4. Auswertung eindimensionaler Daten

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1 4. Auswertung eindimensionaler Daten Ziel dieses Kapitels: Präsentation von Methoden zur statistischen Auswertung eines einzelnen Merkmals 64

2 Bezeichnungen (Wiederholung): Merkmalsträger: e 1,..., e n Grundgesamtheit: G = {e 1,..., e n } Zu untersuchendes Merkmal: X Mögliche Merkmalswerte: ξ 1,..., ξ J Daten in Urliste: x 1,..., x n 65

3 Fragestellungen: Formale und grafische Darstellung der Daten Berechnung aussagekräftiger Kenngrößen der Daten Vorgehensweise: Vorstellung der statistischen Methoden anhand des Skalenniveaus des Merkmals X 66

4 4.1 Beliebig skalierte Daten Skalenniveau des zu untersuchenden Merkmals X: Nominalskala (oder höher) Häufigkeiten des Merkmals X mit Ausprägungen ξ 1,..., ξ J : Absolute Häufigkeit der Ausprägung ξ j (j = 1,... J): n j = Anzahl von Daten mit Merkmalswert ξ j Relative Häufigkeit der Ausprägung ξ j (j = 1,... J): f j = n j n = Anteil von Daten mit Merkmalswert ξ j 67

5 Offensichtlich gilt: 0 n j n sowie J j=1 n j = n (warum?) 0 f j 1 sowie J j=1 f j = 1 (warum?) Jetzt: Mit den Begriffen der absoluten und relativen Häufigkeiten gelangt man zur 1. Darstellungsform des Merkmals X, nämlich zur Häufigkeitstabelle 68

6 Definition 4.1: (Häufigkeitstabelle) Unter der Häufigkeitstabelle des Merkmals X versteht man die folgende tabellarische Darstellung: j ξ j n j f j = n j /n 1 ξ 1 n 1 f 1 2. ξ 2. n 2. f 2. J ξ J n J f J Summe: n 1 69

7 Beispiel (Verkehrsmittelbenutzung): Grundgesamtheit bestehe aus 20 Beschäftigten eines Betriebes, d.h. G = {e 1,..., e 20 } Zu untersuchendes Merkmal X: Benutztes Verkehrsmittel zum Arbeitsplatz Merkmalsausprägungen: ξ 1 = Bus ξ 2 = PKW ξ 3 = Motorrad ξ 4 = Fahrrad ξ 5 = zu Fuß 70

8 Erhobene Urliste: 1, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 5, 2, 2, 5, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1 Häufigkeitstabelle: j ξ j n j f j = n j /n 1 Bus 6 6/20 = PKW 9 9/20 = Motorrad 1 1/20 = Fahrrad 2 2/20 = zu Fuß 2 2/20 = 0.10 Summe:

9 Man beachte den folgenden Trade-Off : Übergang von Urliste zur Häufigkeitstabelle erhöht die Übersichtlichkeit führt zu einem Informationsverlust Grafische Darstellungen von Häufigkeitstabellen durch Säulendiagramme Balkendiagramme 72

10 Balken- oder Stabdiagramm (absolute Häufigkeiten) Bus PKW Motorrad Fahrrad zu Fuß Kuchen- oder Kreisdiagramm (relative Häufigkeiten) Motorrad 5% Fahrrad 10% zu Fuß 10% PKW 45% Bus 30%

11 Vorsicht bei der Interpretation von Grafiken: Grafiken können auf viele Weisen manipuliert werden Manipulation muss nicht immer schlecht sein Verzerren der Achsen Bestimmte Bereiche werden hervorgehoben Bestimmte Bereiche werden unterdrückt Skalierungen der Y -Achsen Bestimmte Entwicklungen werden dramatisiert Bestimmte Entwicklungen werden verschwiegen 74

12 Wichtige Kennzahl einer Datenreihe ist der Modus: Definition 4.2: (Modus) Ein Merkmalswert ξ j heißt Modus, wenn seine (absolute oder relative) Häufigkeit mindestens so groß ist wie die aller anderen Merkmalswerte, d.h. wenn n j n k für alle k {1,..., J} gilt. Offensichtlich: Eine Datenreihe kann mehrere Modi aufweisen 75

