htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK

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1 htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK

2 htw saar 2 Grundbegriffe

3 htw saar 3 Grundgesamtheit und Stichprobe Ziel: Über eine Grundgesamtheit (Population) soll eine Aussage über ein oder mehrere Merkmale (Variable) gemacht werden. Die Elemente der Grundgesamtheit nennt man statistische Einheiten. Beispiel: Grundgesamtheit = Wahlberechtigte Bevölkerung der Bundesrepublik Deutschland Merkmal = Wahlabsicht bei der nächsten Bundestagswahl Aus Kosten- und Zeitgründen kann im allgemeinen nicht die ganze Grundgesamtheit befragt werden, sondern nur eine Teilmenge (Stichprobe). Wichtig: Die Stichprobe muss zufällig aus der Grundgesamtheit gezogen werden. D. h.: Jedes Element der Grundgesamtheit muss die gleiche Chance haben, ausgewählt zu werden. Im allgemeinen ist echte Zufalls-Stichprobe schwer realisierbar (Auswahlgrundlage?)

4 htw saar 4 Merkmalstypen 1: Stetige und diskrete Merkmale Diskretes Merkmal: Es gibt nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Merkmalsausprägungen. Alle Daten, die durch Zählen ermittelt werden können, sind diskrete Merkmale. Beispiele: Anzahl der Kinder in einem Haushalt Anzahl der Menschen auf der Erde Anzahl der Sekunden seit Entstehung der Welt Stetige Merkmale: Merkmal kann alle Werte in einem Intervall annehmen. Beispiele: Körpergröße Gewicht Ein Merkmal heißt quasi-stetig, wenn es im Prinzip stetig ist, aber nur diskret gemessen wird. Beispiel: Körpergröße in cm

5 htw saar 5 Merkmalstypen 2: Skalen Ein Merkmal wird immer mittels eines Skalenniveaus gemessen. Vier Typen werden unterschieden: Nominalskala: Ausprägungen sind Namen Beispiele: Wirtschaftszweig Geschlecht Dichotome Fragen (Ja / Nein) Ausprägungen werden oft numerische Codes zugewiesen. Mit diesen Codes lassen sich aber keine sinnvollen numerischen Operationen durchführen. Beispiel: Geschlecht 1 = männlich 2 = weiblich Codes für eine Gruppe von Personen zu addieren, ergibt keinen Sinn.

6 htw saar 6 Skalen: Fortsetzung Ordinalskala: Ausprägungen können geordnet werden, aber Abstände können nicht interpretiert werden. Beispiele: Schulnoten (Ordnung von 1 6; aber Abstand zwischen 1 und 2 nicht mit Abstand zwischen 4 und 5 vergleichbar) Zufriedenheit mit Produkt (sehr zufrieden zufrieden weniger zufrieden unzufrieden) Intervallskala: Abstände zwischen Ausprägungen können interpretiert werden, aber Verhältnisse nicht. Beispiel: Temperatur Verhältnisskala: Zusätzlich zu intervallskalierten Merkmalen lassen sich hier auch Verhältnisse von Werten interpretieren. Beispiele: Mieten, Gehälter, Körpergrößen

7 htw saar 7 Skalen: Fortsetzung Merkmale, die entweder intervallskaliert oder verhältnisskaliert sind, werden zusammenfassend als metrische Merkmale bezeichnet. Merkmal ist metrisch, wenn die Ausprägungen durch Zählen oder Messen ermittelt werden können. Skalenart nominal ordinal intervall verhältnis Sinnvoll interpretierbare Berechnungen auszählen ordnen Differenzen Quotienten ja nein nein nein ja ja nein nein ja ja ja nein ja ja ja ja

8 htw saar 8 Merkmalstypen 3: Qualitative und quantitative Merkmale Qualitativ: Merkmal hat endlich viele Ausprägungen und ist nominal oder ordinal skaliert. Qualitative Merkmale nennt man auch kategorial und dementsprechend bezeichnet man ihre Ausprägungen als Kategorien. Quantitativ: Merkmalsausprägungen lassen sich zählen oder messen. Metrisch und quantitativ wird i. a. synonym verwendet.

