Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften y t Modul 4 Fourier-Entwicklung. Vektorraum

2 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum ii Modul 4 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Frühjahr 3 Neubearbeitung Frühjahr 4 Neue Moduleinteilung. Grafische Überarbeitung last modified: 4. Oktober 3 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 45 Basel

3 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum iii Inhalt Vektoren.... Orthonormierte Basis..... Simples Beispiel..... Anderes Beispiel... Zwei seltsame Vektoren Orthogonale Funktionen Skalarprodukt zweier Funktionen Beispiel Ein orthonormiertes System Fourier-Entwicklung Jean Baptiste Fourier Erinnerung an Vektoren Übertragung auf Funktionen Andere Periodenlängen Examples, examples, examples Die Signalfunktion Die Quadratfunktion Was ist ein Vektorraum? Beispiele Vektorräume im geometrischen Sinne Quadratische Polynome Polynomfunktionen Fourierpolynome und Fourierreihen Basis Verschiedene Basen Lineare Unabhängigkeit Skalarprodukt und Norm Vektoren Funktionen... 8 Orthonormale Basis Orthonormalisierungsverfahren Entwicklung eines Vektors Die Legendreschen Polynome Grad Null bis Feststellungen und Kommentare Zusammenfassung Skalarprodukt zweier Funktionen Orthonormales Funktionensystem Fourier-Koeffizienten und Fourier-Entwicklung Allgemeine Periodenlänge Vektorraum Skalarprodukt und Norm... 9

4 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Vektoren. Orthonormierte Basis.. Simples Beispiel In der Ebene bilden die beiden Vektoren e = und e = eine orthonormierte Basis: Sie sind zueinander orthogonal und haben je die Länge Eins. a e Orthonormierte Basis und Vektor Für einen beliebigen Vektor, zum Beispiel für e erhalten wir dann: a = 3 Umgekehrt ist a = a e = 3 = 3 und a = a e = 3 = a = 3 = 3 e + e = a e + a e = a e.. Anderes Beispiel Wir beginnen mit den beiden Vektoren: e = und e = e + ( a e ) e Diese beiden Vektoren bilden wieder eine orthonormierte Basis: Sie sind zueinander orthogonal und haben je die Länge Eins

5 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum a e e Anderes Beispiel Wir bearbeiten wieder den Vektor a = 3 und erhalten: a = a e = = 6 = =. und a = a e = = = 7 5 = Nun ist: a e + a e = Es ist also wiederum a = ( a e ) e + ( a e ) e = = = 3 = a

6 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 3 Dies kann auch bildlich nachvollzogen werden: e a e e e e e e Zerlegung des Vektors in orthonormale Komponenten Zwei seltsame Vektoren Was hat es mit folgenden beiden Vektoren auf sich? c = s =,,,,,,,,,,,,,, Sie sind waagrecht geschrieben (um Platz zu sparen). Ihr Skalarprodukt ist Null, sie sind orthogonal: c s = ( ) + + ( ) + + = Sie sind eine Art Spektrum der Kosinus- und der Sinusfunktion im Intervall, [ ]

7 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 4 y - t - c = Spektrum der Kosinus-Funktion,,,,,,, y - t - s = Spektrum der Sinus-Funktion,,,,,,, Das Skalarprodukt der beiden Vektoren kann daher kompakt geschrieben werden: c s 8 = cos( k 8 )sin( k 8 ) = k=

