4 Statistische Maßzahlen

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1 4 Statistische Maßzahlen 4.1 Maßzahlen der mittleren Lage 4.2 Weitere Maßzahlen der Lage 4.3 Maßzahlen der Streuung 4.4 Lineare Transformationen, Schiefemaße 4.5 Der Box Plot Ziel: Charakterisierung einer Stichprobe bzw. einer empirischen Verteilung (Häufigkeitsverteilung) durch Kennzahlen. StatBio 75

2 Statistische Maßzahlen dienen der Beurteilung einzelner Beobachtungswerte innerhalb der Gesamtheit aller Beobachtungswerte, repräsentieren eine empirische Verteilung durch wenige Zahlenwerte, ermöglichen einen einfachen und schnellen Vergleich von Stichproben bzw. empirischen Verteilungen. StatBio 76

3 Statistische Maßzahlen beschreiben drei Aspekte: Lage Wo liegen die Daten auf der verwendeten Skala? Wo liegt das Zentrum, die,,mitte? Auskunft geben Maßzahlen der Lage (Abschnitt 4.1 und 4.2). Streuung Wie weit streuen die Daten auf der verwendeten Skala? Wie weit sind die Daten vom Zentrum entfernt? Auskunft geben Maßzahlen der Streuung (Abschnitt 4.3). Form Wie verhalten sich die Daten links und rechts vom Zentrum? Wie weit weicht eine Häufigkeitsverteilung von der Symmetrie ab? Auskunft geben Maßzahlen der Schiefe (Abschnitt 4.4). StatBio 77

4 4.1 Maßzahlen der mittleren Lage Maße der zentralen Tendenz, Mittelwerte Ziel: Ein Mittelwert soll die Gesamtheit der Beobachtungen (Daten) möglichst gut repräsentieren. Modus (Modalwert) Definition: Der Modus ist die Merkmalsausprägung, die in der Stichprobe am häufigsten vorkommt. Als Lagemaß ist der Modus sinnvoll für ordinale Merkmale diskrete metrische Merkmale (Zähldaten) wenn er eindeutig ist! StatBio 78

5 Bemerkung: Da der Modus allein von der Häufigkeit abhängt, muss er nicht in der,,mitte einer Verteilung liegen. Beispiel (für ordinale Merkmale): Bei 100 Patienten ergaben sich folgende Therapieerfolge: Therapieerfolg Häufigkeit 1 = keine Heilung 10 2 = teilweise Heilung 25 3 = vollständige Heilung 65 Der Modus ist 3. Bemerkung: 1. Bei stetigen (und somit metrisch skalierten) Merkmalen macht der Modus im Allgemeinen keinen Sinn (alle Daten sind i.d.r. verschieden). StatBio 79

6 2. Im klassierten Fall ist der Modus definiert als die Klassenmitte der am häufigsten besetzten Klasse. Aber Vorsicht! Der Modus hängt von der Klassenwahl ab! (vgl. Aufgabe 2, Blatt 2) Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Der Modus ist nicht eindeutig (die Werte 3.9 und 4.0 kommen vier mal vor), im klassierten Fall der Tab. 3 3 ist die Klasse (3.80, 4.00] am dichtesten besetzt (nämlich 8 mal) und der Modus ist = 3.90 StatBio 80

7 Median (Zentralwert) Genauer: Empirischer Median, Stichproben Median (sample median) Voraussetzung: ordinalskalierte Merkmale Bezeichnung: med, med x Median: (Beobachtungs )Wert, der sich in der,,mittleren Position der geordneten Stichprobe befindet (bei geradem Stichprobenumfang gibt es zwei Beobachtungen in einer mittleren Position und es wird gemittelt). Zahlenbeispiel: med = 4 med = = 4.5 StatBio 81

8 Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Die geordnete Stichprobe lautet: In der mittleren Position sind die 10 te und die 11 te Ordnungsgröße, beide haben den Wert 3.9. Der Median ist dann das arithmetische Mittel dieser beiden Ordnungsgrößen: med = x (10) + x (11) 2 = = 3.9 Um allgemein den Median von Daten x 1,..., x n zu bestimmen, sind zunächst die Werte der Größe nach zu sortieren. Bezeichne x (1) x (2)... x (n) wieder die geordneten Daten. StatBio 82