13 4.2 Mindestens ordinal skalierte Daten Jetzt: Daten seien mindestens ordinal skaliert, d.h. erhobene Daten können sinnvoll geordnet werden Wichtige Darstellungsform der Daten: Empirische Verteilungsfunktion 76

14 Definition 4.3: (Empirische Verteilungsfunktion) Gegeben seien die Daten x 1,..., x n einer Urliste. Für jede reelle Zahl x R definiert man die empirische Verteilungsfunktion an der Stelle x (in Zeichen: F (x)) als den Anteil der Daten x 1,..., x n, die kleiner oder gleich x sind: Bemerkung: F (x) = Anzahl aller x i x. n Es gibt alternative Möglichkeiten, die empirische Verteilungsfunktion auszudrücken. Z.B. kann man alle Merkmalsausprägungen ξ j (j = 1,..., J) betrachten, die kleiner oder gleich x sind und deren relative Häufigkeiten f j = n j /n aufsummieren: F (x) = f j ξ j x 77

15 Beispiel (Klausurnoten): [I] 16 Studierende erzielten in einer Klausur die folgenden ganzzahligen Noten: 3, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 5, 2, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 4 Zur Berechnung der emp. VF sortieren wir die Urliste von der kleinsten zur größten Beobachtung 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 78

16 Beispiel (Klausurnoten): [II] Die emp. VF ergibt sich wie folgt: F (x) = = für x < 1 = für 1 x < 2 = für 2 x < 3 = für 3 x < = für 4 x < = für x 5 79

17 1 0,8 0,6 0,4 0, Bemerkung: Wir notieren die vom kleinsten Datenwert (Minimum) zum größten Datenwert (Maximum) geordnete Urliste als x (1) x (2)... x (n). (x (1) = Minimum der Urliste, x (n) = Maximum) 80

18 Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion: [I] F (x) = 0 für alle x < x (1) F (x) = 1 für alle x x (n) F (x) ist eine Treppenfunktion. Sprünge erfolgen an den Stellen, die als Daten in der Urliste vorkommen. Die Sprunghöhe an der Stelle x = ξ j beträgt f j = n j /n. F (x) ist rechtsseitig stetig Ist die Urliste sehr lang (d.h. n sehr groß), so wird F (x) immer glatter 81

19 Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion: [II] Aus F (x) lassen sich die beobachteten Merkmalswerte und deren relativen Häufigkeiten rekonstruieren. Kennt man zusätzlich noch n, so folgen aus F (x) auch die absoluten Häufigkeiten Wichtige Kennzahlen einer Datenreihe: Quantile Definition der Quantile über emp. Verteilungsfkt. F (x) 82

20 Definition 4.4: (p-quantil) Gegeben seien die Daten x 1,..., x n einer Urliste. Man betrachte eine beliebige reelle Zahl p mit 0 < p < 1. Das p-quantil (oder der p 100%-Punkt) der Daten (in Zeichen: x p ) ist definiert als x p = min {x R F (x) p} = kleinstes x R für das gilt F (x) p. Bemerkung: Das p-quantil x p ist also der kleinste Wert x R mit der Eigenschaft, dass mindestens p 100% der Daten kleiner oder gleich x p sind 83

21 Bisher: Bestimmung von Quantilen über emp. Verteilungsfunktion F (x) Jetzt: Technische Vorschrift (Algorithmus) zur Bestimmung von Quantilen aus der Urliste x 1,... x n (ohne Berechnung der emp. VF F (x)) Betrachte dazu: Geordnete Urliste der Daten x (1) x (2)... x (n) 84

22 Das p-quantil ist dann gegeben durch: x p = { x(n p), falls n p ganzzahlig ist x ( n p +1) sonst ( n p bezeichnet den ganzzahligen Anteil von n p) Definition 4.5: (Spezielle Quantile) Einige p-quantile haben besondere Namen: Median (p = 0.5): x 0.5 Quartile (p = 0.25, 0.5, 0.75): x 0.25, x 0.5, x 0.75 Quintile (p = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8): x 0.2, x 0.4, x 0.6, x

