Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Variablentypen. Stichprobe und Grundgesamtheit

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN MATHEMATIK UND STATISTIK INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM R. Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen Statistik SS Variablentypen Qualitative Merkmale (nominal und ordinal) Quantitative Merkmale (diskret und stetig) Stichprobe und Grundgesamtheit Häufigkeitsverteilung Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen Häufigkeitsfunktion und Histogramm Summenhäufigkeitsfunktion Zusammenhang zweier Merkmale Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung Streudiagramm Statistische Maßzahlen Lageparameter arithmetischer Mittelwert, geometrischer Mittelwert, Median, gestutzter Mittelwert, Modus Streuungsmaße Spannweite, Varianz und Standardabweichung, Variationskoeffizient, Standardfehler Quartilen Fraktilen, Quantilen, Perzentilen

2 Variablentypen Diskrete Merkmale Einteilung von Merkmalen qualitativ quantitativ kategorial, artmäßig metrisch, zahlenmäßig nominal ordinal diskret stetig Ausprägung Rangfolge ganzzahlig beliebig Religion Qualität Kinder Gewicht Geschlecht Schadstufe Pflanzen Größe Pflanzenart Bonitierung Tiere Zeit Marke (Noten) Schlepper Stoffgehalt Merkmalstypen Typ Merkmal Wert qualitativ nominal Unkraut Kamille Vogelmiere Klettenlabkraut ordinal Schädigung ohne schwach mittel stark tot quantitativ diskret Ferkel/Sau! Körner/Ähre! 8 (Kernzerfall) 4 Bq stetig Bleigehalt! 1. ppm Dieselverbrauch 1.4 l/sh Ertrag 4 dt/ha Urliste einer Stichprobe vom Umfang n = 1 über die Anzahl von Ferkeln aus einer Grundgesamtheit (Population) von Muttersauen Kreuztabelle des diskreten Merkmals Ferkelzahl

3 Häufigkeitsfunktion und Summenhäufigkeitsfunktion Häufigkeitsverteilung der Ferkelzahlen Diskrete Merkmale absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Häufigkeitsfunktion Summenhäufigkeitsfunktion Stetige Merkmale Klassenbildung n i h = h(x ) = n / n i i i f(x)' h i für x'x i sonst F(x)' j >#x f(>) Ferkel pro absolute relative Summen- Wurf Häufigkeit Häufigkeit häufigkeit Summe 1 1. absolute und relative Klassenhäufigkeit HäufigkeitsverteilungHistogramm Summenhäufigkeitsfunktion Ordinale Merkmale Balkendiagramm Summenhäufigkeitsdiagramm Nominale Merkmale Balkendiagramm f ~ Ferkel

4 ~ f..18 Häufigkeits- und Summenhäufigkeitsfunktion der Ferkelzahlen Ferkel Stetige Merkmale Urliste einer Stichprobe vom Umfang n = 1 über die Milchleistung aus einer Grundgesamtheit (Population) von Milchkühen [kg/a] Klassenhäufigkeitsverteilung F ~ Ferkel relative Klassen- relative Summen- Klassen häufigkeit häufigkeit

5 Histogramm f ~.3..1 Häufigkeits- und Summenhäufigkeitsfunktion der Milchleistung Ordinale Merkmale relative Summenohne Schadstufe Bäume Häufigkeit häufigkeit schwach mittel stark tot kg/a Summenhäufigkeitsfunktion Nominale Merkmale F ~ kg/a Unkraut Anzahl Anteil [%] Gänsefuß Vogelmiere Ehrenpreis Ackerstiefmütterchen 9 6. Franzosenkraut 1.4 Hirtentäschel 8.8 Klettenlabkraut Kamille Kornblume 4.9 Klatschmohn

6 ohne schwach mittel Schadstufe stark tot ohne schwach mittel Schadstufe stark tot relative Häufigkeit relative Häufigkeit Balken- und Summenhäufigkeitsdiagramm der Baumschadklassen Gänsefuß Vogelmiere Ehrenpreis Ackerstiefmütterchen Franzosenkraut Hirtentäschel Klettenlabkraut Kamille Kornblume Klatschmohn Kamille Vogelmiere Ehrenpreis Klettenlabkraut Gänsefuß Ackerstiefmütterchen Hirtentäschel Kornblume Klatschmohn Franzosenkraut absolute Häufigkeit absolute Häufigkeit Balkendiagramm der Unkrautverteilung