9 Definition: Der empirische Median ist definiert durch med = { x( n+1 ( x( n 2 ), n ungerade ) 2 ) + x ( n 2 +1) /2, n gerade Hinweis: Der Median teilt die Stichprobe so, dass mindestens 50% der Daten kleiner oder gleich diesem Wert und mindestens 50% der Daten größer oder gleich diesem Wert sind. Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten): 11 Beobachtungen sind kleiner oder gleich dem Median, also 55%; 13 Beobachtungen sind größer oder gleich dem Median, also 65%. StatBio 83

10 Arithmetisches Mittel Mittelwert, Stichprobenmittel (sample mean) Voraussetzung: metrisch skaliertes Merkmal oder Merkmal ist binär und 0/1 kodiert. Bezeichnung: x, x n Definition: Der Mittelwert einer Stichprobe x 1,..., x n ist definiert durch n x = 1 n (x x n ) = 1 n i=1 x i Bemerkung: Selbstverständlich kommt es bei der Aufsummierung nicht auf die Reihenfolge an. So ändert sich der Wert des arithmetischen StatBio 84

11 Mittels nicht, wenn man z. B. die geordneten Daten aufsummiert: x = 1 n (x (1) x (n) ) Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) x 20 = 1 20 ( ) = 3.96 Bei einem binären Merkmal, dessen Ausprägungen mit 0 und 1 kodiert sind, ist das arithmetische Mittel identisch mit der relativen Häufigkeit der Ausprägung 1: x = Anzahl der Daten x i mit x i = 1 n 100 x gibt den prozentualen Anteil der Ausprägung 1 wieder. StatBio 85

12 Mittelwert oder Median? Median und arithmetisches Mittel haben unterschiedliche Eigenschaften: Der Median wird von Ausreißern kaum oder gar nicht beeinflusst (Ausreißer sind Beobachtungen die (augenfällig) weit entfernt von den übrigen Daten liegen.) Man sagt: Der Median ist robust. Das arithmetische Mittel reagiert hingegen äußerst sensibel auf Ausreißer (und kann daher zu sachlich verzerrten Aussagen führen). Aber Achtung! Robustheit ist eine Eigenschaft, kein Gütekriterium! Für schiefe Verteilungen ist der Median besser interpretierbar als das arithmetische Mittel. Bei (annähernd) symmetrischen Verteilungen ist das arithmetische Mittel dem Median vorzuziehen. StatBio 86

13 Der Median setzt lediglich ein ordinales Skalenniveau voraus, während das arithmetische Mittel metrisch skalierte Merkmale voraussetzt (Ausnahme: binäre, 0/1 kodierte Merkmale). Das arithmetische Mittel gibt einen rechnerischen Bezug zur Summe aller Beobachtungswerte, der Median gibt eher einen typischen Wert im Zentrum der Verteilung wieder. Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Lässt man die größte Beobachtung 4.6 weg (diese kommt drei mal vor), so erhält man x 17 = 3.85 med = x (9) = 3.9 Der Mittelwert hat also um 0.11 abgenommen, der Median hingegen bleibt in diesem Beispiel sogar unverändert. StatBio 87

14 Robustifizierung des arithmetischen Mittels: Weglassen der k kleinsten und größten Beobachtungen (k n/2). Das Ergebnis x n,k = 1 n 2 k n k j=k+1 x (j) (4.1) ist das sogenannte gestutzte oder getrimmte Mittel (trimmed mean). Beispiel: 5% getrimmtes Mittel (Weglassen der 5% kleinsten und 5% größten Beobachtungen) Bemerkung: In der Darstellung (4.1) werden alle Daten gleich gewichtet. Das Gewicht ist 1 n 2 k Es gibt aber auch andere Festlegungen. StatBio 88

15 4.2 Weitere Maßzahlen der Lage In diesem Abschnitt werden Maßzahlen vorgestellt, die häufig zur Beschreibung der nicht zentralen Lage der Daten verwendet werden. min Q 1 Q 2 = med Q 3 max Minimum: Kleinster Beobachtungswert x (1) = min(x 1,,..., x n ) Maximum: Größter Beobachtungswert x (n) = max(x 1,,..., x n ) Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) x (1) = 3.3, x (20) = 4.6 StatBio 89

