Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker

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Karl Bayer
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1 Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker

2 Modell Temperatur unter Last Anschluss in Grad Celsius in Grad Fahrenheit Corsair Force 10 6,6 79,9 SATA II Corsair P18 6,9 80,4 SATA II Crucial m4 7,1 80,8 SATA III a) Berechnen Sie getrennt nach Anschlusstyp für die in Grad Celsius angegebenen Betriebstemperaturen die Streuungsmaße Quartilsabstand, MAD, Varianz und Standardabweichung. b) Berechnen Sie zum Vergleich die Varianzen der in Grad Fahrenheit angegebenen Temperaturen für beide Anschlusstypen. c) Berechnen Sie für jeden der beiden Anschlusstypen die durchschnittliche Quadratsumme 1 Ni=1 N xi der in Grad Celsius ermittelten Beobachtungen.

3 a) Quartilsabstand: Differenz zwischen oberem und unterem Quartil Q = x 0.75 x 0.5 MAD: Medianer absoluter Abstand zum Median d MAD = z 0.5 mit z i = x i x 0.5 Varianz: "Mittlere" quadratische Abweichung vom Mittelwert sx = 1 Ni=1 N 1 (x i x) Standardabweichung: Wurzel der Varianz s x = sx

4 a) Quartilsabstand Betriebstemperaturen SATA-II-SSDs: x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x sortieren x (1) x () x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) Unteres Quartil x 0.5 : Np = = = x 0.5 = x ()+x (3) = = 5.5 Oberes Quartil x 0.75 : Np = = 6 = 6 x 0.75 = x (6)+x (7) = = 6.65 Q x = x 0.75 x 0.5 = = 1.15

5 a) Quartilsabstand Betriebstemperaturen SATA-III-SSDs: y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y sortieren y (1) y () y (3) y (4) y (5) y (6) y (7) Unteres Quartil ỹ 0.5 : Np = = 1.75 = ỹ 0.5 = x () = 6.4 Oberes Quartil ỹ 0.75 : Np = = 5.5 = 6 ỹ 0.75 = x (6) = 7.3 Q y = ỹ 0.75 ỹ 0.5 = = 0.9

6 a) MAD Betriebstemperaturen SATA-II-SSDs: Sortierte Daten: x (1) x () x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) Median x 0.5 = 6 (siehe Aufgabe ) Abweichungen vom Median x (i) x 0.5 : Absolute Abweichungen vom Median x (i) x 0.5 : Sortierte absolute Abweichungen vom Median: d x MAD = x (i) x = = 0.65

7 a) MAD Betriebstemperaturen SATA-III-SSDs: Sortierte Daten: y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y Median ỹ 0.5 = 6.9 (siehe Aufgabe ) Abweichungen vom Median y (i) ỹ 0.5 : Absolute Abweichungen vom Median y (i) ỹ 0.5 : Sortierte absolute Abweichungen vom Median: d y MAD = y (i) ỹ = 0.4

8 a) Varianz Betriebstemperaturen SATA-II-SSDs: x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x Mittelwert x = (siehe Aufgabe ) Abweichungen vom Mittelwert x i x: Quadrierte Abweichungen vom Mittelwert (x i x) : sx = 1 Ni=1 N 1 (x i x) 1 7 ( ) 0.496

9 a) Varianz Betriebstemperaturen SATA-III-SSDs: Berechnung analog s y Standardabweichung ist einfach Wurzel der Varianz, also s x = sx s y = sy

10 b) Varianzberechnung für Temperaturen in F: SATA-II-SSDs: s x x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x SATA-III-SSDs: s y y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y

11 b) Diese Varianzen sind bzw. 3.5-mal so groß wie die Varianzen der in Grad Celsius gemessenen Temperaturen. Die Umrechnung von Celsius in Fahrenheit erfolgt über T F = 1.8 T C + 3. Nach Vorlesung gilt für Linearkombinationen y = ax + b s y = a s x. Eigentlich müssten die Varianzen also um Faktor (1.8) = 3.4 ansteigen. Abweichung kommt daher zustande, dass Temperatur in Fahrenheit auf eine Nachkommastelle gerundet wurde.

12 c) Die Aufgabe lässt sich lösen, ohne dass man dafür die Daten noch mal betrachten muss. Verschiebungssatz nach Steiner: Nun ist und folglich d x = 1 N d x = 1 N (xi b) ( x b) für b = 0 d x = 1 N x i x (xi x) und sx = 1 N 1 (xi x) dx = N 1 N s x

13 c) Der Satz von Steiner lässt sich also wie folgt nutzen: dx = 1 N x i x N 1 N s x = 1 N x i x N 1 N s x = 1 N x i x N 1 N s x + x = 1 N Mit den Werten aus a) erhält man: x i SATA-II-SSDs: (6.015) = SATA-III-SSDs: (8.357) = 8.

14 Unter Studenten wurde eine Umfrage durchgeführt, welches Betriebssystem sie auf ihrem Desktop und welches sie auf ihrem Smartphone bevorzugen: Student Bevorzugtes Bevorzugtes Desktop-OS Smartphone-OS 1 Windows ios Windows WP7 3 Linux ios 4 Linux WP7 5 Windows Android 6 Windows ios 7 Linux Android 8 Windows WP7 9 Windows ios 10 Windows ios Erstellen Sie die entsprechende Kontingenztafel.

15 Kontingenztafeln sind Häufigkeitstabellen für Merkmalskombinationen. Zu ihrer Erstellung muss also lediglich die Häufigkeit jeder Kombination ausgezählt werden: Mobil Android ios WP7 Windows Desktop Linux MacOS Die Zeilen- und Spaltensummen der Tafel werden Randhäufigkeiten genannt.

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