussagequalitäten Daten besitzen, desto besser ist die Datenqualität. Die Daten werden nach der Qualität ihrer Eigenschaften in die unterschiedlichen Niveaus eingeteilt, die die Möglichkeiten der Datenmodifikation und der statistischen Analyseverfahren bestimmen. 3

4 Kategoriale Daten Nominaldaten Namen (Bezeichnungen) in Form von Zahlen, z.b.: Geschlecht, Familienstand. Eigenschaften: Gleichheit/Ungleichheit. Ordinaldaten Ranggordnete Daten. Bewertungen, aber keine genaue Aussage über den Abstand zwischen den Klassen, z.b.: Schulnoten, Soziale Schichtung. Eigenschaften: Gleichheit/Ungleichheit und Ordnung. Metrische Daten Intervall Daten Relativer Nullpunkt, keine Vergleichbarkeit von Verhältnissen möglich, z.b.: 20 C ist doppelt so warm wie 10 C, Temperatur in C. Eigenschaften: Gleichheit/Ungleichheit, Ordnung, Gleichheit von Differenzen. Ratio Daten Absoluter Nullpunkt, z.b.: Temperatur in K, Quadratmeter, Einwohner, Alter, Einkommen. Eigenschaften: Gleichheit/Ungleichheit, Ordnung, Gleichheit von Differenzen, Gleichheit von Verhältnissen. 3. Univariate Datenanalyse Die einfachste statistische Operation ist das Zählen. Es wird gezählt, wie oft Merkmale in einer Verteilung vorkommen. Das statistische Analyseverfahren dabei ist die Häufigkeitsanalyse. Mit ihr wird überprüft, wie oft einzelne Werte eines Merkmales in einer Verteilung vorkommen. Dabei differenziert man in absolute und relative Häufigkeiten: Absolute Häufigkeit: Anzahl des Auftretens von Werten Relative Häufigkeit: Prozentanteil des Auftretens von einzelnen Werten in Bezug auf die Zahl der analysierten Fälle 4. Häufigkeitsanalyse Verteilungsdiskussion Zur Beschreibung der Verteilung wählt man geeignete Maßzahlen aus. Sie hängen ab von der Datenqualität, dem Skalenniveau der Daten. Lageparameter beschreiben den durchschnittlichen Wert einer Verteilung. Sie geben in etwa die Mitte einer Verteilung an. Die Aussagekraft er Lageparameter ist abhängig von der Streuung der 4

5 Werte und der Verteilungsform. In Kombination können mittels Lageparameter Aussagen über die Verteilung der Merkmale getroffen werden. Arithmetisches Mittel: (Summe der Werte der Merkmale durch die Anzahl der Fälle). Diese Berechnung wird bei metrischen Daten angewendet, allerdings hat das arithmetische Mittel eine Schwachstelle: Ausreißer gehen gleichgewichtig in die Verteilung ein. Das kann bei bestimmten Verteilungen problematisch sein. Median: 50%-Grenze. 50% der Werte sind kleiner, 50% der Werte größer als der Medianwert. Ist der Median in der Zahlenreihenfolge vorhanden, so wird die Zahl verwendet, die genau in der Mitte liegt. Ist sie nicht vorhanden, wird ein Mischwert der beiden benachbarten Zahlen gebildet. Der Median wird bei metrischen und Ordinaldaten verwendet. Er ist auch robuster gegen Ausreißer, das heißt, er ist auch bei asymmetrischen und schiefen Verteilungen gut anwendbar. Modalwert: häufigster Wert einer Verteilung. Er kann bei nominal, ordinal und metrischen Datenniveau verwendet werden, ist allerdings der einzige Lageparameter, der auch für Nominaldaten verwendbar ist. Verteilungsformen: Geben Auskunft über die Messwerte des häufigen Extrems und es seltenen Extrems. Sie sind entweder rechtsschief bzw. linkssteil oder linksschief bzw. rechtssteil. Die optimale Zufallsverteilung tritt ein, wenn Mittelwert, Median und Modalwert identisch sind. Maße zur Kennzeichnung einer Verteilung Perzentile: Sie geben den Wert einer Verteilung an, unterhalb essen ein definierter Prozentsatz der Fälle mit geringerem Wert liegt. Der Prozentsatz definiert das Perzentil, die Perzentilgrenzen können frei gewählt werden. Quartile liegen bei 25%, 50% und 75%. Sie finden Verwendung im