8 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 5 Wenn wir die Summe noch mit einer Schrittlänge ergänzen, haben wir die Vorstufe zu einem Integral: 8 k= cos( k 8 )sin k 8 8 cos t sin( t)dt Tatsächlich ist auch dieses Integral Null. Wegen sin( t) = cos( t)sin( t) ist: cos t sin( t)dt = 3 Orthogonale Funktionen sin( t)dt = cos ( t ) = Es ist also sinnvoll, zu sagen, die beiden Funktionen Kosinus und Sinus seien im Intervall, [ ] orthogonal. Wir wollen das noch etwas präzisieren. 3. Skalarprodukt zweier Funktionen Zu zwei Funktionen f und g definieren wir ein Skalarprodukt: b ( f, g) = f ( t)g( t)dt Die Angabe des Integrationsintervalls [ a, b] ist wesentlich. Es sind verschiedene Schreibweisen gebräuchlich, neben f, g f, g. Zwei Funktionen mit Skalarprodukt Null heißen orthogonal. Die Länge oder Norm einer Funktion ist gegeben durch: f = a ( f, f ) auch [ f, g] und 3. Beispiel Wir studieren die Funktionen cos( nt), n =,,, 3,... und sin( nt), n =,,3,... auf dem Intervall [, ]. Da alle diese Funktionen die -periodisch sind, können wir aber auch irgend ein Intervall der Länge verwenden, insbesondere das symmetrische Intervall [, ] Wir zeigen nun: Diese Funktionen sind paarweise orthogonal. Zunächst ist es so, dass die Kosinusfunktionen alle gerade Funktionen sind, die Sinusfunktionen alle ungerade Funktionen. Ein Produkt einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion, das Integral auf dem symmetrischen Intervall, [ ] wird Null. Somit ist:

9 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 6 cos( mt )sin( nt)dt = Die Kosinusfunktionen sind also orthogonal zu den Sinusfunktionen. Die Figur zeigt die Situation für cos( 3t )sin( t). Wir sehen sehr schön die Punktsymmetrie des Graphen der ungeraden Funktion. y - - t - cos( 3t )sin( t) und cos( nt) orthogonal. Das ist nicht ohne weiteres Für m n sind aber auch cos mt einsehbar und kann nicht mit Symmetrieüberlegungen gezeigt werden. Die Figur zeigt die Situation für cos( 6t)cos( t). Der Graph ist nur achsensymmetrisch. y - - t - cos( 6t)cos( t) Trotzdem ist das Integral Null. Das kann sehr schön mit partieller Integration gezeigt werden: Es sei m n. Dann ist: cos( mt )cos( nt)dt =

10 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 7 Es ist also: cos( mt )cos( nt)dt = Analog kann gezeigt werden, dass: Zusammengefasst: Die Funktionen sin( mt )sin( nt)dt = cos( nt), n =,,, 3,... sin( nt), n =,, 3,... bilden im Intervall [, ] ein System von orthogonalen Funktionen. Das folgende Bild zeigt cos( nt), n =,,,3,4,5. Für n = ergibt sich die Konstante. y - - t - cos( nt), n =,,,3,4,5 Das folgende Bild zeigt sin nt, n =,,, 3,4,5. Für n = ergibt sich die Konstante Null, welche in der Praxis nicht brauchbar ist und daher weggelassen wird.

11 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 8 y - - t - sin( nt), n =,,,3, 4,5 3.3 Ein orthonormiertes System Schön wäre es, wenn die Funktionen auch normiert wären. Das ist zwar nicht der Fall, kann aber gemacht werden. Berechnen wir die Länge oder Norm der einzelnen Funktionen. Dazu berechnen wir das Skalarprodukt mit sich selber und dann die Wurzel daraus. Für n ist: cos( nt)cos( nt) dt = Somit ist: Daraus ergibt sich: Analog findet sich: cos( nt)cos( nt) dt cos( nt) = sin( nt) = =

12 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 9 Im Sonderfall n = haben wir die Konstante Eins zu integrieren. Das ergibt und für die Norm. Wenn wir nun die Funktionen durch diese Norm dividieren, erhalten wir Funktionen der Norm Eins. Das Funktionensystem (konstante Funktion) cos( nt), n =,,3,... sin( nt), n =,,3,... bildet im Intervall [, ] eine orthonormierte Basis. Wir haben hier einen Vektorraum der Dimension unendlich.

