SozialwissenschaftlerInnen II

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1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1

2 Varianzanalyse Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.122

3 Grundsätzliches zur Varianzanalyse Überprüft die Wirkung einer oder mehrerer unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable Eine unabhängige Variable: Einfaktorielle Varianzanalyse Mehrere unabhängige Variablen: Mehrfaktorielle Varianzanalyse Grundfrage: Welcher Anteil der Variation der abhängigen Variable wird durch die unabhängigen(n) Variable(n) verursacht? Voraussetzungen: Unabhängige Variablen: min. Nominalskalenniveau Abhängige Variablen: metrisches Skalenniveau Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.123

4 Begriffsbestimmungen Abhängige Variable bezieht sich auf die Variable, deren Varianz erklärt werden soll. Sie ist die eigentlich interessierende Variable Unabhängige Variable meint die Variable, die benutzt wird, um die Varianz zu erklären. Sie übt, so das Postulat der Varianzanalyse, einen Einfluss auf die unabhängige Variable aus Faktor ist ein anderes Wort für unabhängige Variablen in der Varianzanalyse Faktorstufen sind die unterschiedlichen Ausprägungen der einzelnen Faktoren. Wenn der Faktor Religion vier Ausprägungen (christlich, moslemisch, religionslos, andere) annehmen kann, hat der Faktor vier Faktorstufen Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.124

5 Problemstellung: Beispiel Beispiel: Es soll überprüft werden, ob die Klassenzugehörigkeit sich auf die Einstellung zum marktwirtschaftlichen System auswirkt. 15 Personen wurden befragt. Kann von der Stichprobe auf die Population geschlossen werden? Und wie stark ist der Zusammenhang? Arbeiter Bauern Kapitalisten ȳ i 1,6 2,6 4,2 Quelle: Hypothetische Daten. ȳ gesamt 2,8 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.125

6 Allgemeine Matrix-Darstellung Faktorstufen 1 2 i k y 11 y 21 y i1 y k1 y 12 y 22 y i2 y k y 24.. y 1n y 2n y in y kn n 1 n 2 y 1j y 2j n i y ij n k y kj j=1 j=1 j=1 j=1 ȳ i 1 n 1 n 1 j=1 y 1j 1 n 2 n 2 j=1 ȳ ges 1 n y 2j 1 n i k n i i=1 j=1 n i y ij j=1 y ij 1 n k n k j=1 y kj Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.126

7 Das Prinzip der Varianzzerlegung Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.127

8 Die Varianzzerlegung Um zu überprüfen, ob es einen signifikanten Einfluss der Faktoren auf die abhängige Variable gibt, wird im Rahmen der Varianzanalyse wie folgt vorgegangen: Ermittlung der gesamten Abweichungen: Wie stark weichen die individuellen Werte vom Gesamtmittelwert ab? (SAQ ges ) Ermittlung der Varianz zwischen den Gruppen: Wie stark weichen die Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert ab? (SAQ zwi ) Ermittlung der Varianz innerhalb der Gruppen: Wie stark weichen die individuellen Werte von Gruppenmittelwert ab? (SAQ inh ) Hierbei gilt: SAQ ges = SAQ zwi + SAQ inh Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.128

9 Die Gesamtvarianz Grundsätzlich ist die Varianz definiert als die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert (SAQ), dividiert durch n-1 (df). Demnach ist die Gesamtvarianz s 2 ges: s 2 ges = SAQ ges n ges 1 Die Summe der quadrierten Abweichungen wird berechnet als SAQ ges = wodurch s 2 ges sich ergibt als k i=1 n i j=1 (y ij ȳ) 2 s 2 ges = k i=1 ni j=1 (y ij ȳ) 2 n ges 1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.129

10 Gesamtvarianz: Allgemein Faktorstufen 1 2 i k (y 11 ȳ) 2 (y 21 ȳ) 2 (y i1 ȳ) 2 (y k1 ȳ) 2 (y 12 ȳ) 2 (y 22 ȳ) 2 (y i2 ȳ) 2 (y k1 ȳ) (y 24 ȳ) 2.. (y 1n ȳ) 2 (y 2n ȳ) 2 (y in ȳ) 2 (y kn ȳ) 2 n1 j=1 (y 1j ȳ) 2 n2 j=1 (y 2j ȳ) 2 ni j=1 (y ij ȳ) 2 nk j=1 (y kj ȳ) 2 SAQ ges = k n i (y ij ȳ) 2 i=1 j=1 s 2 ges = SAQ ges n ges 1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.130

