MATHEMATIK MTA 12 SCHULJAHR 07/08 STATISTIK

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1 MATHEMATIK MTA 12 SCHULJAHR 07/08 STATISTIK PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Inhaltsverzeichnis 1. Merkmale 2 2. Urliste und Häufigkeitstabellen 9. Graphische Darstellung von Daten Lageparameter Modus Median Quantile Arithmetisches Mittel Streuungsmaße Spannweite Varianz und Standardabweichung Variationskoeffizient 2. Korrelation und Regression Aufgaben 28 christina@birkenhake.net, birken/. 1

2 2 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Klassenfragebogen 1. Merkmale Merkmal: Merkmalsträger Merkmalswert die Eigenschaft, die bei einer statistischen Untersuchung abgefragt wird. z.b. Geschlecht,... Objekt/Lebewesen, das das Merkmal trägt. z.b. Schüler dieser Klasse, Schüler in Nürnberg die Angabe, die bei der Befragung eines Merkmals festgestellt wurde. z.b. Merkmal: Geschlecht Merkmalswerte: m. und w. Skalierung/Ordnung von Merkmalen: Skala Merkmal Beispiele Nominalskala qualitative Merkmale Geschlecht, Beruf OrdinalSkala ordinale Merkmale Noten Metrische Skala quantitative Merkmale Größe, Datum Intervalskala, z.b. Temperatur metrische Skala Verhältnisskala, z.b. Länge Skalierung Ordung Verhältnisskala Intervalskala Ordinalskala Nominalskala abnehmendes Informationsniveau

3 Fragebogen Klasse: Datum: Geschlecht m. w. Blutgruppe 0 A B AB Ihr Schlafbedürfnis viel mittel wenig Wann sind Sie gestern zu Bett gegangen? Wählen Sie eine ganze Zahl zwischen 0 und 100 Alter Jahre Größe cm Wieviel Münzgeld haben Sie dabei? Cent

4 Urliste: Klasse Datum Nr. Geschlecht Blutgruppe Schlafbedürfnis Bettruhe

5 Urliste: Klasse Datum Nr. Zahl Alter Größe Münzgeld

6 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Häufigkeitstabellen zum Fragebogen vom Merkmal: Geschlecht i x i h i f i H i F i 1 m. 2 w. Merkmal: Blutgruppe i x i h i f i H i F i A B 4 AB Merkmal: Schlafbedürfnis i x i h i f i H i F i 1 1 = viel 2 2 = mittel = wenig Merkmal: Bettruhe i h i f i H i F i

7 MATHEMATIK MTA 12 7 Merkmal: Zahl i h i f i H i F i Merkmal: Alter i ]x u i, x o i ] h i f i H i F i

8 8 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Merkmal: Größe i ]x u i, x o i ] h i f i H i F i Merkmal: Münzgeld i h i f i H i F i

9 MATHEMATIK MTA 12 9 n x 1,..., x ν h i 2. Urliste und Häufigkeitstabellen Bezeichnungen in Häufigkeitstabellen Stichprobenumfang Merkmalswerte absolute Häufigkeit des Merkmals x i h h ν = n f i = h i n (100%) relative Häufigkeit des M.W. x i f f ν = 100% nur bei ordinalen und metrischen Merkmalen: H i absolute Summenhäufigkeit des M.W. x 1 H i = h h i H 1 = h 1, H ν = h h ν = n F i = H i n relative Summenhäufigkeit des M.W. x i F i = f 1 + f i F 1 = f 1, F ν = Hν n = 100% Klasseneinteilung Bei quantitativen Merkmalen: Spektrum der Merkmalswerte wird in Intervalle aufgeteilt. Beispiel Merkmal: Münzgeld, Spektrum: 0 10 e Klassen: [0, 100[, [100, 200[, [200; 00[,... Klassenbreite nicht notwendig konstant! klassifizierte Häufigkeitsverteilungen x u i x o i Klassenuntergrenze Klassenobergrenze [x u i ; x o i [ oder ]x u i ; x o i ] i-te Klasse Typ einer Häufigkeitsverteilung: diskrete Verteilung nichtklassifizierte Verteilung