23 Beispiel (Klausurnoten): [I] Urliste (ungeordnet) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x Geordnete Urliste x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11) x (12) x (13) x (14) x (15) x (16)

24 Beispiel (Klausurnoten): [II] Berechnung des 0.25-Quantils: n = 16, p = 0.25 n p = = 4 (ganzzahlig) x 0.25 = x (n p) = x (4) = 2 Berechnung des Medians: n = 16, p = 0.5 n p = = 8 (ganzzahlig) x 0.5 = x (n p) = x (8) = 3 Berechnung des 0.8-Quantils: n = 16, p = 0.8 n p = = 12.8 (nicht ganzzahlig) x 0.8 = x ( n p +1) = x ( ) = x (12+1) = x (13) = 4 87

25 4.3 Metrisch skalierte Daten Jetzt: Metrisch skaliertes Merkmal X (vgl. Folie 29) Rechenoperationen mit Daten x 1,..., x n sinnvoll Unter dieser Voraussetzung: Einführung von Kennzahlen zur Beschreibung der Lage (Abschnitte 4.3.1, 4.3.2) der Streuung (Abschnitt 4.3.3) der Symmetrie (Abschnitt 4.3.6) der metrisch skalierten Daten x 1,..., x n 88

26 4.3.1 Lagemessung Wichtige Frage der deskriptiven Statistik: Beschreibung des Lagezentrums der erhobenen Daten x 1,..., x n durch geeignete Kennzahlen (Lagekennziffern, Lagemaße) Man beachte: Je nach Skalenniveau der Daten kommen unterschiedliche Lagemaße in Betracht 89

27 Beispiele: Für ordinal skalierte Daten kennen wir bereits den Modus (häufigster Wert einer Datenreihe) den Median (0.5-Quantil, 50%-Wert) Wichtigstes Lagemaß für metrisch skalierte Daten: Definition 4.6: (Arithmetisches Mittel) Für die metrisch skalierten Daten x 1,..., x n ist das arithmetische Mittel (auch: Mittelwert oder Durchschnitt) definiert durch x = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n n i=1 x i. 90

28 Eigenschaften des arithmetischen Mittels: [I] Arithm. Mittel und Merkmalssumme n i=1 x i = n x = x + x x } {{ } n mal x liegt zwischen Minimum und Maximum: x (1) = min{x 1,..., x n } x max{x 1,..., x n } = x (n) Schwerpunkteigenschaft: n i=1 (x i x) = n i=1 x i n x = n x n x = 0 91

29 Eigenschaften des arithmetischen Mittels: [II] Minimumeigenschaft: Für x gilt: n i=1 (x i x) 2 = min c R n i=1 (x i c) 2 Weitere Berechnungsmöglichkeiten für x: Anhand von relativen bzw. absoluten Häufigkeiten (vgl. Folie 67) x = 1 n n i=1 x i = 1 n J j=1 ξ j n j = J j=1 ξ j f j 92

30 Beispiel: Grundgesamtheit: n = 520 Haushalte eines Vorortes Merkmal: Anzahl der Haushaltsmitglieder ξ j n j Summe: 520 Durchschnittliche Haushaltsgröße: x = ( ) =

31 Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels: Das gewogene arithmetische Mittel: x w = n i=1 w i x i mit den Gewichten w 1,..., w n, wobei 0 w i 1 n i=1 w i = 1 94

32 Bemerkungen: Mit w 1 = w 2 =... = w n = 1/n ergibt sich das arithmetische Mittel als Spezialfall Das gewogene Mittel ist zu verwenden, falls das relative Gewicht einzelner Untersuchungseinheiten an der Grundgesamtheit von Bedeutung ist. Soll z.b. der durchschnittliche Strukturwandel in der BRD statistisch erfasst werden, so sind bei der Durchschnittsbildung über die einzelnen Bundesländer deren wirtschaftliche Kapazitäten zu berücksichtigen. Z.B. erhält in der Strukturberichterstattung der gemessene Strukturwandel in NRW ein höheres Gewicht als der des Saarlandes. 95