9 htw saar 9 Univariate Beschreibung

10 htw saar 10 Häufigkeiten Im folgenden nehmen wir an, dass wir für eine Stichprobe vom Umfang n ein Merkmal X beobachtet haben. Die Merkmalsausprägungen für die Einheiten seien x 1,, x n (Rohdaten oder Primärdaten). n kann sehr groß sein => Zusammenfassung der Rohdaten Einfachste Möglichkeit: Häufigkeitstabelle Seien a 1,, a k mit k n die in den Primärdaten vorkommenden Ausprägungen von X. Dann bezeichnen wir mit h(a i ) = h i die absolute Häufigkeit der Ausprägung a i (Anzahl der Einheiten in der Stichprobe, die diese Ausprägung besitzen) f(a i ) = f i = h i / n die relative Häufigkeit der Ausprägung a i (Anteil der Einheiten in der Stichprobe, die diese Ausprägung besitzen) Die relative Häufigkeit wird oft in Prozent angegeben.

11 htw saar 11 Beispiel für Erstellen einer Häufigkeitstabelle Wir untersuchen 10 Haushalte nach dem Merkmal X = Anzahl der Personen im Haushalt Wir beobachten die folgenden Werte: Die Ausprägungen sind also: 1, 2, 3, 4, 5 Es ergibt sich folgende Häufigkeitstabelle: Anzahl Personen Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit in % Kumulierte Häufigkeit in % Für mindestens ordinalskalierte Merkmale werden oft auch die (relativen) kumulierten Häufigkeiten angegeben: Bei einer in der Reihenfolge der Ausprägungen angeordneten Tabelle ist die (relative) kumulierte Häufigkeit der Ausprägung a k die Summe der relativen Häufigkeiten der Ausprägungen, die kleiner oder gleich a k sind.

12 htw saar 12 Graphische Darstellungen 1: Histogramm Darstellung durch Rechtecke Grundseite immer gleich lang Höhe proportional zum Wert

13 htw saar 13 Histogramm bei Merkmalen mit vielen verschiedenen Ausprägungen Wenn ein quantitatives (oder mindestens ordinalskaliertes) Merkmal zu viele verschiedene Ausprägungen hat, wird ein Histogramm leicht unübersichtlich. Dann empfiehlt es sich, den Wertebereich in Intervalle einzuteilen und das Histogramm auf der Basis der Häufigkeiten für die Intervalle zu erstellen.

14 htw saar 14 Graphische Darstellungen 2: Balkendiagramm Wie Histogramm, aber waagerecht

15 htw saar 15 Graphische Darstellungen 3: Tortendiagramm (Kreisdiagramm) Größe des Tortenstücks entspricht Anteil der Ausprägung

16 htw saar 16 Lagemaße 1: Arithmetisches Mittel Lagemaße beschreiben (meist) das Zentrum der Verteilung der Merkmalsausprägungen durch einen einzigen Wert. Welches Maß am besten geeignet ist, hängt vom Skalenniveau und von der Fragestellung ab. Das aus Alltagssituationen bekannteste Lagemaß ist das arithmetische Mittel. Beispiele für Anwendungen aus dem Alltag: Durchschnittsnote oder durchschnittliche Punktzahl bei einer Klausur durchschnittliche Körpergröße / Körpergewicht einer bestimmten Bevölkerungsgruppe durchschnittliche tägliche Sonnenscheindauer

17 htw saar 17 Arithmetisches Mittel Fortsetzung Das arithmetische Mittel ergibt sich als Summe der beobachteten Werte dividiert durch den Stichprobenumfang. Wurden für die einzelnen Ausprägungen bereits relative Häufigkeiten berechnet, so ergibt sich das arithmetische Mittel als Summe der Produkte aus Ausprägung und relativer Häufigkeit. Das arithmetische Mittel lässt sich für metrische Merkmale sinnvoll berechnen. Für qualitative Merkmale ist es i. a. ungeeignet. Eine Ausnahme sind binäre / dichotome Merkmale mit a 1 = 0 und a 2 = 1. Dann entspricht der relativen Häufigkeit von a 2. Das arithmetische Mittel ist anfällig gegenüber Ausreißern.

18 htw saar 18 Lagemaße 2: Median und Modus Der Median ist ein sogenanntes robustes Lagemaß, d. h.: Er ist nicht anfällig für Extremwerte. Der Median kann für Merkmale, die mindestens ordinalskaliert sind, angegeben werden. Man ordnet die Primärwerte in aufsteigender Reihenfolge. Der Median x med ist dann so definiert, dass eine Hälfte der Daten unterhalb x med liegt und eine Hälfte oberhalb. Der Modus x mod ist die Ausprägung mit der größten Häufigkeit. Er ist nicht immer eindeutig. Der Modus kann für alle Merkmale bestimmt werden.