16 Quartile Die Interpretation von Quartilen ist die Folgende: Das 1. Quartil (1st quartile) Q 1 teilt die Stichprobe so, dass ungefähr 25% der Daten darunter liegen. Das 2. Quartil (2nd quartile) Q 2 teilt die Stichprobe so, dass ungefähr 50% der Daten darunter liegen (entspricht dem Median) und das 3. Quartil (3rd quartile) Q 3 teilt die Stichprobe so, dass ungefähr 75% der Daten darunter liegen. Die Bestimmung von Quartilen geschieht wie folgt: 1. Quartil: Division von 1 (n+1) durch 4 ergibt n = k 1 + Rest Der Rest kann nur die Werte 0, 0.25, 0.5 und 0.75 annehmen (den Wert 0, wenn n + 1 durch 4 teilbar ist). StatBio 90

17 Definition: 1. Quartil Q 1 = x (k1 ) + Rest (x ) (k1 +1) x (k1 ) Im Fall Rest = 0 ist Q 1 = x (k1 ). Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Hier ist n = 20 und n = 21 4 = 5.25 = Also ist k 1 = 5, Rest = 0.25 und Q 1 = x (5) (x (6) x (5) ) = ( ) = 3.8 Von den 20 Daten liegen 4 Daten unterhalb des 1. Quartils, also etwa 20%, 7 Daten sind kleiner oder gleich dem 1. Quartil, also 35%. StatBio 91

18 2. Quartil: Division von 2 (n+1) durch 4 ergibt 2 (n + 1) 4 = n = k 2 + Rest Der Rest kann den Wert 0 annehmen, wenn n + 1 durch 2 teilbar ist. In diesem Fall ist k 2 = n Der Rest kann den Wert 0.5 annehmen, wenn n + 1 ungerade, also n gerade ist. In diesem Fall ist k 2 = n 2 StatBio 92

19 Definition: 2. Quartil Q 2 = x (k2 ) + Rest (x ) (k2 +1) x (k2 ) = { x( n+1 2 ), n ungerade 0.5 x ( n 2 ) x ( n 2 +1),n gerade = med 3. Quartil: Division von 3 (n+1) durch 4 ergibt 3 (n + 1) 4 = k 3 + Rest Der Rest kann nur die Werte 0, 0.25, 0.5 und 0.75 annehmen (den Wert 0, wenn 3 (n + 1) durch 4 teilbar ist). StatBio 93

20 Definition: 3. Quartil Q 3 = x (k3 ) + Rest (x ) (k3 +1) x (k3 ) Im Fall Rest = 0 ist Q 3 = x (k3 ). Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Wegen = ist k 3 = 15, Rest = 0.75 und Q 3 = x (15) (x (16) x (15) ) = ( ) = Von den 20 Daten sind 15 Daten kleiner als das 3. Quartil, also 75%. Bemerkung: Es gibt auch geringfügig andere Festlegungen von Quartilen. StatBio 94

21 4.3 Maßzahlen der Streuung Variabilitätsmaße, Dispersionsmaße (measures of dispersion) Lagemaße geben i. A. wenig Auskunft darüber, wie weit die Daten vom Zentrum entfernt liegen, wie stark also die Daten um das Zentrum variieren (,,streuen ). Zahlenbeispiel 4.1 (wird fortgesetzt): Für die beiden Stichproben 0, 0, 10, 10 und 0, 0, 2, 8, 10, 10 gilt (nachrechnen!): x = 5 Minimum = 0 Maximum = 10 Q 1 = 0 Q 2 (med) = 5 Q 3 = 10 StatBio 95

22 Spannweite (range) Voraussetzung: ordinal skalierte Merkmale Definition: Die Spannweite einer Stichprobe x 1,..., x n ist die Differenz zwischen größtem und kleinstem Beobachtungswert: Spannweite = x (n) x (1) Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Spannweite = = 1.3 Nachteile: Die Spannweite ist extrem ausreißerempfindlich berücksichtigt nicht die (Lage der) Daten, die StatBio 96

23 zwischen Minimum und Maximum liegen wird mit wachsendem Stichprobenumfang nie kleiner. Quartilsabstand (interquartile range, IQR) Dieses Streuungsmaß, auch Quartilsdifferenz (quartile deviation) genannt, ist eine Robustifizierung der Spannweite. Definition: Der Quartilsabstand einer Stichprobe x 1,..., x n ist die Differenz zwischen dem dritten und ersten Quartil: IQR = Q 3 Q 1 StatBio 97