13 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 4 Fourier-Entwicklung Nun können wir nach dem Muster der Vektoren eine Funktion, welche ebenfalls periodisch ist, nach diesem System zerlegen (Fourier-Analyse) oder entwickeln (Fourier-Reihe, das System ist ja unendlich). 4. Jean Baptiste Fourier Jean- Baptiste Fourier (768-83) 4. Erinnerung an Vektoren Bei den Vektoren in der Ebene hatten wir gefunden: Allgemein gilt für die Dimension n : Detailliert heißt das: a = ( a e ) e + ( a e ) e a = n a e k e k k= Berechnung der Koeffizienten: Skalarprodukt mit dem entsprechenden Basisvektor: Zusammensetzung zur Summe: a = n a k = a e k a kek = k= n a e k e k k=

14 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 4.3 Übertragung auf Funktionen Für eine beliebige, aber -periodische Funktion f gehen wir nun wie folgt vor: Berechnung der Koeffizienten mit dem Skalarprodukt, das heißt mit dem Integral: a = a k = b k = f ( t) dt f ( t)cos( kt) dt k =,, 3,... f ( t)sin( kt) dt k =,,3,... Zusammensetzung zur Summe (endliche Approximation) oder Reihe: f ( t) a + f ( t) = a + n k= k= a k cos kt a k cos kt n + k= + k= b k sin( kt) b k sin( kt) Es ist zu beachten, dass die hässlichen Wurzelausdrücke von der Norm zweimal erscheinen, einmal bei der Koeffizientenberechnung und dann wieder bei der Summenbildung. Man kann sie bei der Koeffizientenberechnung ohne Wurzel nehmen und kann sie dann bei der Summenbildung einfach weglassen. Das Gleichheitszeichen bei der Reihe ist cum grano salis zu verstehen. Es gibt da interessante Konvergenzfragen. In einzelnen isolierten Punkten kann die Entwicklung daneben gehen. Die Angelegenheit hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Taylor-Entwicklung. Bei der Taylor-Entwicklung wird nach Potenzfunktionen entwickelt, bei der Fourier- Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen (Kreisfunktionen). Die Herleitung ist allerdings völlig anders. Bei der Fourier-Entwicklung wird die Idee des Vektorraumes verwendet. 4.4 Andere Periodenlängen Nun passen allerdings die wenigsten periodischen Funktionen gerade auf die Periodenlänge. Das kann aber passend gemacht werden. Es sei eine Funktion f ( t) mit der Periodenlänge T gegeben. Bei den Kreisfunktionen kriegen wir diese Periodenlänge mit der Kreisfrequenz ω = T Dann können wir wie folgt vorgehen: hin.

15 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Berechnung der Koeffizienten. Der Normierungsfaktor wird ohne Wurzel genommen. a k = T b k = T T T f t f t cos( kωt )dt ; k =,,, sin( kωt )dt ; k =,, Dann wird die Reihe gebildet. Der Sonderfall n = wird hier etwas anders behandelt als bei unserer streng fundamentalistischen Herleitung. Der Normierungsfaktor wurde bereits bei der Koeffizientenberechnung berücksichtigt. f ( t) = a ( sin ( kωt )) + a k cos kωt k= + b k 4.5 Examples, examples, examples 4.5. Die Signalfunktion Wir versuchen, folgenden Graphen zu erreichen: y - - t - Der Graph Das ist allerdings keine Funktion, die senkrechten hellblauen Strecken widersprechen dem Funktionsbegriff. Wir müssen die Funktionswerte für die ganzen Zahlen eindeutig festlegen. Das kann zum Beispiel so aussehen:

16 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 3 y - - t - Funktion Wir haben nun eine echte Funktion, sie hat Sprungstellen bei allen ganzen Zahlen. Es ist allerdings besser, die Sache wie folgt zu lösen: y - - t - Funktion Wir haben nun eine Funktion mit punktsymmetrischem Graphen, also eine ungerade Funktion. Dies hat zur Folge, dass in der Fourier-Entwicklung nur die Sinus-Funktionen auftreten. Wir brauchen also nur die Koeffizienten b k zu berechnen. Aus Symmetriegründen können wir mit dem Intervall T, T [ ] = [, ] arbeiten. Die Funktion hat die Periodenlänge T =. Somit ist ω = T b k = T f t sin( kωt )dt = f t = =. Somit ist: sin( kt)dt ; k =,, Der Integrand ist als Produkt zweier ungerader Funktionen eine gerade Funktion. Wir können uns bei der Integration also auf die rechte Hälfte beschränken und das Resultat doppelt nehmen. In der rechten Hälfte des Integrationsintervalls ist f ( t) =. Die Abweichungen an den isolierten Stellen t = und t = spielen für das Integral keine Rolle. Also ist: Wegen b k = sin( kt)dt = k cos ( kt ) = k cos k cos( )