19 htw saar 19 Lagemaße 3: Quantile Die Quantile unterscheiden sich von den vorher betrachteten Lagemaßen, dass sie nicht unbedingt das Zentrum (die Mitte) der Verteilung beschreiben, sondern dass sie allgemein die Verteilung in zwei Teile trennen, die aber nicht unbedingt gleich groß sind. Sei X ein Merkmal, das mindestens ordinalskaliert ist und seien die Primärwerte in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Für einen Wert p mit 0 < p < 1 ist das p-quantil x p der Wert, so dass mindestens ein Anteil p der Daten kleiner oder gleich x p ist und mindestens ein Anteil 1 p größer oder gleich x p ist. Spezialfall p = 0.5: Median Weitere wichtige Quantile: p = 0.25: Unteres Quartil p = 0.75: Oberes Quartil Dezile: p ist ein Vielfaches von 0.1.

20 htw saar 20 Graphische Darstellungen 4: Box-Plot Die Verteilung eines Merkmals lässt sich komprimiert durch den Box-Plot darstellen: Eine Schachtel (Box) geht vom unteren bis zum oberen Quartil. Die Länge der Schachtel entspricht dem Interquartilsabstand (IQR) x 0.75 x Die Lage des Medians wird durch einen Punkt (oder Strich) in der Schachtel gekennzeichnet. Von den Rändern der Schachtel gehen Antennen (Whisker) aus. Variante A: Die Antennen gehen bis zum Minimum bzw. Maximum, sie haben aber maximal die Länge 1.5 * IQR. Werte außerhalb dieses Bereichs werden durch Punkte gekennzeichnet. Variante B: Die Antennen gehen vom Minimum bis zum Maximum.

21 htw saar 21 Streuungsmaße: Varianz und Standardabweichung Neben der Kenntnis der Lage des Zentrums einer Verteilung ist auch die durchschnittliche Streuung der Werte um das Zentrum eine wichtige Information. Die Varianz ist das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der beobachteten Werte von. Bei der Berechnung der Varianz einer Stichprobe wird die Summe der quadrierten Abweichungen meist nur durch n 1 dividiert. Die Begründung dafür folgt, wenn wir uns mit Methoden zum Schätzen der Parameter einer Verteilung beschäftigen. Bei größerem Stichprobenumfang ist der Unterschied vernachlässigbar. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Varianz und Standardabweichung sind nur für metrische Merkmale sinnvoll. Bei Vorliegen von Extremwerten, erhöht sich die quadrierte Summe der Abweichungen stark. Somit reagieren diese Maße empfindlich auf Ausreißer.

22 htw saar 22 Bivariate Beschreibung

23 htw saar 23 Korrelationskoeffizient Gegeben sind zwei metrisch skalierte Merkmale, deren Ausprägungen jeweils paarweise vorliegen (,). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson gibt die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen den beiden Merkmalen an: Es gilt: = ( )( ) ( ) 1 1 ( ) Nenner ist Normierungsfaktor, damit Werte zwischen -1 und 1 liegen. Summanden im Zähler sind positiv, wenn x- und y-wert beide positiv sind oder beide negativ.

24 htw saar 24 Bemerkungen Ist der Korrelationskoeffizient > 0, so spricht man von einer positiven Korrelation oder einem gleichsinnigen Zusammenhang der beiden Merkmale. Ist der Koeffizient negativ, so spricht man von einer negativen Korrelation oder einem gegensinnigen Zusammenhang der Merkmale. Von einer starken Korrelation spricht man, wenn r 0,8.

25 htw saar 25 Kausalität (Ursache) und Korrelation (Zusammenhang) Korrelation: Zwei Ereignisse A und B werden oft zur gleichen Zeit beobachtet. Kausalität: Ereignis A ist die Ursache für das Eintreten von Ereignis B. Beispiel: Wenn am Strand mehr Eis verkauft wird, kommt es häufiger zu Angriffen von Haien. Erklärung: Korrelation zwischen Wetter und Besucheranzahl Schönes Wetter => mehr Leute am Strand

26 htw saar 26 Beispiel für Korrelation ohne kausalen Zusammenhang Dort weitere Beispiele.