Ordinaldatenniveau. Streuungsparameter treffen Aussagen über die Gleichheit (Homogenität) bzw. Ungleichheit (Inhomogenität) der Merkmalsträger. Die Streuung bezeichnet den Wert, mit dem die Werte einer Verteilung voneinander abweichen. Je größer die Streuung, desto inhomogener ist die Verteilung. Es kommt das Ordinaldatenniveau zur Anwendung. Der Minimalwert ist der kleinste Wert der Verteilung, der Maximalwert der größte. Die Differenz zwischen beiden nennt man die Spannweite. Weitere Maße zur Kennzeichnung einer Verteilung Spannweite: Gibt Auskunft über die Daten. Z.B.: Das Alter der untersuchten Personen liegt reicht von Jahre. Das Problem ist, dass die Spannweite nur durch zwei einzelne Werte definiert wird. 5

6 Varianz: Ist die mittlere quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert. Es wird von jedem einzelnen Wert die Differenz zum Mittelwert berechnet. Das verwendete Datenniveau ist das metrische. Standardabweichung: Ist der Bezug der Varianz zur Maßeinheit der Verteilung. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz. Variationskoeffizient: Streuungsparameter werden von der Dimension der den Maßeinheiten, in denen die Merkmale gemessen wurden beeinflusst. Der Vergleich der Streuungen (der Homogenität) von verschiedenen Verteilungen ist manchmal problematisch. Verteilungsformen müssen analysiert werden Normalverteilung: Sie kennzeichnet eine Verteilung von Merkmalen die sich aus zufälligen Einflüssen ergibt. Es ist die optimale Zufallsverteilung für metrische Merkmale. Je ähnlicher eine Verteilung der Normalverteilung ist, desto besser kennzeichnen die Lageparameter die Verteilung. Des Weiteren dient sie zur Hypothesenprüfung. Sie ist das theoretische Modell für die zufällige Verteilung von Merkmalen. So lässt sich prüfen, ob eine empirisch beobachtete Verteilung zufallsverteilt ist, oder nicht. Für die Hypothesenprüfung ist die Aussage zentral. Zu jeder Verteilung kann mittels Mittelwert und Streuungsparameter eine theoretische Normalverteilung berechnet werden. Diese berechnete Normalverteilung gibt an, wie die Werte verteilt wären, wenn sie zufällig zu Stande gekommen wären. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass auch Abweichungen von theoretischer und beobachteter Verteilung zufallsbedingt sein können (Aufgabe der analytischen Statistik). Generelle Kennzeichen der Normalverteilung sind, dass der Mittelwert, der Median und der Modalwert identisch sind, dass sich 95% der Werte in einem Intervall von ± 2 Standardabweichungen liegen und dass sie symmetrisch ist. Schiefe (Skewness): Sie beschreibt die Symmetrie bzw. Assymmetrie von Verteilungen. Das Datenniveau ist metrisch. Von einer positiven Schiefe spricht man, wenn die Kurve linkssteil ist, von einer negativen, wenn sie rechtssteil ist. Sie trifft Aussagen über die Messwerte des häufigen und des seltenen Extrems. Steilheit (kurtosis): Sie definiert sich aus der Streuung der Werte um den Mittelwert. Je enger die Werte um den Mittelwert streuen, umso steiler ist die Verteilung, je weiter sie um den Mittelwert streuen, umso flacher ist sie. Schließende Statistik (Grundkonzeption) Forschungslogische Struktur: 1. Formulierung der Forschungs-/Erklärungshypothese 6