24 Bemerkung: Der Quartilsabstand hat eine sehr anschauliche Interpretation: Er misst die Länge des Intervalls, das etwa die Hälfte der,,mittleren Beobachtungen enthält. Das Intervall [Q 1, Q 3 ] umfasst die Beobachtungen zwischen Q 1 Q 3. und Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) IQR = Q 3 Q 1 = = Im Intervall [3.8, 4.075] liegen die (mittleren) Beobachtungenwerte Dies sind 55% aller Beobachtungwerte. StatBio 98

25 Standardabweichung (standard deviation) Genauer: empirische Standardabweichung, Stichproben Standardabweichung Bezeichnungsweisen: s, s n Voraussetzung: metrisch skalierte Merkmale Definition: Die Standardabweichung von x 1,..., x n ist definiert durch s = s n = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 Die Standardabweichung betrachtet die Summe der quadratischen Abweichungen vom arithmetischen Mittel StatBio 99

26 nimmt Bezug zum Stichprobenumfang n zieht die Wurzel aus der Summe der quadratischen Abweichungen, damit das Streuungsmaß die gleiche Maßeinheit besitzt wie die Stichprobenwerte. Beachte: Nur die Abweichungen (also ohne Quadrat) zu nehmen, ist sinnlos. Es gilt stets n (x i x n ) = 0 i=1 (Aufgabe 3, Blatt 2). Fortsetzung von Zahlenbeispiel 4.1: Die Stichprobe 0, 0, 10, 10 ( x = 5) besitzt die Standardabweichung s 4 = = 5.77 StatBio 100

27 die Stichprobe 0, 0, 2, 8, 10, 10 ( x = 5) besitzt die Standardabweichung s 6 = = 1.90 Das Quadrat der (Stichproben )Standardabweichung s 2 = s 2 n = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 heißt (Stichproben )Varianz. Fortsetzung von Bsp. 2.1: (Plasma Daten) Varianz (in (g/dl) 2 ): s 2 = 1 (( ) ( ) 2) 19 = StatBio 101

28 Standardabweichung (in g/dl): s = = Bemerkungen: (i) Die Maßeinheit der Varianz ist das Quadrat der Maßeinheit der Stichprobenwerte. Die Varianz ist daher nur schwer interpretierbar. (ii) Standardabweichung bzw. Varianz werden von Ausreißern stark beeinflusst, sind also nicht robust. Beispiel: (Plasma Daten) Würde man die extreme Beobachtung 4.6 weglassen, so ergäbe sich eine Standardabweichung von eine deutliche Verringerung gegenüber StatBio 102

29 (iii) Im Gegensatz zum Quartilsabstand hat die Standardabweichung s keine anschauliche Interpretation (vgl. Bemerkung im Anschluss an Definition des Quartilsabstandes). Als Faustregel sollte man sich aber merken, dass für annähernd normalverteilte Stichproben das Intervall [ x s, x + s] ungefähr 2/3 aller Beobachtungen enthält; ungefähr die Hälfte liegt im Intervall [ x 0.67 s, x s] Was normalverteilt bedeutet, wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung erklärt. (iv) Möchte man Standardabweichungen von verschiedenen Stichproben vergleichen, so ist es häufig sinnvoll, diese in Bezug zu den arithmetischen Mitteln zu setzen (vgl. Aufgabe 9, Blatt 2). StatBio 103

30 4.4 Lineare Transformationen, Schiefemaße Wie wirkt sich eine Änderung der Maßeinheit auf Lage und Streuungsmaße aus? Beispiele: Stoffmenge: Gramm und Mol 1 mmol/l = 18mg/dl Länge: Nanometer (nm) und Meter (m) 1nm = 10 9 m Temperatur: Fahrenheit [F] und Celsius [C]: F = C Der Übergang zu einer anderen Maßeinheit lässt sich mathematisch durch eine Funktion (Transformation) beschreiben: StatBio 104

31 Im Fall der Stoffmenge y = 18 x (x mmol/l sind 18 x mg/dl) im Fall der Länge y = 10 9 x (x nm sind 10 9 x m) im Fall der Temperatur y = x (x Celsius sind x Fahrenheit). Diese Transformationen sind von der Form y = a + b x, b > 0 (die x Werte werden erst mit einen Faktor b > 0 gewichtet und dann um den Wert a verschoben). Solche Transformationen nennt man lineare Transformationen. StatBio 105

