Einführung in Quantitative Methoden

Transkript

1 Einführung in Quantitative Methoden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr 4. Juni 2014 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 1/35

2 Ein- und Zweiseitige Hypothesen H 0 : p = 1 4 gegenüber Einseitige (= gerichtete) Hypothese H 1 : p > 1 4 oder H 1 : p < 1 4 versus Zweiseitige Hypothese H 1 : p 1 4 Beim einseitigen Testen ist die Kontrolle des α-fehlers nur in eine Richtung notwendig, beim zweiseitigen Testen ist diese Kontrolle in beide Richtungen erforderlich Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 2/35

3 Zweiseitiges Testen α = 0.05 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 3/35

4 Einseitiges vs. zweiseitiges Testen Die Wahl der Alternativhypothese muss a priori, d.h. ohne Berücksichtigung der aktuellen Daten aufgrund inhaltlicher Kriterien erfolgen Insbesondere die Wahl einer der einseitigen Alternativen muss auf einer von den aktuellen Daten unabhängigen Vorinformation beruhen Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 4/35

5 Beispiel: Binomialtest mit NV-Approximation Wenn Voraussetzungen für NV-Approximation der BV gegeben; µ = np, σ 2 = np(1 p) Standardnormalverteilte Teststatistik: Z = K µ σ = K np 0 N(0, 1) np0 (1 p 0 ) Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 5/35

6 NV-Approximation der Binomialverteilung: Kontinuitätskorrektur Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 6/35

7 Beispiel Einseitiges Testen Eine Psychologin vermutet, dass weniger als 50% der Frauen, die eine Diät machen, übergewichtig sind. H 0 : p = 0.50; H 1 : p < 0.50; α = 0.05 Verwerfungsbereich: Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 7/35

8 In einer von ihr erhobenen Stichprobe von n = 200 Frauen, die derzeit Diät aus Figurgründen halten, sind 87 übergewichtig. µ = np = 100, k = 87 z = = 1.77 Tab. 1b: P(Z 1.77) = < α = 0.05 H 0 verwerfen Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 8/35

9 Einseitiges Testen Verwerfung der H 0 zugunsten der H 1 mit einem Risiko für einen Fehler erster Art von Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 9/35

10 Einseitiges Testen Angenommen, die Psychologin hätte die folgenden Hypothesen formuliert: H 0 : p = 0.5; H 1 : p > 0.5 Verwerfungsbereich: Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 10/35

11 z = 1.77 liegt nicht im Verwerfungsbereich Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 11/35

12 Beispiel Zweiseitiges Testen Angenommen, die Psychologin hätte keine Vermutung in eine bestimmte Richtung gehabt und die H 1 ungerichtet formuliert: H 0 : p = 0.50; H 1 : p 0.50; α = 0.05 Kontrolle des α-fehlers in beide Richtungen notwendig P(Z 1.77) + P(Z 1.77) = = > α = 0.05; Ergebnis liegt noch im Annahmebereich der H 0 Oder äquivalent: nur eine Seite betrachten: α 2 = > 0.025; Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 12/35

13 Fortsetzung Es können bei denselben Daten unterschiedliche Entscheidungen resultieren. Beim einseitigen Testen kommt man eher zu einer Verwerfung der H 0 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 13/35

14 Einseitiges vs. Zweiseitiges Testen Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 14/35

15 p-wert In Statistik-Softwareprodukten wird zusammen mit der Teststatistik eines statistischen Tests ein sogenannter p-wert ausgegeben Der p-wert gibt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art an, also die Wahrscheinlichkeit, eine gültige H 0 zu verwerfen aufgrund der beobachteten Daten Vorteil des p-wertes liegt darin, dass bei der Entscheidung keine Tabelle der Verteilung der Teststatistik benötigt wird Wird der zweiseitige p-wert angegeben und die H 1 ist gerichtet, muss man den p-wert durch 2 dividieren und mit α vergleichen. Bei einseitigen Hypothesen ist die zusätzliche Überprüfung notwendig, ob die Teststatistik tatsächlich im Verwerfungsbereich der H 0 liegt Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 15/35

16 p-wert SPSS-Beispiel in Datei binom.sav, α = 0.05, B(11, 0.5), x = 9 H 0 : p = 0.5, H 1 : p 0.5, Signifikanz (zweiseitig!) = > α = 0.05 H 0 wird beibehalten Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 16/35

17 p-wert H 0 : p = 0.5, H 1 : p > 0.5, Signifikanz (zweiseitig!) = 0.065, Signifikanz (einseitig!) = = < α = 0.05 und Teststatistik liegt im Verwerfungsbereich H 0 wird verworfen Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 17/35

18 p-wert H 0 : p = 0.5, H 1 : p < 0.5, Signifikanz (zweiseitig!) = Signifikanz (einseitig!) = = < α = 0.05, aber Teststatistik liegt nicht im Verwerfungsbereich!!! H 0 wird beibehalten Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 18/35

19 Unspezifische H 0 bei einseitigem Testen Bisher spezifische H 0 : θ = θ 0 Bei H 1 : θ < θ 0 korrekterweise H 0 : θ θ 0 (unspezifische H 0 ) Kann die H 0 : θ = θ 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α verworfen werden, so kann jede weitere H 0 : θ > θ 0 mit einer noch kleineren Irrtumswahrscheinlichkeit verworfen werden Es genügt also, die H 1 : θ < θ 0 an der spezifischen H 0 : θ = θ 0 zu testen Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 19/35