10 10 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE. Graphische Darstellung von Daten Stabdiagramm (Arbeitsblatt Stabdiagramm und Histogramm) h i x 1 x 8 Eignung: qualitative, ordinale, diskrete quantitative Häufigkeitsverteilungen Kreisdiagramm Eignung: qualitative, ordinale, diskrete quantitative Häufigkeitsverteilungen, wie bei Stabdiagramm. Winkel proportional zur Häufigkeit h i. Winkel für Merkmal x i : 0 f i Histogramm Eignung: Klassifizierte quantitative Häufigkeitsverteilungen. x-achse: Klassengrenzen x u 1, x u 2,..., x o ν x i Über jeder Klasse: Rechteck, Rechteckfläche proportional zur Häufigkeit h i Rechteckfläche = Höhe Breite Klassenbreite = x o i x u i Rechteckhöhe = Fläche Breite h i (x o i xu i ) Klassendichte d i := h i (x o i xu i ) Rechteckhöhe d i

11 Stabdiagramm und Histogramm h i x 1 x 8 Fall I: Stabdiagramm ist nominal skaliert, d.h. x 1,... x 8 sind Namen. Fall II: Stabdiagramm ist quantitativ skaliert, z. B. mit x 1 = 10, x 2 = 20,..., x 8 = 80 x i hi xi

12 Histogramme Häufigkeitstabelle: Größe der Schüler einer Klasse Nr. Größe x in cm h i Kastenhöhe Kastenhöhe 1 [150; 155[ 1 2 [155; 10[ [10; 15[ 2 4 [15; 170[ 5 5 [170; 175[ 1 Histogramm, bei konstanter Klassenbreite Größe in cm Histogramm, bei nicht konstanter Klassenbreite Größe in cm

13 MATHEMATIK MTA Lageparameter Lageparameter sind Werte, die die Häufigkeitsverteilung beschreiben. Hier sollen Modus, Median, Quantile und arithmetisches Mittel beschrieben werden Modus. Modus M o der Merkmalswert, der am häufigsten beobachtet wurde. Eignung: Jede Skala Bei klassifizierten (quantitativen) Häufigkeitsverteilungen: Modusklasse [x u m, x o m[ die Klasse mit der größten Klassenhäufigkeit h m bzw Klassendichte d m Graphische Ermittlung des Modus: Anzahl der Schüler h m h h m 1 m+1 Konstante Klassenbreite: x m u M o x m o M 0 = x u h m h m 1 m + (h m h m 1 ) + (h m h m+1 ) (xo m x u m) Nichtkonstante Klassenbreite: M o = x u m + d m d m 1 (d m d m 1 ) + (d m d m+1 ) (xo m x u m) Größe in cm

14 Modus M 0 diskrete Verteilung h i x i Klassifizierte Verteilung, konstante Klassenbreite M 0 = x u m + h i h m h m 1 (h m h m 1 ) + (h m h m+1 ) (xo m x u m) x i Klassifizierte Verteilung, nicht konstante Klassenbreite M 0 = x u m + d m d m 1 (d m d m 1 ) + (d m d m+1 ) (xo m x u m) d i x i

15 4.2. Median. MATHEMATIK MTA Median M e der Merkmalswert, der unter Berücksichtigung der Häufigkeiten in der Mitte steht. = Zentralwert. Eignung: Skala muß mindestens ordinalskaliert sein. Beispiele aus der Klassenstatistik: Merkmal Größe: stellen Sie sich der Größe nach hin. Die Größe, des in der Mitte Stehenden Schülers ist der Median. Merkmal Schlafbedürfnis: stellen Sie sich der Reihe nach hin, zuerst die mit wenig Schlafbed., dann die mit mittel und dann die mit viel. Der Median ist wieder der zum mittleren Schüler gehörige Merkmalswert. Median bei klassifizierten Häufigkeitsverteilungen: Der Median halbiert die Fläche des Häufigkeiten-Histogramms Median bei einer klassifizierten Verteilung: Medianklasse: hier [x u m, x o m[= [15, 170[ M e = x u m + n H 2 m 1 ( ) x o H m H m x u m m 1 = x u m + n 2 H m 1 h m ( ) x o m x u m