7 2. Formulierung der Gegenhypothese (= Nullhypothese H 0 ). Sie beschreibt was, bzw. welche Verteilung, zu erwarten ist. Wenn die Forschungshypothese nicht zutrifft, muss man auf die 0- Hypothese zurückgreifen. Analytische Statistik (Grundkonzeption) Forschungslogische Struktur: 3. Vergleich der beobachteten mit der erwarteten Verteilung. Weicht die beobachtete Verteilung nicht von der erwarteten ab, muss man die H 0 annehmen. Weicht die beobachtete Verteilung signifikant von der erwarteten ab, kann man die Forschungs-/Alternativhypothese annehmen. Signifikanz bedeutet, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Abweichungen von erwarteten zu und beobachteten Werten zufällig sind. 4.Vergleich der beobachteten mit der erwarteten Verteilung methodische Vorgangsweise Vergleich der erwarteten Werte mit den beobachteten Werten Bestimmung der Abweichung der beobachteten Werte von erwarteten Werten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens der festgestellten Abweichung 5. Der Chi-Quadrat-Test Dieser Test prüft, ob der Unterschied von Verteilungen von Merkmalen auf zufällige oder nicht zufällige Einflussfaktoren zu Stande gekommen ist. Zuerst wird definiert, welche Bedingungen für die Verteilung der beobachteten Merkmale bei Zutreffen der 0-Hypothese gelten würden. Für diese Bedingungen wird eine theoretische Verteilung der Merkmale ermittelt, das heißt, welche Verteilung der Merkmale zu erwarten wäre, wenn die erklärende Hypothese (Alternativhypothese) nicht zutrifft. Die tatsächliche beobachtete Variation der Merkmale wird mit der theoretisch erwarteten Verteilung der Merkmale verglichen. Folglich wird die Abweichung oder Übereinstimmung festgestellt. Die Signifikanzprüfung Sie ist nötig, um festzustellen, ob eine Forschungshypothese (= Annahme) anzunehmen oder abzulehnen ist. Unterscheidet sich die Verteilung signifikant von der theoretischen, so ist H 0 abzulehnen und H a anzunehmen. Unterscheidet sie sich nicht signifikant, muss man die Null- Hypothese annehmen. Beim Chi-Quadrat-Test ist die Signifikanzprüfung deshalb notwendig, weil die Abweichung von beobachteter und theoretischer Verteilung zufallsbedingt sein könnte. Dass die Abweichung nicht mehr auf zufällige Einflüsse zurückzuführen ist kann dann angenommen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit der Abweichungen einen vordefinierten Prozentsatz nicht unterschreiten. Freiheitsgrade Bei einer Randverteilung können immer Zahl der Möglichkeiten minus 1 frei gewählt werden. Für jeden Freiheitsgrad gilt eine anderen Verteilung und Wahrscheinlichkeit von Chi-Quadrat. 7

8 Generell gilt: Je kleiner der Chi-Quadrat-Wert, desto größer die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens. Je größer die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Chi-Quadrat-Wertes, desto eher ist das Ergebnis zufällig. Und damit eine zufällige Abweichung der beobachteten von der erwarteten Verteilung gegeben, die allerdings von den Freiheitsgraden abhängt. Beobachtete und erwartete Verteilungen unterscheiden sich durch Zufallsfaktoren voneinander. Annahme und Verwerfung von H 0 bzw. H a Statistische Signifikanz ist dann gegeben, wenn die Variation von Merkmalen nicht mehr durch zufällige Einflussfaktoren zu Stande gekommen ist und wenn die Wahrscheinlichkeit der Abweichung der beobachteten Verteilung von der erwarteten Verteilung (jene Verteilung, wenn die Alternativhypothese nicht zutrifft) kleiner als 5% ist. Ist dies der Fall, so unterscheiden sich theoretische und beobachtete Werte signifikant. Vorraussetzungen von Chi-Quadrat Die erwarteten Häufigkeiten sollten 5 sein Bei maximal 20% der Zellen darf die erwartete Häufigkeit 5 sein. In diesem Fall sollte der Wert kleiner als 1 sein. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so ist die Signifikanzprüfung mittels Chi-Quadrat nicht zulässig, gegebenenfalls sind die Werte zu klassifizieren (zusammen zu fassen). Mit den klassifizierten Werten kann eine neuerliche Signifikanzprüfung mittels Chi-Quadrat durchgeführt werden. 