20 Fehler bei statistischen Tests α = 0.05 bedeutet: führt man dasselbe Experiment häufig durch, verwirft man in ca. 5% der Fälle die H 0 irrtümlich, obwohl sie tatsächlich gilt (Fehler 1. Art oder α-fehler) Man versucht, Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu minimieren, kann sie aber niemals völlig ausschalten beziehen sich nicht auf unkorrekte Vorgangsweise beim Hypothesentesten, sondern auf Entscheidungsfehler. Richtige Prozeduren führen zu Fehlentscheidungen. Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 20/35

21 Fehler bei statistischen Tests β-fehler (Fehler 2. Art) = Wahrscheinlichkeit H 0 beizubehalten, obwohl sie falsch ist. Vergleiche Gerichtsverfahren: Freispruch aus Mangel an Beweisen (Beibehalten der H 0 : der Verdächtige ist unschuldig) bedeutet nicht, dass er mit Sicherheit unschuldig ist (β-fehler). Die Beweise für seine Schuld waren nicht ausreichend Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 21/35

22 Fehler bei Statistischen Tests Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 22/35

23 Je kleiner α, umso kleiner der Fehler 1. Art (H 0 irrtümlich zu verwerfen) α möglichst klein wählen, z.b. α = 0.001? Entscheiden für Signifikanzniveau ist vergleichbar mit dem Abschluss einer Versicherung. Umso besser der Versicherungsschutz gegen einen α-fehler, umso höher die Kosten. Was sind die Kosten eines kleinen Signifikanzniveaus? Größerer Fehler 2. Art (β-fehler = H 0 irrtümlich beizubehalten) und geringere Teststärke 1 β (Macht oder Power = Wahrscheinlichkeit, H 0 zugunsten einer H 1 zu verwerfen, wenn tatsächlich H 1 gilt) Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 23/35

24 Beziehungen zwischen Statistischen Fehlern - 1 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 24/35

25 Beziehungen zwischen Statistischen Fehlern - 2 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 25/35

26 Richtige und falsche Entscheidungen Reale Situation H 0 H 1 Ergebnis d. verworfen Fehler 1. Art Richtige E. Hypothesen- H 0 α Macht, 1 β tests beibehalten Richtige E. Fehler 2. Art 1 α β Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 26/35

27 Dilemma Versicherung gegen α-fehler hat die Kosten eines höheren β-fehlers und geringerer Macht des Tests Versicherung gegen β-fehler hat die Kosten eines höheren α-fehlers Kompromiss in der Praxis: α = 0.05 oder α = 0.01 je nachdem, welchen Fehler man eher riskieren möchte Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 27/35

28 Macht eines Tests (Teststärke) 1 β ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein statistischer Test zugunsten einer H 1 entscheidet, wenn diese gilt (d.h. die H 0 richtigerweise zu verwerfen) Die Teststärke hängt von verschiedenen Faktoren ab: Signifikanzniveau α Ein- oder zweiseitige Alternativhypothese (bei einseitiger H 1 höher) Größe des Unterschiedes Streuung der Variable X in der Population Stichprobenumfang n Verwendeter statistischer Test: je höher der verwendete Informationsgehalt der Daten, umso höher seine Macht Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 28/35

29 Teststärke und Größe der Unterschiede Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 29/35

30 Teststärke und Populationsstreuung Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 30/35

31 Teststärke und Stichprobenumfang Beispiel: Binomialtest mit NV-Approximation, Anteil der übergewichtigen Frauen unter Frauen, die Diät halten Stichprobengröße n = 2000 Frauen (statt n = 200), gleicher Anteil wie vorher: 43.5% übergewichtig = 870. µ = np = 1000, k = 870 z = = 5.79 zum Vergleich z = 1.77 bei n = 200 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 31/35

32 Statistische Signifikanz und praktische Relevanz Mit genügend großem Stichprobenumfang kann man praktisch jede H 0 verwerfen Festlegung einer Effektgröße ɛ (z.b. praktisch relevanter Unterschied) und einer spezifischen H 1 Muss aufgrund inhaltlicher Überlegungen vor Datenerhebung festgelegt werden Vorteil: notwendiger Stichprobenumfang, der bei gegebenem α, gewünschtem 1 β und bestimmter Effektgröße eine eindeutige Entscheidung ermöglicht, bestimmbar Tabellen bzw. Computerprogramme im Internet (z.b. GPower von Erdfelder, Faul & Buchner, 1996). Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 32/35

33 Führt man mehrere statistische Tests durch, hat man bei jedem dieser Tests das Risiko eines α-fehlers Angenommen, jemand führt drei statistische Tests durch um eine Hypothese zu prüfen Selbst bei Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Tests wäre Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Test signifikant wird = 1 (Wahrscheinlichkeit kein Test signifikant) = 1 (1 0.05) 3 = 0.14 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 33/35

34 Führt man k unabhängige statistische Tests zur Überprüfung einer H 0 durch, kommt es zu einer Kumulierung des α-fehler Risikos α = 1 (1 α) k Lässt es sich nicht vermeiden, mehrere statistische Tests zur Prüfung einer Hypothese durchzuführen, muss eine α-fehler Korrektur vorgenommen werden α-fehler Adjustierung: α adj = 1 (1 α) 1/k 3 Tests: α adj = 1 (1 0.05) 1/3 = Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 34/35

35 Voraussetzung: Formulierung der H 0 und H 1, Angabe von α, Stichprobenbeschreibung Angabe des p-wertes Angabe der Teststatistik (+ df wo nötig) ev. Teststärke und Effektgröße Korrekte Formulierung bei nicht-signifikantem Ergebnis: H 0 wird beibehalten ; Formulierung, H 0 wurde bewiesen, ist falsch Falsche Interpretationen: Je kleiner der p-wert, umso größer der Effekt. Der p-wert ist keine Effektgröße. Der p-wert gibt die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der H 0 an. Der p-wert ist die P(beobachtetesErgebnis H 0 ). Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 35/35