33 Arithmetisches Mittel vs. Median Wiederholung (vgl. Folie 85): Median ist 0.5-Quantil x 0.5 = { x (n/2), x ( n/2 +1), falls n gerade falls n ungerade Man beachte: Sowohl das arithmetische Mittel x als auch der Median x 0.5 sind populäre Lagemaße 96

34 Vergleich Mittelwert / Median: In die Berechnung von x fließen alle Beobacht. ein Vorteil: Es wird keinerlei Information verschenkt Nachteil: x reagiert empfindlich auf extreme Ausreißer in den Daten x 0.5 wird durch Ermittlung der mittleren Position der geordneten Urliste bestimmt ist robust gegenüber extremen Datenaus- Vorteil: x 0.5 reißern Nachteil: Es wird Information verschenkt, da nur die Position der Beobachtungen eine Rolle spielt 97

35 4.3.2 Weitere Mittelwerte Neben dem (gewogenen) arithmetischen Mittel gibt es eine Reihe weiterer Mittelwerte: Definition 4.7: (Harmonisches, geometrisches Mittel) Es seien x 1,..., x n metrisch skalierte Daten mit x i > 0 für i = 1,..., n. Das harmonische Mittel x H sowie das geometrische Mittel x G sind definiert als x H = 1 1 n n i=1 1 x i = 1 n n i=1 x 1 i 1 98

36 bzw. x G = n x 1 x 2... x n = n x i i=1 1 n. Spezielle Anwendungsgebiete: Harmonisches Mittel: Indizes vom Typ Paasche (Kapitel 5) Geometrisches Mittel: Wachstumsfaktoren und Wachstumsraten (Kapitel 5) 99

37 4.3.3 Streuungsmaße Weitere Frage der dekriptiven Statistik: Wie stark streuen die Daten x 1,..., x n um ein geeignet definiertes Zentrum? (Kennzahlen: Streuungs- oder Dispersionsmaße) Man beachte: Mit alternativen Lagemaßen für das Zentrum ergeben sich unterschiedliche Streuungsmaße Wichtigste Streuungsmaße für metrische Daten: Varianz und Standardabweichung 100

38 Definition 4.8: (Varianz, Standardabweichung) Für die metrisch skalierten Daten x 1,..., x n ist die Varianz (in Zeichen: s 2 ) definiert durch s 2 = 1 n n i=1 (x i x) 2. Die Standardabweichung (in Zeichen: s) ist definiert als die Wurzel aus der Varianz, d.h. s = s 2 = 1 n n (x i x) 2. Bemerkung: i=1 Meist wird bei der Berechnung von s 2 bzw. s nicht durch n, sondern durch n 1 dividiert (Begründung: in Statistik II) 101

39 Eigenschaften von s 2 und s: [I] s 2 hat quadratische Dimension, s hat gleiche Dimension wie die Daten x 1,..., x n Es gilt stets: s 2 0 und s 0 Ferner: s = 0 s 2 = 0 x 1 = x 2 =... = x n, d.h. Varianz und Std.Abwch. sind genau dann gleich 0, wenn alle Daten gleich sind (keine Streuung) 102

40 Eigenschaften von s 2 und s: [II] Alternative Darstellungen: s 2 = 1 n n i=1 x 2 i x2 (Proseminar) s 2 = 1 2n 2 n n i=1 j=1 ( xi x j ) 2 103

41 Zwei weitere zentrale Eigenschaften: [I] Es seien a, b R und x 1,..., x n erhobene Daten eines Merkmals X. Das Merkmal Y sei eine lineare Transformation von X, d.h. Y = a X + b, so dass für die Daten des Merkmals Y gilt y i = a x i + b für alle i = 1,..., n. Dann folgt für die Varianz s 2 Y s Y des Merkmals Y : bzw. die Standardabweichung s 2 Y = a2 s 2 X bzw. s Y = a s X 104