17 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 4 cos( k) = braucht es eine Fallunterscheidung: k gerade: k ungerade: + falls k gerade falls k ungerade b k = ( k + ) = b k = ( k ) = 4 k In der Fourier-Entwicklung bleiben also nur die Sinus-Funktionen mit ungeradem k übrig: f ( t) = 4 sin ( t ) + 4 sin ( 3t ) sin ( 5t ) 5 + = 4 j= j+ sin ( j + )t Das folgende Bild zeigt die Entwicklung bis k = 9, zusammen mit der echten Signalfunktion: y - - t - Entwicklung bis k = 9 Im folgenden Bild ist bis k = 9 entwickelt worden: y - - t - Entwicklung bis k = 9

18 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 5 Die fast senkrechten Striche sind nicht ganz senkrecht und daher kein Widerspruch zum Funktionsbegriff Die Quadratfunktion Die Funktion f t = t ist nicht periodisch. Wir versuchen trotzdem eine Fourier- [ ]. Die Funktion ist gerade, es Entwicklung, der Einfachheit halber im Intervall, erscheinen also nur die Kosinus-Funktionen in der Entwicklung. Es ist T = und ω =. Wir erhalten zunächst: Für k ergibt sich: a k = a = dt t dt t cos kt = = 3 t 3 = 3 ( ) = 3 Somit ist a k = 4 ( k )k und wir haben die Entwicklung: f ( t) = a + a k cos ( kt ) = k k= k= = 3 + 4( cos t cos t cos ( 3t ) ± ) ( )k cos( kt)

19 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 6 Das folgende Bild zeigt die Entwicklung bis k = 6, ohne und mit der ursprünglichen Parabel. y y t t Fourier-Entwicklung bis k = 6 Die Entwicklung ist innerhalb des Intervalls, schlecht. Es zeigt sich auch die -Periodizität der Entwicklung. [ ] recht gut, nachher dramatisch 5 Was ist ein Vektorraum? Wir haben eine Menge V von Elementen, die wir im Folgenden als Vektoren bezeichnen und (vorläufig) mit dem Symbol u kennzeichnen. In dieser Menge sei eine innere Addition definiert, das heißt mit zwei Vektoren u, v aus V gehöre auch die Summe u + v zum Vektorraum V. Ferner sollen folgende Axiome gelten:. Axiome bezüglich der Vektoraddition a) u + v = v + u (Kommutativität) b) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w (Assoziativität) c) Es gibt einen Nullvektor: u + = + u = u d) Es gibt zu jedem Vektor einen Gegenvektor: (Neutralelement) u + u (Inverses) = Ferner gibt eine skalare Multiplikation einer rellen Zahl c (Skalar genannt) mit einem Vektor u mit folgenden Axiomen:. Axiome bezüglich der skalaren Multiplikation: a) c u + v u + cv (Distributivität) = c b) ( c + d) u = cu + du (Distributivität)

