9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung

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1 9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung

2 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung Bei der Schätzung eines Populationsparamters soll dessen Wert aus Stichprobendaten erschlossen werden. Wenn es dagegen darum geht, die Korrektheit von Vermutungen über die Werte solcher Parameter zu prüfen, müssen statistische Tests durchgeführt werden.

3 9.1 Die Logik der statistischen Hypothesenprüfung

4 Kennwertverteilung bei Gültigkeit der Null- und der Alternativhypothese Beim statistischen Testen wird immer ein Hypothesenpaar betrachtet: die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese H1. Dabei behaupten Null- und Alternativhypothese wechselseitig das Gegenteil.

5 Kennwertverteilung bei Gültigkeit der Null- und der Alternativhypothese Die Prüfung der Hypothese erfolgt erfolgt anhand von Stichprobendaten. Das empirische Kriterium ist dann ein Stichprobenkenn-wert, der die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kennwerts muß bekannt werden

6 Kennwertverteilung bei Gültigkeit der Null- und der Alternativhypothese Seine Kennwertverteilung muss sich bei Gültigkeit der Nullhypothese. Von der Kennwert-verteilung bei Gültigkeit der Alternativhypothese. unterscheiden. In erster Linie bedeutet das, dass der Erwartungswert der Kennwertverteilung bei Gültigkeit der Nullhypothese. einen anderen Wert aufweist als bei Gültigkeit der Alternativhypothese.

7 Abbildung 9.1: Kennwerteverteilungen von Stichprobenanteilen bei unterschiedlichen Populationsanteilen Wahrscheinlichkeitsdichte f(p 1 ) H 0 ist richtig H 0 ist falsch π 1 =0.4 π 1 =0.5 π 1 = Stichprobenanteil p 1 Abbildung aus Kühnel/Krebs, 2001: 255

8 Kennwertverteilung bei Gültigkeit der Null- und der Alternativhypothese Der Bereich in dem die Nullhypothese. akzeptiert wird, heißt Annahmebereich, der Bereich, in dem sie abgelehnt oder verworfen wird, heißt Ablehnungsbereich oder kritischer Bereich. Der Wert, der den Ablehnungsbereich vom Annahmebereich trennt, wird als kritischer Wert bezeichnet.

9 Abbildung 9.2: Kritischer Bereich und Fehlerwahrscheinlichkeiten bei unterschiedlichen Populationsanteilen a. π 1 =0.5 (H 0 ist richtig) Annahmebereich (p 0.6) Ablehnungsbereich (p>0.6) b. π 1 =0.4 (H 0 ist richtig) Annahmebereich (p 0.6) Ablehnungsbereich (p>0.6) f(p 1 ) f(p 1 ) 1 α=97.7% α=2.3% 1 α>99.99% α<0.01% p p 1 c. π 1 =0.7 (H 0 ist falsch) Annahmebereich (p 0.6) Ablehnungsbereich (p>0.6) f(p 1 ) β<1.5% 1 β>98.5% 8.Sitzung 29 S. Peter pschmidt/lars 1 Haggenmüller Abbildung aus Kühnel/Krebs, 2001: 257

10 Fehlermöglichkeiten bei der statistischen Hypothesenprüfung q 1 α = = z 1 z 1 * σ(p ) +µ (p ) α 1 1 π *(1 π ) * 1 1 +π α n 1 q 1 α =Wert des (1- α)-qantails der Kennwertev erteilung eines Stichprobe nkennwerts

11 Inhaltliche Relevanz der Null- und der Alternativhypothese In Sinne von Popper ist es sinnvoll, die inhaltlich interessante H (=Hypothese) nur dann als richtig zu akzeptieren, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie falsch ist, sehr klein ist. H =π > Wird also nur dann akzeptiert, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Gegenhypothese, d.h. die Nullhypothese, gilt, so gering ist, daß sie abgelehnt wird.

12 Inhaltliche Relevanz der Null- und der Alternativhypothese Die inhaltlich interessantere H, die Forschungshypothese wird in der Alternativhypothese formuliert. Ihr theoretisch weniger interessantes Gegenteil wird in der Nullhypothese formuliert. Durch Festlegung einer geringen max. Fehlerwahrscheinlichkeit wird sichergestellt, dass die Forschungshypothese nur akzeptiert wird, wenn die Nullhypothese mit großer Wahrscheinlichkeit falsch ist.

13 Inhaltliche Relevanz der Null- und der Alternativhypothese Erst bei Populationswerten, die weit von denen bei zutreffender Nullhypothese entfernt sind, ist auch die β Wahrscheinlichkeit eines Fehlers gering. Wenn es einen großen Bereich von Populationswerten gibt, in dem die Wahrscheinlichkeiten für einen β Fehler hoch sind, dann hat der statistische Htest nur eine geringe Trennschärfe.