7 Zusammenhang zweier Merkmale Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung von Betriebsgröße und Schlepperleistung Schlepperleistung [kw] Größe [ha] < > 9 R.H. < > 7 7 R.H absolute Häufigkeit <3 kw 3- kw -7 kw 7-9 kw >9 kw 8 <3 ha ha 9-7 ha Betriebsgröße [ha] 1 >7 ha Schlepperleistung [kw] absolute Häufigkeit <3 4 6 >7 Betriebsgröße [ha] > <3 Schlepperleistung [kw] Streudiagramm von Betriebsgröße und Schlepperleistung Betriebsgröße [ha] 6 7 8

8 Milchleistung von Kühen Statistische Maßzahlen - Lageparameter ML_A [kg/a] E Stichprobenumfang n = ML_B [kg/a] E Stichprobenumfang n = Arithmetischer Mittelwert (arithmetisches Mittel, mean) x' x 1 %x %ÿ%x n ' 1 n n n j x i A' '1, B' Median (Zentralwert) '1 Links und rechts von x liegen gleich viele Beobachtungen Ã'4994, B'33 Modus (Modalwert, Dichtemittel, mode) x d = Stichprobenwert oder Klasse mit größter Häufigkeit unimodale, bimodale,..., multimodale Verteilungen Gestutzter Mittelwert (gestutztes Mittel, trimmed mean) % größte und % kleinste Werte werden verworfen arithmetisches Mittel aus restlichen 9% der Werte Geometrischer Mittelwert (geometrisches Mittel) x geom. ' n n, log x geom. ' 1 x 1 %log x %ÿ%log x n ) 1. Jahr %,. Jahr 7%, 3. Jahr 1% Umsatzsteigerung (1%x) 3 '1.@1.7@1.1 Y 1%x' '1.796 x geom. '.796'7.96%

9 Statistische Maßzahlen - Streuungsmaße Statistische Maßzahlen - Streuungsmaße Spannweite (range) Mittlere absolute Abweichung (mean absolute deviation) R'x max &x min R A '38&4763'77, Varianz (variance) R B '846&47'176 D' 1 n n j x i &x D A '3., D B '43.4 Median-Abweichung (median absolute deviation) s ' 1 n&1 j n (x i &x) ' 1 n&1 n j x i & 1 n n j x i MAD'Median( x i & x ) MAD A '31, MAD B '436 A i &A (A i &A) B i &B (B i &B)! ! !14 1! ! ! !1 -!33 189! ! ! 36174! s A ' 1 s B ' 1 Standardabweichung (standard deviation) s' s, selbe Einheit wie Meßwerte und Mittelwert s A '3, s B '9 [kg/a] Interquartilsabstand Q! Q 3 1 Variationskoeffizient (coefficient of variation) VK' s x VK A ' 3 1 '.9'.9%, VK B ' 9 1 '.116'11.6% Standardfehler des arithmetischen Mittels (standard error mean) s x ' s n s A ' 3 '134, s B ' 9 '64

10 Quartilen Fraktilen, Quantilen, Perzentilen x min Q 1 Q Q 3 x max Die K%-Fraktile, K%-Quantile oder das K-te Perzentil x ist K% der x-wert, unterhalb dem K% der Werte liegen Q Q Q 1 3 % % % % % untere Quartile Median obere Quartile x % = x. = Q1 untere Quartile x % = x. = Q Median x 7% = x.7 = Q3 obere Quartile F ~ 1. Q! Q 3 1 Interquartilsabstand Boxplots (Schachtel Plots) Q 1 Q Q 3 x min % % % % x max kg/a x = x = 8 8%.8 8% aller Kühe haben eine Milchleistung unter 8 kg/a x

11 Statistische Maßzahlen Data Display Row ML_A ML_B Descriptive Statistics: ML_A; ML_B Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean ML_A ML_B Variable Minimum Maximum Q1 Q3 ML_A ML_B Statistische Maßzahlen Milchleistung: Descriptive Statistics Variable N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean Milch Variable Min Max Q1 Q3 Milch Ferkelzahl: Descriptive Statistics Variable N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean Ferkel Variable Min Max Q1 Q3 Ferkel

12 Boxplots Mittelwert und Varianz bei klassifizierten Stichproben Arithmetischer Mittelwert 1 x' 1 n j m (n i )' j m (h i ) Ferkel 1 Varianz s ' 1 n&1 m j n i & 1 n m j n i. j m h i & j m h i Milchleistung [kg/a] x i (Klassenmitte) hi h i xi h i xi x'19 s '7968&19 ' Y s'83