42 Zwei weitere zentrale Eigenschaften: [II] Für jede reelle Zahl c R gilt der Verschiebungssatz: 1 n n i=1 (x i c) 2 = s 2 + (x c) 2 Hieraus folgt die Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels (vgl. Folie 92): Die durchschnittliche quadratische Abweichung der Daten von einem Bezugspunkt c wird minimal, wenn man c = x wählt 105

43 Alternative Streuungsmaße: [I] Mittlere absolute Abweichung vom Median: d = 1 n n i=1 x i x 0.5 Es gilt die Minimierungseigenschaft: d = min c R 1 n n i=1 x i c Quartilsabstand Q Q = x 0.75 x 0.25 (Länge des Bereichs mit mittleren 50% der Daten) 106

44 Alternative Streuungsmaße: [II] Spannweite R R = max {x i} i=1,...,n (Länge des gesamten Datenbereichs) min i=1,...,n {x i} = x (n) x (1) Jetzt: Berechnung von Streuungsmaßen anhand von Häufigkeiten Zur Erinnerung (vgl. Folie 67): Merkmal X hat die J Ausprägungen ξ 1,..., ξ J mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten n 1,..., n J 107

45 Damit folgende Formeln für die Streuungsmaße: s 2 = 1 n s = J j=1 1 J n j=1 ( ξj x ) 2 nj ( ξj x ) 2 nj d = 1 n J j=1 ξ j x 0.5 nj R = max j=1,...,j {ξ j n j > 0} min {ξ j n j > 0} j=1,...,j 108

46 4.3.4 Additionssätze für arithmetische Mittel und Varianzen Ausgangssituation: Grundgesamtheit G gliedert sich in K Teilgesamtheiten G 1,..., G K Mittelwerte bzw. Varianzen in den K Teilgesamtheiten sind x 1,..., x K bzw. s 2 1,..., s2 K Umfänge der Teilgesamtheiten seien n 1,..., n K Damit ist der Umfang der Grundgesamtheit n = K n k k=1 109

47 Frage: Zusammenhänge zwischen dem Mittelwert x bzw. der Varianz s 2 der Grundgesamtheit und den Mittelwerten bzw. Varianzen der Teilgesamtheiten? Additionssatz für Mittelwerte: x = K k=1 x k nk n (Mittelwert der Grundgesamtheit ist gewichtetes Mittel der Mittelwerte der Teilgesamtheiten) 110

48 Additionssatz für Varianzen: s 2 = K s 2 k nk n k=1 } {{ } =s 2 int + K (x k x) 2 nk n k=1 } {{ } =sext 2 Bedeutung der internen bzw. externen Varianzen s 2 int, s2 ext : Interne Varianz ist gewichtetes Mittel aus den Varianzen der Teilgesamtheiten Externe Varianz ist gewichtete quadratische Abweichung der Mittelwerte x k der K Teilgesamtheiten vom Mittelwert x der Grundgesamtheit 111

49 Offensichtlich: Gesamtvarianz lässt sich exakt in Summe aus interner und externer Varianz zerlegen: s 2 = s 2 int + s2 ext Beispiel: 100 (Wieder-)Erwerbstätige wurden nach der Dauer X der früheren Arbeitslosigkeit befragt (in Monaten) Frauen Männer Anzahl Mittlere Arbeitslosigkeitsdauer Std.-Abwchg. der Arbeitslosigkeitsdauer

50 Berechnungen: x = 9.2 s 2 int = = s 2 ext = ( ) = ( ) = s 2 = s 2 int + s2 ext = = s =

51 4.3.5 Stetig klassierte Daten Häufiges praktisches Problem: Daten liegen nicht als Urliste x 1,..., x n vor (Einzeldaten), sondern zusammengefasst nach Klassen (stetig klassierte oder Gruppendaten) Beispiel: Verfügbares Monatseinkommen (in Euro) von 5000 Studierenden 114

52 f j EK-Klasse K j Studierende n j f j j x o j xu j 1 0 bis mehr als 250 bis mehr als 500 bis mehr als 750 bis mehr als Summe: Grund für stetige Klassierung: Bei sehr langen Datenreihen ist die Angabe von Häufigkeiten jedes einzelnen Datenpunktes oft sinnlos 115

