Beispiel 1: Zweifache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben

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1 Beispiel 1: Zweifache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben Es wurden die Körpergrößen von 3 Versuchspersonen, sowie Alter und Geschlecht erhoben. (Jeweils Größen pro Faktorstufenkombination). (a) Haben das Geschlecht und das Alter einen Einfluss auf die Körpergröße? Gibt es Wechselwirkungen? ( =.) (b) Berechne die Parameter, a j, b l und c des Modells der Varianzanalyse, sowie die Residuen für die jeweils erste Person aus jeder Bedingung. (c) Zeichne ein Interaktionsdiagramm mit den Mittelwerten und versuche es zu interpretieren. Mann Jung 187, 18, 186, 179, 179 Mittel 183, 18, 183, 179, 178 alt 18, 181, 179, 174, 17 Frau 17, 167, 17, 171, , 169, 171, 17, , 169, 171, 168, 16 Lösung Faktor B: Alter (Inde l) Faktor A: Geschlecht (Inde j) Jung 187, 18, 186, 17, 167, 17, 179, , 169 i i j = 1767 Mittel 183, 18, 183, 174, 169, 171, 179, , 167 i i j = 179 alt 18, 181, 179, 16, 169, 171, 174, , 16 i i j = 176 i l 71 4 i j l = i j l = 9788 Faktor A: Faktor B: Personen: Mittelwerte 1...j...k (k=) 1...l...m (m=3) 1...i...n (n=) Jung Mittel Alt

2 (a) Zweifaktorielle Varianzanalyse für unabhängige Stichproben Voraussetzungen überprüfen: Metrische abhängige Variable (Körpergröße) gegeben Unabhängige Stichproben (Geschlecht = unabhängig, Alter = unabhängig) gegeben Normalverteilung in allen Stichproben: keine offensichtlichen Ausreißer gegeben Homogenität der Varianzen (mittel Cochran-Test) gegeben (siehe unten) Untersuchbare Hypothesen: Modell der VA: X = + a j + b l + c + (1) H (1) : a j = für alle Stufen A j (j = 1..k). d.h. es gibt keinen Effekt des Faktors A H (1) 1 : Es gibt eine Stufe des Faktors, die einen signifikanten Effekt hat. () H () : b l = für alle Stufen B l (l = 1..m). d.h. es gibt keinen Effekt des Faktors B H () 1 : Es gibt eine Stufe des Faktors, die einen signifikanten Effekt hat. (3) H (3) : c = für alle Kombinationen A j B l d.h. es gibt keine Wechselwirkungen zwischen Faktor A und B H (3) 1 : Es gibt eine Stufenkombination, die einen signifikanten Effekt hat. Alle ungerichtet!! oder (alternativ): (1) () (3)

3 Überprüfung der Gleichheit der Varianzen mittels Cochran-Test: Varianzen: Jung Mittel Alt sma 14.3 C.7 (df = n - 1 = 4, Anzahl der Varianzen = 6) C krit =.48 s 64. C.7 C.48 Varianzen sind homogen krit Berechnung der Zweifachen Varianzanalyse basiert wieder auf Varianzzerlegungen: QT = QZA + QZB + Q(AB) + QT K K nkm (K: Formelteil, der auch für andere QS benötigt wird) K QT 9788 K il QZA nm j K Für alle Gruppen A (j): über Bedingungen B und Personen Anzahl Bedingungen B Personen 71 QZA K QZB l ij nk K Für alle Gruppen B (l): über Bedingungen Aund Personen Anzahl Bedingungen A Personen 1767 QZB K i n Quadrat alle Gruppen A B (j, l): über Personen Anzahl Personen Q ( AB) QT QZA QZB.467

