Skalenniveaus =,!=, >, <, +, -

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1 ZUSAMMENHANGSMAßE

2 Skalenniveaus Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala =,!= =,!=, >, < =,!=, >, <, +, - =,!=, >, <, +, -, *, / Kardinalskala Bemerkungen: Das Skalenniveau ist eine wichtige Eigenschaft von Merkmalen (Variablen). Das Skalenniveau bestimmt die mathematische und logische Operationen, die zulässig sind. Operationen, die bei Variablen eines bestimmten Skalenniveaus zulässig sind, können auch auf Variablen aller höheren Skalenniveaus durchgeführt werden.

3 Korrelation Eine Korrelation beschreibt eine Beziehung zwischen zwei (mehreren) Merkmalen. Eine Korrelation als Maß des Zusammenhangs soll drei Fragen klären: Existiert ein Zusammenhang überhaupt? Wie stark ist der Zusammenhang? Falls möglich, welche Richtung hat der Zusammenhang?

4 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

5 Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Welcher Koeffizient benutze ich, wenn die Variablen von verschiedenen Skalenniveaus sind? Regel: Man benutzt immer den Koeffizient, der für das niedrigere Skalenniveau erlaubt ist.

6 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

7 Kovarianz Variable X Variable Y (Zielvariable) i Alter Gehalt Kovarianz S xy 1 n n i1 ( x i x)( y i y) Stichprobe vom Umfang n Arithmetischer Mittelwert der Variablen X _ 1 x n n i1 x i

8 Kovarianz i Alter Gehalt _ 1 8 Berechnung: x x i y y i S xy 1 7 n i1 ( x i )( y i1 i ) _ 1 8 i Wie kann ich den Wert interpretieren? Normierung? Kovarianz

9 Arithmetischer Mittelwert von X Arithmetischer Mittelwert von Y Kovarianz

10 Korrelationskoeffizient nach Pearson i Alter Gehalt Korrelationskoeffizient Kovarianz s xy Standardabweichung von X s x var( x) 1 var( x) n 1 n i1 ( x i _ x) 2 s x. s y

11 Korrelationskoeffizient nach Pearson Wie kann ich den Wert interpretieren? 1. Wertebereich: Eine lineare Zusammenhang ist Voraussetzung.? Wert Zusammenhang (Korrelation) 0 kein schwach mittel stark 1.0 exakt auf einer Geraden

12 s xy 0, 0

13 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kardinalskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

14 Korrelationskoeffizient nach Spearman s Note RN Note P Bindungen sind Beobachtungen, die denselben Rang haben. Student Student Note RN RANG Note P3 RANG d d^ , ,25 d i x i y i ,5 0,5 0, ,5 2 6, , , , ,5 1 2, ,5 2 6, ,5 1 2,5 4 16

15 Korrelationskoeffizient nach Spearman s s s ( n 6. 1 i1 6*59 1 7*8*9 n d 2 i 1). n.( n 0,2976 Wie kann ich den Wert interpretieren? 1) 1. Wertebereich Eine lineare Zusammenhang ist nicht vorausgesetzt. 3. Aber der Zusammenhang muss monoton sein. 4. Die o.e. Formel ist allerdings nur korrekt im Fall ohne Bindungen. 5. Sollten Bindungen existieren, ist besser den Korrelationskoeff. mit den Rängen rechnen. s

16 Zusammenhangsmaße In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen zwei statistischen Variablen mit verschiedenen Zusammenhangsmaßen (Koeffizienten) gemessen. in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale (Variablen) gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße. Variable X: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Variable Y: Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Kontingenzkoeffizient Korrelationskoeffizient nach Spearman Kovarianz Korrelationskoeffizient nach Pearson

17 nominalskaliert Kontingenzkoeffizient Variable X i Geschlecht Frau Frau Frau Frau Mann Mann Frau Mann Variable Y Ausbildung Haupt schule Hoch schule Haupt schule Gymnasium Gymnasium Hoch schule Hoch schule Hoch schule ordinalskaliert Kontingenztabelle (Kreuztabelle)

18 Absolute Häufigkeit h11 Gymnasium Hauptschule Hochschule Frau Mann Zeilensumme/ Randhäufigkeit 1 / / / / / / Spaltensumme/ Randhäufigkeit Erwartete Häufigkeit he32=(3*4)/8 zeilensumme * spaltensumme h i e ij stichprobenumfang j

19 Chi2-Koeffizient 2 k m i1 j1 ( h ij h e h ij e ij ) 2 i=1,..,k j=1,..,m Wie kann ich den Wert interpretieren? Die Aussagekraft des χ2-koeffizienten ist gering. 0 <= Chi2-Koeffizient <= n*min{k 1,m 1} Der Chi2-Koeffizient verdoppelt sich durch die Verdoppelung des Stichprobenumfangs (Abhängigkeit von n) Diese Abhängigkeit begründet den Normierungsschritt zum Kontingenzkoeffizienten K

20 Kontingenzkoeffizient K 2 2 n K liegt im Wertebereich zwischen [0, 1 ), also abhängig von der Anzahl Spalten und Zeilen: min1 K [0, ] min, min=min( k, m ) Wie kann ich den Wert interpretieren? Um zusätzlich zum Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Obergrenze des Koeffizienten auszuschalten wird der korrigierte Kontingenzkoeffizient

21 Korrigierter Kontingenzkoeffizient min K *.K min1 Wie kann ich den Wert interpretieren? min=min( k, m ) Es gilt 0 K* 1 Über K* kann eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zwischen den Merkmalen X und Y aber nicht über die Richtung der Wirkung gemacht werden.