53 Notationen zur Auswertung stetig klassierter Daten: Betrachte die J Klassen (Intervalle) K 1 = [x u 1, xo 1 ], K j = (x u j, xo j ], j = 2,..., J, wobei für die Intervallgrenzen gelten soll x u 1 < xo 1 = xu 2 < xo 2 = xu 3 < xo 3 <... < xo J 1 = xu J < xo J Bemerkungen: Die untere Grenze x1 u der 1. Klasse kann sein Die obere Grenze x o J der J. Klasse kann sein n j ist die Anzahl der Daten in Klasse K j f j = n j n ist der Anteil der Daten in Klasse K j 116

54 Damit: Die Häufigkeitsverteilung der stetig klassierten Daten ist gegeben durch bzw. durch (K 1, n 1 ), (K 2, n 2 ),..., (K J, n J ) (K 1, f 1 ), (K 2, f 2 ),..., (K J, f J ) Bemerkung: Es wird nichts über die Datenverteilung innerhalb der Klassen ausgesagt Informationsverlust 117

55 Probleme bei der stetigen Klassierung: Wieviele Klassen J soll man wählen? Faustregel: Wähle bei n Daten J 10 log 10 n Soll man die J Klassen alle gleich breit wählen? Ist es möglich, die oberste Klasse durch eine endliche Obergrenze sinnvoll abzuschließen? 118

56 Definition 4.9: (Empirische Dichte, Histogramm) Den Quotienten n j n (x o j xu j ) = f j x o j xu j bezeichnet man als empirische Dichte der Daten in der Klasse K j, j = 1, 2,..., J. Trägt man die empirischen Dichten als waagerechte Linien über den Klassen ab und zeichnet an den Klassengrenzen senkrechte Linien in Höhe der jeweiligen emprischen Dichten ein, so entsteht ein Histogramm der Daten. 119

57 Empirische Dichten und Histogramm zum Beispiel Studierende 0,002 0,0016 0,0012 0,0008 0,

58 Bemerkungen zum Histogramm: Das Rechteck über der Klasse j hat die Fläche (x o j xu j ) f j x o j xu j = f j Die Gesamtfläche unter dem Histogramm beträgt 1, denn Gesamtfläche = Summe der Rechteckflächen = J j=1 (xj o xu j ) f j x o j xu j = J j=1 f j = 1 121

59 Jetzt: Berechnung statistischer Kenngrößen bei stetig klassierten Daten Zunächst: Empirische Verteilungsfunktion und Quantile Erinnerung: (vgl. Folie 77, Definition 4.3) Der Wert der emp. Verteilungsfunktion F (x) ist definiert als Anteil der Daten, die kleiner oder gleich x sind 122

60 Problem bei stetiger Klassierung: Verteilung der Daten in Klasse K j ist unbekannt Für ein x K j (x nicht auf der Ober- oder Untergrenze) ist der Anteil nicht bestimmbar Vorgehensweise: Betrachte zunächst die x R, für die die emp. Verteilungsfunktion F (x) exakt berechenbar ist 123

61 Zunächst gilt: F (x) = 0 für x < x u 1 1 für x x o J Weiterhin gilt an den Obergrenzen aller Klassen: F (x o j ) = j f r r=1 für alle j = 1, 2,..., J Übrig bleibt: Berechnung von F (x) für x (x u j, xo j ] 124

62 Vorgehensweise: Lineare Interpolation von F (x) für x (x u j, xo j ]: F (x) F (x u j ) + f j x o j xu j = F (x o j 1 ) + f j x o j xu j (x x u j ) (x x u j ) = j 1 r=1 f r + f j x o j xu j (x x u j ) 125

63 Beispiel: (vgl. Folien 114, 115) [I] Monatseinkommen von 5000 Studierenden Obergrenze der letzten Klasse wurde willkürlich auf 1500 Euro gesetzt j EK-Klasse K j f j F (x o j ) 1 0 bis mehr als 250 bis mehr als 500 bis mehr als 750 bis mehr als 1000 bis