11 Gesamtvarianz: Beispiel Arbeiter Bauern Kapitalisten (1 2, 8) 2 = 3, 24 (3 2.8) 2 = 0, 04 (4 2, 8) 2 = 1, 44 3,24 0,64 4,84 0,04 3,24 0,04 0,64 0,04 1,44 3,24 1,44 4,84 10,40 5,40 12,60 28,40 ȳ ges 2,8 SAQ ges = k n i (y ij ȳ) 2 = 10, , , 40 = 28, 40 i=1 j=1 s 2 ges = SAQ ges n ges 1 = 28, = 2, 03 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.131

12 Die Zwischengruppenvarianz Hinter der Zwischengruppenvarianz steht die Überlegung, wie stark die einzelnen Befragten vom Gesamtmittelwert abweichen würden, wenn die Personen sich innerhalb einer Gruppe nicht voneinander unterscheiden würden: s 2 zwi = SAQ zwi k 1 Wobei die Summe der quadrierten Abweichungen gleich SAQ zwi = k i=1 n i (ȳ i ȳ) 2 und damit s 2 zwi s 2 zwi = k i=1 n i(ȳ i ȳ) 2 k 1Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.132

13 Zwischengruppenvarianz: Allgemein Faktorstufen 1 2 i k (ȳ 1 ȳ) 2 (ȳ 2 ȳ) 2 (ȳ i ȳ) 2 (ȳ k ȳ) 2 (ȳ 1 ȳ) 2 (ȳ 2 ȳ) 2 (ȳ i ȳ) 2 (ȳ k ȳ) (ȳ 2 ȳ) 2.. (ȳ 1 ȳ) 2 (ȳ 2 ȳ) 2 (ȳ i ȳ) 2 (ȳ k ȳ) 2 n1 (ȳ 1 ȳ) 2 n 2 (ȳ 2 ȳ) 2 n i (ȳ i ȳ) 2 n k (ȳ k ȳ) 2 SAQ zwi = k n i (ȳ i ȳ) 2 i=1 s 2 zwi = SAQ zwi k 1 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.133

14 Zwischengruppenvarianz: Beispiel Arbeiter Bauern Kapitalisten (1, 6 2, 8) 2 = 1, 44 (2, 6 2.8) 2 = 0, 04 (4, 2 2, 8) 2 = 1, 96 1,44 0,04 1,96 1,44 0,04 1,96 1,44 0,04 1,96 1,44 0,04 1,96 7,2 0,2 9,80 17,20 SAQ zwi = k n i (ȳ i ȳ) 2 = (5 1, 44) + (5 0, 04) + (5 1, 96) = 17, 20 i=1 s 2 zwi = SAQ zwi k 1 = 17, = 8, 6 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.134

15 Die Binnengruppenvarianz Natürlich sind die untersuchten Merkmale üblicherweise in einer Gruppe nicht konstant, so dass auch innerhalb der Gruppe eine Varianz besteht. Es handelt sich hierbei um denjenigen Anteil der Streuung, der nicht durch die Faktoren erklärt werden kann. s 2 inh = SAQ inh n k Wobei die Summe der quadrierten Abweichungen gleich SAQ inh = k i=1 n i j=1 (y ij ȳ i ) 2 und damit s 2 inh = k i=1 ni j=1 (y ij ȳ i ) 2 n k Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.135

16 Binnengruppenvarianz: Allgemein Faktorstufen 1 2 i k (y 11 ȳ 1 ) 2 (y 21 ȳ 2 ) 2 (y i1 ȳ i ) 2 (y k1 ȳ k ) 2 (y 12 ȳ 1 ) 2 (y 22 ȳ 2 ) 2 (y i2 ȳ i ) 2 (y k1 ȳ k ) (y 24 ȳ 2 ) 2.. (y 1n ȳ 1 ) 2 (y 2n ȳ 2 ) 2 (y in ȳ i ) 2 (y kn ȳ k ) 2 n1 j=1 (y 1j ȳ 1 ) 2 n2 j=1 (y 2j ȳ 2 ) 2 ni j=1 (y ij ȳ i ) 2 nk j=1 (y kj ȳ k ) 2 SAQ inh = k n i (y ij ȳ i ) 2 i=1 j=1 s 2 inh = SAQ inh n k Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.136

17 Binnengruppenvarianz: Beispiel Arbeiter Bauern Kapitalisten (1 1, 6) 2 = 0, 36 (3 2, 6) 2 = 0, 16 (4 4, 2) 2 = 0, 04 0,36 0,36 0,64 1,96 2,56 1,44 0,16 0,16 0,04 0,36 1,96 0,64 3,20 5,20 2,80 11,20 SAQ inh = k n i (y ij ȳ i ) 2 = 3, , , 80 = 11, 2 i=1 j=1 s 2 inh = SAQ inh n k = 11, = 0, 9 3 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.137