4 Tafel der Varianzanalyse: Quelle Quadratsumme df Varianzschätzung QT QT K N-1 = 9 QZA QZA il j nm k-1 K = 1 ˆ A QZA k 1 1 QZB QZB l ij nk m-1 K = ˆ B QZB m Q(AB) Q ( AB) QT QZA QZB.467 (k-1)(m-1) = ˆ AB Q( AB) ( k 1)( m 1) i n 6.8 N m*k = ( n 1) km 4 ˆ 1.7 Überprüfung der Hypothesen durch F-Tests: (1) ˆ (1) F A F ˆ krit (df 1 = 1, df = 4, einseitig) = 4.6 signifikant () ˆ () F B F ˆ krit (df 1 =, df = 4, einseitig) = 3.4 signifikant (3) ˆ (3) F AB. 19 F ˆ krit (df 1 =, df = 4, einseitig) = 3.4 nicht signifikant (F-Test immer einseitig, da nur große Werte auf Mittelwertsunterschiede hindeuten!) Beide Faktoren haben eine signifikante Wirkung, aber es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Faktoren!

5 (b) Modell der VA: X = + a j + b l + c + X ij a j b l c ij abhängige Variable (Messwert X der i-ten Person in der j-ten und l-ten Bedingung) Gesamtmittelwert (über alle Personen und Bedingungen) Haupteffekt der j-ten Bedingung von Faktor A Haupteffekt der l-ten Bedingung von Faktor B Wechselwirkungseffekt der Kombination A j B j Fehler = Residuum ˆ aˆ j aˆ aˆ l Mann Frau jung mittel alt. j... l Mittelwerte: Jung Mittel Alt j... l... Mann jung Mannmittel Mannalt Frau jung Frau mittel Frau alt

6 Berechnung der Residuen für die jeweils 1. Person in jeder Bedingung: ˆ. (Differenz: Messwert der Person Mittelwert der jeweiligen Bedingung) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1Mann jung 1Mannmittel 1Mannalt 1Frau jung 1Frau mittel 1Frau alt Berechnung der standardisierten Residuen ~ ˆ ˆ ˆ Varianz der Residuen (über alle Bedingungen) = Varianzschätzung innerhalb ~ Für 1. Person (in jung- und Mann-Bedingung): Messwerte Geschätze Werte Residuen Standardisierte Residuen jung jung 18,6 17,8 jung 4,4 4, jung 1,3 1, ,6 17,8 -,6-3,8 -,18-1, ,6 17,8 3,4 1, 1,4, ,6 17,8-3,6, -1,1, ,6 17,8-3,6-1,8-1,1 -, mittel mittel 181,6 17, mittel 1,4 3,8 mittel,43 1, ,6 17, 3,4-1, 1,4 -, ,6 17, 1,4,8,43, ,6 17, -,6 -, -,79 -, ,6 17, -3,6-3, -1,1 -,98 alt alt 178, 167 alt 3,8 - alt 1,16 -, , 167,8,86, , 167,8 4,4 1, , 167-4, 1-1,8, , 167-3, - -,98-1,3

7 (c) Zeichnen eines Interaktionsdiagrammes: Die Gruppenmittelwerte werden in ein Diagramm eingetragen - ein Faktor ist auf der X-Achse aufgetragen - ein Faktor innerhalb des Diagramms Mittelwerte: Jung Mittel Alt (1) Faktor B (Alter) auf der X-Achse, Faktor A (Geschlecht) innerhalb des Diagramms: () Faktor A (Geschlecht) auf der X-Achse, Faktor B (Alter) innerhalb des Diagramms: Haupteffekt von Faktor A (Geschlecht): Großer Abstand der Linien in Diagramm (1) und starkes Gefälle der Linien in Diagramm () sprechen für einen signifikanten Haupteffekt des Geschlechts: Frauen sind generell (über alle Altersbedingungen) kleiner als Männer. Haupteffekt von Faktor B (Alter): Abstand der Linien in Diagramm () bzw. Gefälle der Linien in der Bedingung alt in Diagramm (1) lassen einen signifikanten Unterschied zwischen den Alters-Bedingungen vermutet. Ob dieser Unterschied signifikant ist, prüft der F-Test. Generell kann man sagen: Je älter man ist, desto kleiner ist man. Wechselwirkung: Die Linien verlaufen in beiden Diagrammen parallel Es kann keine signifikante Wechselwirkung zwischen den beiden Faktoren angenommen werden.