20 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 7 c) c du d) u = u = ( cd) u (Assoziativität) In diesen Axiomen werden dieselben Operationszeichen für an sich verschiedene Operationen verwendet. So steht zum Beispiel in ( c + d) u = cu + du das Pluszeichen links für die Addition von reellen Zahlen, das Pluszeichen rechts für die Vektoraddition. 5. Beispiele 5.. Vektorräume im geometrischen Sinne Diese Vektorräume gaben dem Ding den Namen. Oft werden die D-Vektoren u = u u mit Zahlenpaar ( u, u ) oder mit dem Punkt P( u, u ) identifiziert; dies ist der Endpunkt des Vektors u, wenn er als Ortsvektor, also mit den Anfangspunkt im Ursprung, gezeichnet wird. Wir bezeichnen diesen Vektorraum mit. Allgemein wird mit n der Vektorraum der reellen n-tupel oder der nd-vektoren bezeichnet. 5.. Quadratische Polynome Die Menge der quadratischen Polynome { ax + bx + c a, b, c } erfüllt alle Axiome eines Vektorraums. Da a und/oder b und/oder c auch null sein können, gehören als Sonderfälle auch die linearen Terme und die Konstanten dazu. Dieser Vektorraum ist im Wesentlichen derselbe wie 3. Entsprechend ist die Menge der Polynome von höchstens dem Grad n der Vektorraum n Polynomfunktionen Die Menge der Polynomfunktionen von beliebigem Grad (ohne obere Grenze) ist ebenfalls ein Vektorraum. Er hat allerdings die Dimension Fourierpolynome und Fourierreihen Die Funktionen von der Form f ( t) a + n k= a k cos kt bilden einen Vektorraum der Dimension n +. Die Funktionen von der Form n + k= b k sin( kt)

21 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 8 f ( t) = a + k= bilden einen Vektorraum der Dimension. 6 Basis a k cos kt + k= b k sin( kt) 6. Verschiedene Basen Die einfachste Basis für D-Vedktoren sind die beiden Einheitsvektoren: Diese bilden eine orthonormierte Basis. e = und e = Grüne Basis und rote Basis Aber auch die beiden Vektoren e = bilden eine orthonormierte Basis und e =

22 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 9 Wir können aber auch zwei beliebige andere, voneinander linear unabhängige Vektoren als Basis verwenden, zum Beispiel: v = 3 und v = 5 v v als Linearkombination u = x v + x v darzu- Um einen beliebigen Vektor u = u u stellen, haben wir das Gleichungssystem zu lösen. Da die Gleichungsmatrix Nicht orthonormierte Basis 3x + 5x = u x + x = u A = 3 5 wegen der linearen Unabhängigkeit von v und v regulär ist, hat dieses Gleichungssystem genau eine Lösung. Die Darstellung des Vektors u in der Basis v und v ist also eindeutig. Die Basis ist aber weder orthogonal noch normiert. 6. Lineare Unabhängigkeit Eine Basis ist dann optimal, wenn keiner der Basisvektoren eine Linearkombination anderer Basisvektoren ist. Sind in einer Basis die Basisvektoren linear unabhängig, ist die Darstellung eines beliebigen Vektors in dieser Basis eindeutig.

23 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 7 Skalarprodukt und Norm Wir ordnen zwei Vektoren eine reelle Zahl zu. Schematisch: Skalarprodukt: V V Das Skalarprodukt wird u v oder u v (dot product) geschrieben. Wenn die Vektoren Funktionen sind, werden die Schreibweisen f, g Dabei sollen folgende Eigenschaften gelten: a) u v = v u (Kommutativität) b) u ( v + w ) = u v + u w (Distributivität) c) c( u v ) = ( cu ) v = u ( cv ) d) u u > falls u = falls u = oder [ f, g] oder f, g verwendet. Wir haben wiederum verschiedene Operationen mit demselben Symbol bezeichnet: In u ( v + w ) = u v + u w ist das Plus links die Vektoraddition, das Plus rechts die Addition in der Menge der reellen Zahlen. Falls für zwei Vektoren das Skalarprodukt null ist, nennen wir sie orthogonal. Die Länge (Betrag, Norm) eines Vektors ist die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst: u = u u Mit Hilfe des Skalarproduktes kann auch der Zwischenwinkel γ berechnet werden: cos( γ ) = u v u v 7. Vektoren Für Vektoren u = u u n, v v = v n kann das übliche Skalarprodukt u v = u v + + u n v n = u k v k verwendet werden. Dieses Skalarprodukt kann als Matrixprodukt dargestellt werden: uv = u v + + u n v n = [ u u n ] n k= v = u t v v n

