Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 202 Isometrien Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung ii Inhalt 1 Translationssymmetrie im lltag? Symmetrien einer Funktion Translationssymmetrische Funktionsgraphen Translationssymmetrische Funktionsgraphen Symmetrien des Funktionsgrafen? Kubische Parabel Hände Isometrien Schubspiegelung Kongruente Kreise... 9 Modul 202 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Probeausgabe Sommer 2007 Geändertes Layout. Erweiterung Frühjahr 2009 Fehlerkorrekturen und Erweiterungen Frühjahr 2011 Keine Änderung last modified: 3. Januar 2014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 1 1 Translationssymmetrie im lltag? Gibt es im wirklichen Leben Translationssymmetrie? ntwort Nein 2 Symmetrien einer Funktion Skizzieren Sie die Funktion y = f x Funktionsgraph? Ergebnis ( ) = x round(x). Welche Symmetrien hat der Wenn man davon ausgeht, dass Runden im kritischen Fall der halbzahligen Zahlen ufrunden heißt, sieht die Lösung so aus: y x 1 Wir haben eine Translationssymmetrie. y = f ( x) = x round(x) Nun gibt es aber Software, welche anders rundet. Excel macht es so: x RUNDEN(x) y = round(x)

4 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 2 Entsprechend sieht auch y = f ( x) = x round(x) aus: y x 1 y = f ( x) = x round(x) Der Graph hat keine Translationssymmetrie, aber eine Punktsymmetrie mit dem Symmetriezentrum im Ursprung.

5 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 3 3 Translationssymmetrische Funktionsgraphen a) Geben Sie ein eispiel einer Funktion mit der Periodenlänge 2π. b) Geben Sie ein eispiel einer Funktion mit der Periodenlänge 1. Ergebnis (exemplarisch) a) sin( x) y = sin x y x -2-3 y = sin( x) b) sin( 2π x) y = sin 2 x y x -2-3 y = sin( 2πx)

6 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 4 4 Translationssymmetrische Funktionsgraphen a) Geben Sie ein eispiel einer Funktion, deren Graph translationssymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. Tipp: Mit Graphikdisplay ausprobieren. b) Geben Sie ein eispiel einer solchen Funktion mit der Periodenlänge 1. eispiele a) Geben Sie ein eispiel einer Funktion, deren Graph translationssymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. Tipp: Mit Graphikdisplay ausprobieren. b) Geben Sie ein eispiel einer solchen Funktion mit der Periodenlänge 1.

7 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 5 5 Symmetrien des Funktionsgrafen? Wo ist die Funktion t arctan tan( t) ( ) definiert? Welche Symmetrien hat der Funktionsgraf? earbeitung { }. Der größtmögliche Definitionsbereich ist t π + kπ, k 2 Funktionsgraf: y t t arctan ( tan( t) ) Wir haben Translationssymmetrie und Punktsymmetrie. 6 Kubische Parabel Zeigen Sie, dass der Graph einer kubischen Funktion y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d immer punktsymmetrisch ist. Punktsymmetrie?

8 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 6 Ergebnis Mörderische Rechnung. nsatz: y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Für den Wendepunkt W (vermutetes Symmetriezentrum) erhalten wir (zweite bleitung Null setzen): x W = b 3a, y W = a b 3a ( ) 3 + b( 3a b ) 2 + c( 3a b ) + d. Neue Koordinaten relativ zum Wendepunkt: ξ = x x W, η = y y W, also x = ξ + x W, y = η + y W. In y = ax 3 + bx 2 + cx + d einsetzen ergibt: η = aξ 3 + ξ 1 3 b2 a + c, also eine ungerade Funktion mit punktsymmetrischem Graphen. 7 Hände Welche rten von Symmetrie können zwischen der linken und der rechten Hand bestehen? Ergebnis a) ilaterale Symmetrie mit Spiegelebene b) Punktsymmetrie. Sieht man am besten, wenn man einen all so in die Hände nimmt, dass sich entsprechende Finger diametral gegenüberliegen.

9 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 7 8 Isometrien Es gibt zwei verschiedene Isometrien, welche die Strecke auf die Strecke abbilden. (Tipp: Orientierung) ' ' Isometrien? Ergebnis 1) Drehung um M um φ. ' M ' Drehung

10 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 8 2) Schubspiegelung (orientierungsumkehrend) ' ' Schubspiegelung 9 Schubspiegelung Das Dreieck C ist das ild des Dreieckes C bei einer Schubspiegelung. Gesucht sind chse und Translationsvektor dieser Schubspiegelung. C' ' ' C Schubspiegelung

11 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 9 Ergebnis Der Translationsvektor gibt auch die chse an. C' ' ' C 10 Kongruente Kreise chse und Vektor uf wie viele rten können zwei verschiedene kongruente Kreise aufeinander abgebildet werden? earbeitung Wegen der hohen Symmetrie des Kreises gibt es viele Möglichkeiten: a) Translation b) Drehung (Unendlich viele Möglichkeiten, Drehzentrum auf der Mittelsenkrechten der beiden Kreismittelpunkte. Sonderfall Punktspiegelung) c) Geradenspiegelung d) Schubspiegelung (Unendlich viele Möglichkeiten). Durch zusätzliche ngabe von zwei Punkten und ihrer ilder kann spezifiziert werden. eispiele a) Translation M M Translation

12 Hans Walser: Modul 202, Isometrien. Lernumgebung 10 b) Drehung M M Drehung M M c) Geradenspiegelung M Punktspiegelung M d) Schubspiegelung Gerdenspiegelung M M M Schubspiegelung mit Zwischenbild Wie finden wir bei gegebenen Punkten,,, die passende bbildung?