Wiederholung Statistik I. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8

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1 Wiederholung Statistik I Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8

2 Konstanten und Variablen Konstante: Merkmal hat nur eine Ausprägung Variable: Merkmal kann mehrere Ausprägungen annehmen Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.9

3 Skalenniveaus Nominalskala: Nur Informationen über Gleichheit/Ungleichkeit der Variablen Ordinalskala: Zusätzlich Informationen über Relationen, also größer/kleiner als andere Ausprägung Intervallskala: Zusätzlich Informationen über die Abstände der Messwerte Verhältnisskala: Besitzt einen unveränderlichen, interpretierbaren Nullpunkt. Aussagen über Verhältnisse möglich. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.10

4 Skalenniveaus: Zusammenfassung Skala Identität Ränge Abstände Nullpunkt Nominal ja nein nein nein Ordinal ja ja nein nein Intervall ja ja ja nein Verhältnis ja ja ja ja Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.11

5 Das Summenzeichen ist lediglich die verkürzte Schreibweise für eine Addition x i x 1 + x x n 1 + x n 1 und n als untere und obere Summationsgrenzen i als Summationsindex Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.12

6 Rechenregeln für die einfache Summe a = n a a x i = a x i (x i ± y i ) = x i ± y i (x i y i ) x i y i Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.13

7 Die Doppelsumme Wird benutzt, um Tabellen/Matritzen zu beschreiben 1 2 j r 1 x 11 x 12 x 1j x 1r x 1. 2 x 21 x 22 x 2j x 2r x 2. i x i1 x i2 x ij x ir x i. c x c1 x c2 x cj x cr x c. x.1 x.2 x.j x.c x.. Entspricht der Doppelsumme r c j=1 x ij = x.. = x 11 + x x ij + + x rc Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.14

8 Lage- und Streuungsmaße Dienen dazu, Verteilungen kompakt zu beschreiben Abhängig vom Skalenniveau des Merkmals Lagemaße: Zentrale Tendenz der Verteilung Streuungsmaße: Breite der Verteilung Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.15

9 Lagemaße: Modalwert/Modus Voraussetzung: Nominalskalenniveau Gibt an, welche Ausprägung am häufigsten vorkommt Beispiel: Modalwert der Religionszugehörigkeit Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.16

10 Beispiel: Modalwert Religion Häufigkeit Prozent 1 Katholisch ,8 2 Evangelisch, nicht Freikirchlich ,4 3 Evangelisch, Freikirchlich 56 1,8 4 Andere christl. Religion 57 1,8 5 Andere nicht-christl. Religion 99 3,2 6 Religionslos ,0 Gesamt ,0 Quelle: Allbus Modalwert=1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.17

11 Lagemaße: Median Voraussetzung: Ordinalskalenniveau Teilt die Verteilung in der Hälfte 50% der Fälle liegen unter, 50% über dem Median Beispiel: Median der Schulbildung Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.18

12 Beispiel: Median Schulabschluss Häufigkeit Prozent kum. Prozente 1 ohne Abschluss 95 3,0 3,0 2 Hauptschulabschluss ,3 48,3 3 Realschulabschluss ,7 76,0 4 Fachhochschulreife 199 6,4 82,4 5 Abitur ,4 99,7 6 Anderer Abschluss 8 0,3 100 Gesamt Quelle: Allbus Medianklasse=3 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.19

13 Lagemaße: Artihmetrisches Mittel Voraussetzung: Metrisches Skalenniveau Der Wert, den alle Befragten im Durchschnitt aufweisen Nachteil: Kann durch Ausreißerwerte verzerrt werden Beispiel: Mittelwert der Haushaltsgröße Berechnung des arithmetischen Mittels nach x = 1 n f(x i ) x i Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.20

14 Beispiel: Arithmetrisches Mittel Häufigkeit Prozente Kum. Prozente 1 Person ,49 18,49 2 Personen ,78 54,27 3 Personen ,35 73,62 4 Personen ,14 91,76 5 Personen 168 5,41 97,17 6 Personen 55 1,76 98,92 7 Personen 22 0,71 99,64 8 Personen 8 0,24 99,88 9 Personen 0 0,00 99,88 10 Personen 3 0,08 99,96 11 Personen 1 0,04 100,00 Gesamt ,00 Quelle: Allbus x = 1 n f(x i ) x i Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.21

15 Streuungsmaße Geben Auskunft über die Breite der Verteilung Ist die Maßzahl klein, liegen die Werte nahe um den Mittelpunkt Ist die Maßzahl groß, sind die Meßwerte über ein breites Spektrum verteilt Abhängig vom Skalenniveau Berechnung von unterschiedlichen Streuungsmaßen Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.22

16 Streuungsmaße: Index der Diversität D Voraussetzung: Nominalskalenniveau Wahrscheinlichkeit, daß zwei zufällig gezogene Analyseeinheiten unterschiedliche Ausprägungen aufweisen Berechung des Indexes der Diversität nach D = 1 k p(x i ) 2 Variiert zwischen 0 und k 1/k Standardisierung für Vergleichszwecke: IQV = D k 1/k Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.23

17 Streuungsmaße: Quartilsabstand QA Voraussetzung: Ordinalskalenniveau Differenz zwischen dem 1. Quartil (25%) und dem 3. Quartil (75%) Berechnung der Quartile analog zum Median: Q1 = U + 25 P u P Q1 b Q3 = U + 75 P u P Q3 b Berechnung des Quartilsabstandes nach QA = Q1 Q3 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.24

18 Streuungsmaße: Standardabweichung s Voraussetzung: Metrisches Skalenniveau Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz Berechnung der Varianz nach s 2 = n (x 1 x) 2 n = SAQ n SAQ ist die Summe der quadrierten Abweichungen von Mittelwert Berechnung der Standardabweichung nach s = s 2 = SAQ n Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.25