18 Die Stärke des Zusammenhangs Nachdem nun die Gesamtvarianz (s 2 ges) in eine erklärte, durch die unabhängige Variable verursachte Varianz (s 2 zwi ) und eine unerklärte, zufällige Varianz (s 2 inh ) aufgeteilt wurde, kann eine Aussage darüber gemacht werden, wie stark der Zusammenhang zwischen abhängiger und unabhängiger Variable ist. Hierzu dient das P RE-Maß η 2 : η 2 = erklärte Abweichung Gesamtabweichung = SAQ zwi SAQ ges in unserem hypothetischen Beispiel ist η 2 = 17, 2 28, 4 = 0, 606 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.138

19 Varianzanalyse und Hypothesentest Noch unbeantwortet ist die Frage, ob der Zusammenhang bzw. Unterschied auf die Grundgesamtheit verallgemeinert werden kann, also signifikant ist. Formal testet die Varianzanalyse folgende Nullhypothese: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 H 1 : nicht alle Mittelwerte µ i sind gleich Als Prüfgröße dient F, das sich als Verhältnis der erklärten Varianz zur zufälligen Varianz ergibt: F emp = s2 zwi s 2 inh mit Zähler-df = Freiheitsgrade der Zwischengruppenvarianz = k-1 Nenner-df =Freiheitsgrade der Binnenvarianz = n-k Ist F emp > F krit, kann die H 0 verworfen werden. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.139

20 Erweiterungen der Varianzanalyse Mehrfaktorielle ANOVA Versucht, die Varianz der unabhängigen Variable mit mehreren abhängigen Variablen (Faktoren) zu erklären. Multiple Classification Analysis Gibt an, welche der Faktorstufen sich signifikant unterscheiden. Der F-Test besagt schließlich nur, dass zwischen mindestens zwei Fakorestufen signifikante Unterschiede bestehen, nicht jedoch, zwischen welchen. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.140

21 Multiple Classification Analysis oneway markt by klasse /post scheffe. Einfaktoriell MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Gesamt ANOVA Quadrats Mittel der umme df Quadrate F Signifikanz 17, ,600 9,214,004 11,200 12,933 28, Post-Hoc-Tests Mehrfachvergleiche Abhängige Variable: MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft Scheffé-Prozedur (I) KLASSE Klassenzugehörigkeit 1 Arbeiter 2 Bauer 3 Kapitalist (J) KLASSE Klassenzugehörigkeit 2 Bauer 3 Kapitalist 1 Arbeiter 3 Kapitalist 1 Arbeiter 2 Bauer *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe,050 signifikant. Homogene Untergruppen Scheffé-Prozedur a MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft KLASSE Klassenzugehörigkeit 1 Arbeiter 2 Bauer 3 Kapitalist Signifikanz Mittlere Standardf 95%-Konfidenzintervall Differenz (I-J) ehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze -1,0000,6110,299-2,7032,7032-2,6000*,6110,004-4,3032 -,8968 1,0000,6110,299 -,7032 2,7032-1,6000,6110,066-3,3032,1032 2,6000*,6110,004,8968 4,3032 1,6000,6110,066 -,1032 3,3032 Untergruppe für Alpha =,050. N , ,6000 2, ,2000,299,066 Die Mittelwerte für die in homogenen Untergruppen befindlichen Gruppen werden angezeigt. a. Verwendet ein harmonisches Mittel für Stichprobengröße = 5,000. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.141

22 Mehrfaktorielle Varianzanalyse anova markt by klasse (1,3) religion(1,2) /met exp /sta mca. ANOVA MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft Haupteffekte 2-Weg-Wech selwirkungen Modell Residuen Insgesamt (Kombiniert) KLASSE Klassenzugehörigkeit RELIGION Religion KLASSE Klassenzugehörigkeit * RELIGION Religion ANOVA a Experimentelle Methode Quadrats Mittel der umme df Quadrate F Sig. 25, ,550 28,856,000 8, ,375 14,766,001 8, ,450 28,519,000 8,333E ,167E-02,141,871 25, ,147 17,370,000 2,667 9,296 28, ,029 a. MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft /nach KLASSE Klassenzugehörigkeit, RELIGION Religion MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft Faktorauswertung a KLASSE Klassenzugehörigkeit RELIGION Religion Eta a. MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft /nach KLASSE Klassenzugehörigkeit, RELIGION Religion Beta Korrigiert nach Faktoren,778,588,771,579 Güte der Anpassung für das Modell MARKT Einstellung zur Marktwirtschaft nach KLASSE Klassenzugehörigkeit, RELIGION Religion R R-Quadrat,950,903 Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.142