64 Beispiel: [I] Zwischen Klassengrenzen wird linear interpoliert, z.b. F (650) f 1 + f 2 + f 3 x o 3 (x x u xu 3 ) 3 = Empirische Verteilungsfunktion zum Beispiel Studierende 0.4 ( ) = ,8 0,86 F(x) 0,6 0,4 0,66 0,2 0 0,26 0, x 127

65 Jetzt: Berechnung von Quantilen bei stetiger Klassierung über empirische Verteilungsfunktion F (x) (vgl. Folie 83, Definition 4.4) Zusatzannahme: Keine der Klassen K j besitzt die Häufigkeit 0 = Emp. VF F (x) ist streng monoton wachsend = Für jedes p (0, 1) hat die Gleichung F (x) = p eine eindeutige Lösung, nämlich das p-quantil x p 128

66 Explizite Berechnung von x p : [I] 1. Bestimme die Klasse K j in der x p liegt, d.h. bestimme das j für das gilt F (x u j ) < p F (xo j ) 2. Löse die Gleichung p = F (x u j ) + f j x o j (x x xu j u ) j nach x auf. Die Lösung approximiert das Quantil x p. 129

67 Explizite Berechnung von x p : [II] p = F (x u j ) + f j x o j xu j (x x u j ) x x u j = p F (xu j ) f j (x o j xu j ) x = x u j + p F (xu j ) f j (x o j xu j ) x = x u j + p F (xu j ) F (x o j ) F (xu j )(xo j xu j ) } {{ } x p 130

68 Beispiel: (vgl. Folie 126, Einkommen Studierende ) Gesucht: unteres Quartil x 0.25 Berechnung von x 0.25 : = F (x u 2 ) < = F (xo 2 ), d.h. x 0.25 K 2 = (250, 500] 2. Damit folgt: x ( ) =

69 Es verbleibt: Berechnung weiterer statistischer Kennzahlen, z.b. Arithmetisches Mittel Varianz bzw. Standardabweichung (Nicht in der VL) 132

70 4.3.6 Schiefemessung Situation: Betrachte Urliste x 1,..., x n (keine stetige Klassierung) Wichtige praktische Feststellung: In der empirischen Wirtschaftsforschung werden Kennzahlen wie arithmetisches Mittel, Varianz, Standardabweichung etc. in der Praxis nicht per Hand ausgerechnet, sondern mit spezieller Auswertungssoftware (z.b. EViews) 133

71 Beispiel: (vgl. Folie 12) Tägliche Wechselkursveränderungsraten der griechischen Drachme zum Euro Stabdiagramm und statistische Kennzahlen für GRD-Veränderungsraten Series: GRD_RET Sample 16/12/1998 1/01/2001 Observations 748 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

72 Sy mmetris c he Verteilung Series: SYMMETRIE Sample Observations Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Rechtsschiefe Verteilung Series: RECHTS Sample Observations Mean Median Max imum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Linksschiefe Verteilung Series: LINKS Sample Observations 5000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

73 Fazit: Datenreihen zeigen unterschiedliches Symmetrieverhalten Jetzt: Kennzahl für Symmetrieverhalten 136

74 Definition 4.10: (Schiefe) Die Schiefe einer Urliste x 1,..., x n ist definiert durch n ( xi x ) 3, wobei wie üblich und g = 1 n s = i=1 x = 1 n 1 n n i=1 s n x i i=1 (x i x) 2 das arithmetische Mittel sowie die Standardabweichung der Daten bezeichnen. 137

75 Bemerkungen: Der zentrale Term in Definition 4.10 ist n i=1 (x i x) 3 Liegen viele Daten x i rechts von x, so ist g tendenziell positiv Liegen viele Daten x i links von x, so ist g tendenziell negativ Insgesamt gelten die folgenden Relationen: g < 0 g 0 g > 0 = Verteilung ist linksschief = Verteilung ist symmetrisch = Verteilung ist rechtsschief 138