32 Wendet man eine lineare Transformation y = a + b x, b > 0 auf eine Stichprobe x 1,..., x n an, so erhält man die linear transformierten Daten y 1 = a + b x 1,..., y n = a + b x n Alle Lage und Streuungsmaße (außer die Varianz) sind dadurch charakterisiert, dass sie sich bei linearen Transformationen in einer bestimmten Weise mitverändern: StatBio 106

33 Lage y = a + b Lage x Streuung y = b Streuung x Für die vorgestellten Lagemaße gilt also ȳ = a + b x Q 1,y = a + b Q 1,x med y = a + b med x Q 3,y = a + b Q 3,x und für die vorgestellten Streuungmaße gilt s y = b s x IQR y = b IQR x StatBio 107

34 Selbst wenn Stichproben in Lage und Streuung übereinstimmen sollten, bleiben im Allgemeinen Unterschiede, die man unter dem Begriff Form zusammenfasst. Die Form der Verteilung ist das, was sich unter linearen Transformationen nicht ändert. Ein anschaulicher Aspekt der Form ist die Schiefe (skewness). Schiefe ist die Abweichung von der Symmetrie einer Häufigkeitsverteilung. Ausreißer bewirken, dass Mittelwert und Median voneinander abweichen. In diesen Fällen ist die Verteilung schief. StatBio 108

35 Rechtsschiefe (Linkssteilheit) in den Daten liegt vor, wenn mehr Beobachtungen unterhalb des Mittelwertes liegen als oberhalb, also der Median kleiner als der Mittelwert ist med x < x Die Plasma Daten aus Bsp. 2.1 zeigen eine leichte Rechtsschiefe (vgl. Abb. 3 3). Linksschiefe (Rechtssteilheit) in den Daten liegt vor, wenn mehr Beobachtungen oberhalb des Mittelwertes liegen als unterhalb, also der Median größer als der Mittelwert ist med x > x Im Fall x = med spricht man von Symmetrie. StatBio 109

36 Beachte: Unter linearen Transformationen bleibt a + b x, b > 0 (i) eine rechtsschiefe Verteilung (med x < x) rechtsschief: a + b med x < a + b x (ii) eine linksschiefe Verteilung (med x linksschief: > x) a + b med x > a + b x (iii) eine symmetrische Verteilung (med x = x) symmetrisch: a + b med x = a + b x StatBio 110

37 Schiefemaße Ein Schiefemaß ist ein Maß für die Ausgeprägtheit der Schiefe einer Verteilung, für den Grad der Asymmetrie. Konvention: Bei rechtsschiefer Verteilung wird die Maßzahl positiv bei linksschiefer Verteilung wird die Maßzahl negativ bei symmetrischer Verteilung wird die Maßzahl Null. Schiefemaß nach Yule Pearson: Schiefe YP = 3 ( x med) s StatBio 111

38 Schiefemaß 3. Moment: Schiefe M = 1 n n i=1 ( ) 3 xi x (4.2) s Fortsetzung von Bsp. 2.1 (Plasma Daten) Mit x = 3.96, med = 3.9 und s = erhält man Schiefe YP = 3 ( ) = 0.53 Schiefe M = 1 20 ( ) ( ) = Dies deutet auf eine Rechtsschiefe hin. StatBio 112

39 Da die Form einer Verteilung sich unter linearen Transformationen a + b x, b > 0, nicht ändert, ist es vernünftig, von einem Schiefemaß zu fordern, dass es sich ebenfalls unter linearen Transformationen nicht ändert (Aufgabe 2, Blatt 3). Bemerkung: Rechtsschiefe Verteilungen sind weit verbreitet. Logarithmus und Wurzeltransformation x 1,,..., x n x 1,..., x n x 1,,..., x n ln(x 1 ),..., ln(x n ) führen zu einer Abnahme der Rechtsschiefe. Dies ist oft ein Grund für ihre Anwendung: Man möchte nicht schiefe Häufigkeitsverteilungen erhalten. Dies ist vor allem im Hinblick auf viele Methoden der schließenden Statistik von Vorteil. StatBio 113

40 Standardisierte Stichproben Jede Stichprobe lässt sich mittels einer linearen Transformation a + b x, b > 0, in eine Stichprobe überführen, deren (mittlere) Lage 0 und Streuung 1 ist. Sei x 1,..., x n eine Stichprobe. Standardisierung A: Als Lagemaß sei das arithmetische Mittel x und als zugehöriges Streuungsmaß die Standardabweichung s x gewählt. Für die transformierten Beobachtungswerte z i = x i x s x = x + 1 x i }{{} s x }{{} s x =a =b i = 1,..., n, gilt dann z = 0, s z = 1 (Aufgabe 4, Blatt 3). Der standardisierte Wert z i wird als StatBio 114