16 Diskrete Verteilung Median M e Fall: n ungerade H i i x i h i H i x i Fall: n gerade H i i x i h i H i

17 Median bei einer Klassifizierten Verteilung mit konstanter Klassenbreite Häufigkeit hi 8 Summenhäufigkeit H i Häufigkeit hi 8 Summenhäufigkeit H i

18 18 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE 4.. Quantile. Median M e ist gleich dem 50%-Quantil, die Hälfte der Merkmalswerte mit Vielfachheiten liegen davor und die anderen Hälfte danach. Analog definiert man: 25%-Quantil = 1-tes Quartil=x 25% 75%-Quantil = -tes Quartil= x 75% 10%-Quantil = x 10% 90%-Quantil = x 90% 4.4. Arithmetisches Mittel. nichtklassifizierte Häufigkeitsverteilung: x = 1 n (x 1h x ν h ν ) klassifizierte Häufigkeitsverteilung: x = 1 n (x 1h x νh ν ) mit Klassenmitten x i = xu i +xo i 2

19 Quantile Anzahl der Schüler Summenhäufigkeit H i % n=0,9 n 75% n=0.75n 8 n/2=,5 25% n=0,25n % Quantil M e 90% Quantil 75% Quantil Größe in cm

20 20 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE 5. Streuungsmaße Während die Lageparameter markante Merkmalswerte einer Verteilung angeben, beschreiben die Lageparameter den groben Verlauf der Verteilung. Hier sollen Spannweite, Varianz, Standardabweichung und der Variationskoeffizient behandelt werden Spannweite. Definition 5.1. Die Spannweite R ist die Differenz aus größtem und Kleinstem beobachteten Merkmalswert. Voraussetzung: metrische Skala, mindestens intervallskaliert Spannweite R = größter Merkmalswert kleinster Merkmalswert { x max x min falls nicht klassifiziert R = x o max x u min falls klassifiziert 5.2. Varianz und Standardabweichung. Voraussetzung: metrische Skala, mindestens intervallskaliert Die Grundidee ist, die Verteilung mit der Standard-Normalverteilung zu vergleichen. Gelättet sieht die Normalverteilung wie die Gaußsche Glockenkurve aus: y x Die Varianz σ 2 ist ein Maß für die Abweichung vom arithmetischen Mittel. Im Bild der Glockenkurve ist das Maximum am arithmetischen Mittel x und der Abstand der Wendepunkte vom Maximum ist die Standardabweichung σ. Varianz: σ 2 = 1 ν (x i x) 2 h i = 1 ν x 2 i h i x 2 n n Standardabweichung: i=1 σ = σ 2 i=1

21 Normalverteilung x

22 Standardabweichung Χ σ Χ Χ+σ 95 Prozent Χ±2 σ Χ+2 σ

23 5.. Variationskoeffizient. Voraussetzung: Verhältnisskala Der Variationskoeffizient mißt die relative Steuung. Variationskoefizient: MATHEMATIK MTA 12 2 V K = σ x 100% Der Variationskoeffizient ist nicht anschaulich interpretierbar.

24 Größe von Geschwistern (in cm) Nr. Familie Schwester Bruder Erstellen Sie ein Steudiagramm:. Korrelation und Regression a) Zu welcher Familie gehört der größte Junge / das kleinste Mädchen? b) Wie groß ist die Schwester des größen Jungen/ der Bruder des kleinsten Mädchens? c) Trage Sie die Gerade x = y ein, Was bedeutet wenn ein Punkt ober- bzw. unterhalb dieser Gerade liegt?

25 d) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle: Summe 1 Summe n Nr. Schwester Bruder (x i ) (y i ) x i y i x 2 i y 2 i e) Berechnen Sie die Standardabweichungen σ x und σ y sowie σ x ± x, σ y ± ȳ und σ xy := 1 n i x iy i xȳ.