6. Bivariate Datenanalyse Mit ihr lässt sich der Zusammenhang zwischen zwei Variablen analysieren. Sie prüft das gemeinsame Vorkommen von definierten Merkmalen (Merkmalskombinationen) zweier Variablen. Man kann sie für das Nominal- und Ordinaldatenniveau verwenden. Als statistisches Verfahren dienen die Kreuztabellen. Das sind zwei- oder mehrdimensionale Tabellen, welche die Häufigkeit angeben, mit der bei untersuchten Objekten Kombinationen von Merkmalsausprägungen auftreten. Ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen zwei Variablen ist dann gegeben, wenn bestimmte Merkmalsausprägungen dieser Variablen überdurchschnittlich (überzufällig) häufig miteinander auftreten. Ist ein statistisch signifikanter Zusammenhang gegeben, lautet die Aussage: Die Ausprägung der Merkmale der einen Variable ist abhängig von der Ausprägung der Merkmale der anderen Variable und umgekehrt. In der Bivariaten Datenanalyse prüft der Chi-Quadrat-Test auf: Abhängigkeit, bzw. Unabhängigkeit der Variablen Alternativhypothese (Merkmalsausprägungen sind assoziiert, bestimmte Kombinationen kommen überzufällig vor). 8

9 Nullhypothese (Variable sind unabhängig, in der Matrix herrscht Gleichverteilung. Bestimmte Kombinationen von Merkmalsausprägungen kommen nur zufällig gemeinsam vor. Wenn folglich die Nullhypothese angenommen wird, gilt auch die Matrix (Kreuztabelle) der erwarteten Häufigkeiten (= die durch Randverteilung reproduzierte Matrix). Bei totaler Unabhängigkeit der Werte nimmt Chi-Quadrat den Wert 0 an. Je mehr die beobachteten Merkmalskombinationen von den erwarteten Merkmalskombinationen abweichen, desto größer wird Chi-Quadrat und damit der Zusammenhang der Merkmale in der Tabelle. Assoziationsmaße Mittels Prüfung auf Signifikanz durch Chi-Quadrat wird lediglich festgestellt, ob ein Zusammenhang zwischen den Variablen besteht. Damit ist jedoch der volle Informationsgehalt der bivariaten Datenanalyse nicht ausgeschöpft. Signifikante Zusammenhänge zwischen zwei Variablen können unterschiedliche stark ausgeprägt sein. Ein eindeutiger Zusammenhang besteht, wenn in 100% der Fälle VAR0001 den Wert 1 annimmt, wenn VAR0002 den Wert 2 annimmt. Und umgekehrt. Nicht mehr ganz so eindeutig ist es, wenn das bei 90% der Fälle auftritt. Man spricht von einem schwächeren Zusammenhang. Ein schwacher Zusammenhang besteht, wenn dies nur mehr bei 70% der Fälle eintritt. Assoziationsmaße dienen folglich zur Feststellung von bivariaten Zusammenhängen von Nominalund Ordinaldaten und sind Assoziationsmaße des adäquaten Instruments. Einen Indikator zur Feststellung der Stärke des Zusammenhangs bietet der Chi-Quadrat-Wert. Je größer er ist desto stärker ist die Abweichung der beobachteten von der erwarteten Zufallsverteilung und damit die Stärke des Zusammenhanges. Es kann sein, dass Chi-Quadrat trotz gleicher Stärke des Zusammenhangs unterschiedliche Werte liefert, denn er hängt von der Fallzahl insgesamt ab. Damit ist Chi-Quadrat für Vergleiche und Bestimmung im Bezug auf die Stärke des Zusammenhanges nicht geeignet. Mit den Assoziationsmaßen kann man den Zusammenhang aber weiterhin messe. Die Vorraussetzung ist allerdings, dass der Chi-Quadrat-Wert signifikant ist, also unter 5% liegt. Die Funktion dabei ist jeweils die Normierung von Chi-Quadrat. Bei der Auswahl von Assoiationsmaßen muss man das Datenniveau berücksichtigen, danach wählt man zwischen: Phi Phi trifft vergleichbare Aussagen über die Stärke eines Zusammenhanges für 2x2 Tabellen. Kontingenzkoeffizient C Der Kontingenzkoeffizient eignet sich für quadratische Tabellen (Tabellen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl) in der Dimensionierung größer als 2x2 Cramer s V Cramer s V hingegen ist für größere Tabellen als 2x2 und auch Rechtecktabellen geeignet, weil die Zeilen- und Spaltendimension berücksichtig wird. 9