41 z score (z Wert) des ursprünglichen Wertes x i bezeichnet. Er besitzt keine Maßeinheit und kennzeichnet, um das,,wievielfache der Streuung der Ursprungswert vom Zentrum ( x) entfernt ist. z 1,..., z n heißt standardisierte Stichprobe. Standardisierung B: (Robuste Variante) Als Lagemaß sei der Median med x und als zugehöriges Streuungsmaß der Quartilsabstand IQR x gewählt. Für die transformierten Beobachtungswerte z i = x i med x IQR x i = 1,..., n, gilt dann (Aufgabe 4, Blatt 3). = med x IQR x }{{} =a med z = 0, IQR z = x i } IQR {{ x} =b StatBio 115

42 4.5 Der Box Plot Genauer: Box and Whiskers Plot Er benutzt Quartile zur graphischen Darstellung von Lage und Streuung, gibt Hinweise auf Symmetrie oder Schiefe, und hebt potenzielle Ausreißer hervor. Ziel: Schneller visueller Vergleich verschiedener Stichproben. Ausgangspunkt dieser Darstellung (bei vertikaler Orientierung) bildet eine Box, deren untere und obere Begrenzungslinien durch das untere und obere Quartil festgelegt sind. Die Länge der Box ist also der Quartilsabstand. Innerhalb der Box wird der Median durch eine horizontale Linie markiert. Die Whiskers (vertikale Linienstücke) werden unterhalb und oberhalb der Box abgetragen. Die StatBio 116

43 Linienendpunkte sind durch die größte und kleinste Beobachtung definiert. Wenn allerdings die Beobachtungen vom oberen bzw. unteren Rand der Box zu weit entfernt liegen, nämlich mehr als 1.5 (Q 3 Q 1 ), endet die Linie bei dem höchsten bzw. niedrigsten Beobachtungswert, der gerade noch innerhalb dieses Bereiches liegt (man spricht von der größten,,normalen und kleinsten,,normalen Beobachtung). Alle Messwerte, die extremer sind, werden einzeln, meistens durch Sterne, gekennzeichnet. Dies sind dann potenzielle Ausreißer. Die Zahl 1.5 ist so gewählt, dass für,,normale Stichproben Folgendes gilt: Etwa 99% der Daten liegen im Intervall [Q IQR, Q IQR] Ist der Boxplot unsymmetrisch, so zeigt dieser eine Schiefe in den Daten. StatBio 117

44 * Q 3 größte,,normale Beobachtung ( Q IQR) Q 2 Q 1 kleinste,,normale Beobachtung ( Q IQR) * * extreme Beobachtung Abbildung 4 1 Aufbau eines Box Plots. Man beachte, dass alle im Box Plot verwendeten Kennzahlen relativ robust gegenüber Ausreißern sind, denen damit praktisch die Möglichkeit genommen wird, sich hinter bereits beeinflussten Kennzahlen zu verstecken (,,masking ). StatBio 118

45 Abbildung 4 2 Box Plot der Plasma Daten StatBio 119

46 Für die Plasma Daten ergibt sich wegen 1.5 IQR = = das Intervall [Q IQR, Q IQR] = [ , ] = [3.338, 4.487]. Die kleinste Beobachtung 3.3 (Beobachtungsnummer 2) liegt nicht in diesem Intervall und wird als potenzieller Ausreißer gekennzeichnet. Der untere Whisker endet somit bei bei der kleinsten,,normalen Beobachtung 3.6. Die größte Beobachtung (Beobachtungsnummer 3, 8, 16) beträgt 4.6 und liegt nicht in diesem Intervall. Diese Beobachtung wird daher als potenzieller Ausreißer gekennzeichnet. Die größte,,normale StatBio 120

47 Beobachtung ist dann 4.1, wo auch der obere Whisker endet. Der Median von 3.9 liegt näher an 4.1 (größte normale Beobachtung) als an 3.6 (kleinste normale Beobachtung). Dies deutet auf eine Linkssschiefe hin. Betrachtet man den Median nur in Bezug zur Box, so zeigt sich eine leichte Rechtsschiefe (der Median liegt etwas näher an als an 4.487). StatBio 121