26 f) Fertigen Sie für beide Merkmale: Größe Schwester(x) bzw. Größe Bruder (y) Histogramme an. Schwestern Χ σ Χ Χ+σ x Brüder Υ σ x Υ Υ+σ

27 g) Berechnen Sie die Regerssionsgeraden nach den Formeln: 1 n i B y = x iy i xȳ i x2 i = σ xy x2 σx 2 1 n A y := x 1 ( n i x iy i ) 1 n i x2 i ȳ i x2 i = ȳ B y x x2 1 n h) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r nach den Formeln: r = σ xy σ x σ y Interpretation der Regressionsgeraden: Die Regressionsgerade G y beschreibt die Abhängigkeit des Merkmals Y vom Merkmal X. Zu jedem Merkmalswert x i kann ein durchschnittlicher zugehöriger Merkmalswert y(x i ) = B y x i + A y berechnet werden. Analog mit G X. Interpretation des Korrelationskoeffizienten r: Der Korrelationskoeffizient mißt die Stärke des linearen Zusammenhangs der Merkmale X und Y. Es gilt: 1 r 1 Vorzeichen von r r > 0: Wird x groß, so wird auch y tendenziell groß. Der Zusammenhang der Merkmale ist positiv! r = +1: Die Datenpunkte liegen auf einer Geraden mit positiver Steigung. r = 0: Die Datenpunkte zeigen keinen linearen Zusammenhang. r < 0: Wird x groß, so wird y tendenziell kleiner. Der Zusammenhang der Merkmale ist negativ! r = 1: Die Datenpunkte liegen auf einer Geraden mit negativer Steigung. Stärke des Zusammenhangs r nahe Null: Der Zusammenhang der Merkmale ist klein, die Regressionsgeraden sind nahezu senkrecht zueindander. r nahe Eins: Der Zusammenhang der Merkmale ist groß. Die Regressionsgeraden fallen nahezu zusammen. Die Merkmale liegen fast auf der Regressionsgeraden.

28 7. Aufgaben Aufgabe 1: Gebe von folgenden Merkmalen die Skala an: Gehaltsgruppe Einkommen Autofarbe Kundenzufriedenheit Berufsbezeichnung Dienstgrad Mietpreis Klausurergebnis Cholesterinspiegel Wartezeiten von Patienten einer Arztpraxis am Uhrzeit des Behandlungsbeginns der Patienten dieser Praxis am Schultypen Anzahl von Kindern in Schulklassen Rauchgewohnheiten Schulnoten Benzinverbrauch von PKW s Körpertemperatur eines Patienten Lebensdauer Alter Geburtsdatum

29 Aufgabe 2: Im Schulungszentrum eines Medizinischen Labors wurde in Parallelkursen das Alter der Teilnehmer ermittelt. Folgende Häufigkeitstabellen haben sich dabei ergeben: Kurs I: Kurs II: Kurs III: Alter absolute Häufigkeit h i Alter absolute Häufigkeit h i Alter absolute Häufigkeit h i 9 12 (1) Bestimme in den drei Fällen die Anzahl der Teilnehmer n. (2) Erstelle in den drei Fällen die Häufigkeitstabellen. () In welchem Kurs ist die Anzahl der 2-jährigen am größten? (4) Was ist der prozentuale Anteil der 22-jährigen in jedem Kurs? Aufgabe : In einem medizinischen Forschungsinsitut mit 180 Beschäftigten findet man die folgende Altersstruktur: 5 bis 20 Jahre 59 über 20 bis 0 Jahre 1 über 0 bis 40 Jahre 9 über 40 bis 50 Jahre 4 über 50 bis 0 Jahre Erstelle die Häufigkeitstabelle. Aufgabe 4: Welche graphischen Darstellungen eignen sich für die Merkmale unserer Klassenstatistik? Geschlecht Blutgruppe Geburtsjahr Alter

30 Größe Schlafbedürfnis WBC HGB PLT

31 Aufgabe 5: h i i ]x u i, x o i ] h i H i 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] x i 5 ]4, 5] ]5, ] Aufgabe : hi i ]x u i, x o i ] h i H i 0 i x 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] 5 ]4, 5] ]5, ] Aufgabe 7: hi i ]x u i, x o i ] h i H i 0 i x 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] 5 ]4, 5] ]5, ]

32 Aufgabe 8: hi i ]x u i, x o i ] h i H i 0 i x 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] 5 ]4, 5] ]5, ] Aufgabe 9: hi i ]x u i, x o i ] h i H i 0 i x 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] 5 ]4, 5] ]5, ] Aufgabe 10: hi i ]x u i, x o i ] h i H i 0 i x 1 ]0, 1] 2 ]1, 2] ]2, ] 4 ], 4] 5 ]4, 5] ]5, ]