14 Inhaltliche Relevanz der Null- und der Alternativhypothese Die Trennschärfe eines Tests hängt nicht nur von der Festlegung der α -Fehlerwahrscheinlichkeit, sondern auch vom Stichprobenumfang ab. Je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner ist der Standardfehler der Teststatistik, und umso leichter ist es möglich, zwischen den Populationswerten zu unterscheiden, die mit der Forschunghypothese vereinbar oder unvereinbar sind.

15 9.2 Die Vorgehensweise bei der Prüfung statistischer Hypothesen

16 Schritt 1:Formulierung von Null- und Alternativhypothese Forschungshypothesen können gerichtet oder ungerichtet sein Gerichtete Hypothesen enthalten die Vermutung, dass ein Populationswert entweder größer oder kleiner als ein empirischer Stichprobenwert ist. Ungerichtete Hypothesen enthalten dagegen die Vermutung, dass ein Populaionswert ungleich einem empirischen Wert ist.

17 Schritt 1:Formulierung von Null- und Alternativhypothese Bei der gerichteten Hypothese über die Befürwortung von Schwangerschaftsabbruch bei finanzieller Notlage lautet das Hypothesenpaar: H : π 0.5 versus H : π >

18 Schritt 1:Formulierung von Null- und Alternativhypothese Bei der ungerichteten H über den Unterschied der Populationsmittelwerte bei der Einstellung zur Demokratie bei Erstwählern und Altwählern lautet das Hypothesenpaar: µ D H : µ = 0 versus H : π D 1 1

19 Schritt 2. Auswahl der statistischen Prüfgröße und der Testverteilung In der Null- und der Alternativhypothese wird eine Behauptung über einen Populationsparamter formuliert. Z = π 1 / p H 1 0 π * (1 1 / n H π 0 1 / H 0 )

20 Schritt 3: Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit und es Ablehnungsbereichs Der Ablehnungsbereich wird indirekt über die Festlegung der max. Irrtumswahrscheinlichkeit α bestimmt. Bestimmungen der kritischen Region: 1. Behauptet die Forschungshypothese, dass ein Populationswert größer als ein postulierter Wert ist, dann liegt der kritische Bereich der Nullhypothese Im oberen Abschnitt der Testverteilung.

21 (Fortsetzung) Bestimmungen der kritischen Region Der kritische Wert ist also gleich dem 1- α Quantilwert der Testverteilung. Beispiel: H : π 0.5 versus H : π > Einseitiger Htest 2. Behauptet die Forschungshypothese, dass ein Populationswert kleiner ist als ein postulierter Wert, dann liegt der kritische Bereich der Nullhypothese Im unteren Abschnitt der Testverteilung.

22 (Fortsetzung) Bestimmungen der kritischen Region Der kritische Wert ist gleich demα Quantilwert der Testverteilung. Beispiel: H : π 0.5 versus H : π < Einseitiger Htest. 3. Behauptet die Forschungshypothese, dass ein Populationswert ungleich einem postulierten Wert ist, dann liegt der

23 (Fortsetzung) Bestimmungen der kritischen Region Kritische Bereich der Nullhypothese. Zu gleichen Teilen im unteren und im oberen Abschnitt der Verteilung. Es gibt dann zwei kritische Werte,die gleich dem α/2- Quantilwert und dem 1 α/2-quantilwert der Testverteilung sind. Beispiel: (zweiseitiger Hypothesentest.) H : π = versus H : π

24 Schritt 4: Entscheidungen über Akzeptanz oder Ablehnung der Nullhypothese aufgrund des Stichprobenwertes der Teststatistik Ist das empirische Signifikanzniveau größer oder gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit α,dann wird die Nullhypothese beibehalten: p< α : Ablehnung der Nullhypothese p : Beibehaltung der Nullhypothese α

25 Schritt 4 (Fortsetzung) Das empirische Signifikanzniveau p unterscheidet sich bei einseitigen und zweiseitigen Hypothesentests. Im oben vorgestellten Beispiel hat die Teststatistik beim zweiseitigen Test den Wert Z ± 2.

26 Schritt 4 (Fortsetzung) Bei einseitiger Prüfung der Nullhypothese, dass der Populationswert π 1 mindestens 50% beträgt( H 0 : π 1 0,5 ), entspricht der Wert der Teststatistik Z= -2 dem 2.28% - Quantil der Standardnormalverteilung.

27 9.3 Beziehung zwischen statistischen Hypothesentests und der Berechnung von Konfidenzintervallen

28 Beziehung zwischen statistischen Htests und der Berechnung von Konfidenzintervallen Beispiel: Die ungerichtete Forschungshypothese wird geprüft: H : π = 0.5 versus H : π In folgender Formel gilt: / 2 = Quantilwert des 1 α/ -Quantils der statistischen Prüfgröße Z p ) = geschätzter Standerfehler des Stichprobenanteils z1 α 2 σ ( 1 p 1

29 Beziehung zwischen... c.i.( π 1 ) = = = = p p 1 1 ± ± 0.4 ± 0.4 ± σ (p 1 ) * z 1 α p 1 * (1 p n 0.4 * ( / 2 1 ) * z 1 α / 2 0.4) * 1.96 = bis 0.496