24 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 7. Funktionen Für Funktionen dient das Integral b ( f, g) = f ( x)g x a dx als Skalarprodukt. Die Angabe des Integrationsintervalls [ a, b] ist wesentlich. So gilt zum Beispiel für die Funktionen cos t, : ( cos( t), sin( t) ) = cos( t)sin( t) dt = und sin( t) im symmetrischen Intervall Die beiden Funktionen sind orthogonal. Für ihre Norm erhalten wir: cos t = cos t cos( t) = (, cos( t) ) = cos t dt = Für das Intervall, sin t = sin t sin( t) = ist aber: (, sin( t) ) = sin t ( cos( t), sin( t) ) = cos( t)sin( t) dt = = ( cos ( t )) = dt sin ( t ) dt = 4 cos + cos ( ) = Die beiden Funktionen sind nicht mehr orthogonal. Für ihre Norm ergibt sich: cos t = cos t cos( t) = 4 (, cos( t) ) = cos t dt = 4

25 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum sin t = sin t sin( t) = 4 (, sin( t) ) = sin t dt Die Längenhaben sich auch verändert. Wir können nun auch den Zwischenwinkel ausrechnen: cos γ = ( cos ( t ), sin ( t )) cos t sin( t) = 4 4 = = 4 γ = arccos( ) Orthonormale Basis 8. Orthonormalisierungsverfahren Wir bauen eine beliebige Basis aus linear unabhängigen Vektoren v, v, v 3,, die aber weder orthogonal noch normiert sein müssen, in eine orthonormale Basis b, b, b 3, um. Dabei versuchen wir, uns möglichst eng an die ursprüngliche Basis v, v, v 3, anzulehnen. Beim ersten Vektor brauchen wir bloß die Länge zu justieren: v b = v b v Normierung des ersten Vektors Beim zweiten Vektor muss auch die Richtung in Ordnung gebracht werden. S v b F v Es ist Der Weg zum zweiten Vektor OF = v cos γ b

26 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 3 Wegen cos( γ ) = Daher ist: v b v ist: OF = v cos ( γ ) b = v b v b Schließlich ergibt sich durch Normierung: b ( b ) b F S = v OF = v v = F S b = F S b b v v b v v b Der Vektor b hat zwar nicht dieselbe Richtung wie der Vektor v, liegt aber in der durch die Vektoren v und v aufgespannten Ebene. Beim dritten Vektor geht es so: S 3 v 3 b v S b v S b b F 3 F v Vorstoßen in den dreidimensionalen Raum Der Vektor v 3 liegt wegen der linearen Unabhängigkeit nicht in der durch die Vektoren v und v aufgespannten Ebene. Er ist in der Regel aber auch nicht orthogonal dazu. Für den Vektor OF 3 finden wir: OF 3 = ( v 3 b ) b + und daraus: b 3 = ( v 3 b ) b v 3 v ( 3b ) b + v ( ( 3b ) b ) v 3 v 3b b + v ( ( 3b ) b ) F v

27 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 4 Allgemein gilt: b = b k = v v v k v k k j= k j= ( v kbj ) b j ( v kbj ) b j Der Vektor b k liegt in dem durch die Vektoren v,, v k aufgespannten Unterraum und ist orthogonal zu Unterraum, der durch die Vektoren v,, v k aufgespannt wird. 8. Entwicklung eines Vektors u = ( u b ) b + ( u b ) b + + ( u b n ) b n = n j= ( u b j ) b j 8.3 Die Legendreschen Polynome Als Beispiel zur Orthonormierung einer Basis nehmen wir im Vektorraum der Potenzfunktionen die Basis v ( x) =, v ( x) = x, v ( x) = x,,v n ( x) = x n,. Die Funktionen dieser Basis werden mit dem Funktionsgrad ab Null nummeriert. Ferner verwenden wir das Skalarprodukt ( f, g) = f ( x)g x dx mit dem Integrationsintervall [, ]. Die Basis ist mit diesem Skalarprodukt nicht orthonormiert. Wir müssen also den Orthonormierungsprozess anwenden und erhalten: 8.3. Grad Null bis Grad Null v ( x) = v = dx = b =

28 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Grad v ( x) = x ( v, b ) = x dx = Das Integral ist Null, da der Integrand eine ungerade Funktion ist und das Integrationsintervall symmetrisch zum Nullpunkt. Daher ist: v ( v, b )b = v = x v ( v, b )b = x dx = 3 b b = v v, b = ( 3 )b x v v, b Grad v ( x) = x ( v, b ) = v, b x dx = 3 = (ungerader Integrand) = x 3 + v ( v, b )b + ( v, b )b = x 3 v ( v, b )b + ( v, b )b b = 45 8 ( x 3) = 5 ( 3x ) = x 3 dx = 8 45

29 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Grad 3 In den folgenden Rechnungen verschwindet jedes zweite Integral wegen ungeradem Integranden Grad 4 v 3 ( x) = x 3 = v 3, b ( v 3, b ) = 3 ( v 3, b ) = x 4 dx = 3 5 = x v 3 ( v 3, b )b = x x v 3 ( v 3, b )b b 3 = 75 8 v 4 ( x) = x 4 ( v 4, b ) = ( v 4, b ) = 3 x = x3 3 5 x dx = 8 ( x x ) = 7 5x3 3x x 4 dx = 5 ( v 4, b ) = 5 = ( 3x 6 x 4 ) dx = v 4, b 3 v 4 ( v 4, b )b + ( v 4, b )b = x x + 3 x x b 4 = Grad 5 Eine analoge Rechnung liefert: dx = x x = 8 5 ( x x ) = x4 3x + 3 v 5 ( x) = x 5 b 5 = 8 63x5 7x 3 + 5x

30 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Feststellungen und Kommentare Die Polynome sind abwechslungsweise gerade und ungerade. weglassen, bleiben die so genannten Legendere- Wenn wir den Wurzelfaktor n+ sche Polynome übrig: Adrien-Marie Legendre, = = x P x P x P ( x) = 3x P 3 ( x) = 5x3 3x P 4 ( x) = 8 35x4 3x + 3 P 5 ( x) = 8 63x5 7x 3 + 5x Die Legendreschen Polynome sind zwar noch orthogonal, aber nicht normiert. Die Norm ist das Quadrat des Kehrwertes des weggelassenen Wurzelfaktors n+ gilt: für m n P n ( x)p m ( x) dx = n+ für m = n Die Legendreschen Polynome haben aber eine andere Normeigenschaft. Es ist: P n = P n ( ) = ( ) n. Es

31 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum 8 y - - x - 9 Zusammenfassung Legendresche Polynome für n =,,, 3, 4, 5 9. Skalarprodukt zweier Funktionen b ( f, g) = f ( t)g( t)dt a 9. Orthonormales Funktionensystem [ ] Bezugsintervall, (konstante Funktion) cos( nt), n =,, 3,... sin( nt), n =,, 3, Fourier-Koeffizienten und Fourier-Entwicklung a = a k = b k = f ( t) dt f ( t)cos( kt) dt k =,,3,... f ( t)sin( kt) dt k =,, 3,... f ( t) a + f ( t) = a + n k= k= a k cos kt a k cos kt n + k= + k= b k sin( kt) b k sin( kt)

32 Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum Allgemeine Periodenlänge a k = T b k = T T T f ( t) = a f t f t cos( kωt )dt ; k =,,, sin( kωt )dt ; k =,, ( sin ( kωt )) + a k cos kωt k= + b k 9.5 Vektorraum. Vektoraddition a) u + v = v + u (Kommutativität) b) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w (Assoziativität) c) Es gibt einen Nullvektor: u + = + u = u d) Es gibt zu jedem Vektor einen Gegenvektor:. Skalare Multiplikation: a) c( u + v ) = cu + cv (Distributivität) b) ( c + d) u = cu + du (Distributivität) c) c( du ) = ( cd) u (Assoziativität) d) u = u (Neutralelement) u + u (Inverses) = 9.6 Skalarprodukt und Norm a) u v = v u (Kommutativität) b) u ( v + w ) = u v + u w (Distributivität) c) c( u v ) = ( cu ) v = u ( cv ) d) u u > falls u = falls u = Die Länge (Betrag, Norm): u = u u Zwischenwinkel γ : cos( γ ) = u v u v