Klassifikation diskreter Isometrien
|
|
- Astrid Knopp
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Klassifikation diskreter Isometrien der Ebene Konrad Schöbel Mathematisches Institut Friedrich-Schiller-Universität Jena
2 Motivation Quelle: Wikipedia
3 Ziel Wir möchten die möglichen Symmetrien einer solchen Pflasterung beschreiben.
4 Wiederholung: Gruppen Definition Definition (G, ) Gruppe : 1. G Menge, : G G G binäre Operation 2. Assoziativität: g 1, g 2, g 3 G : (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) 3. neutrales Element: e G g G : 4. inverse Elemente: g G g 1 G : e g = g = g e g g 1 = e = g 1 g
5 Wiederholung: Gruppen Beispiele Beispiele orthogonale Gruppe: Drehungen und Geradenspiegelungen O(R 2 ) = { } g : R 2 R 2 : g(x) = Rx, R T R = Id Translationen: T (R 2 ) = {g : R 2 R 2 : g(x) = x + v, v R 2} Isometriegruppe: abstandstreue Abbildungen Isom(R 2 ) = {g : R 2 R 2 : g(x) = Rx + v, R T R = Id, v R 2} Untegruppe von Isometriegruppe
6 Wiederholung: Gruppen Beispiele R T R = Id +1 orientierungserhaltend det R = 1 orientierungsumkehrend Beispiele spezielle orthogonale Gruppe: Drehungen SO(R 2 ) = { g O(R 2 ) : g(x) = Rx, det R = +1 } orientierungserhaltende Isometrien Isom + (R 2 ) = { g Isom(R 2 ) : g(x) = Rx + v, det R = +1 }
7 Motivation Quelle: Wikipedia
8 Beobachtungen Symmetrien Gruppe G Die Kacheln sind alle kongruent. Untergruppe der Isometriegruppe: G Isom(R 2 ) Die Kacheln sind nur auf einer Seite bemalt. orientierungserhaltende Isometrien: G Isom + (R 2 ) Die Kacheln häufen sich nicht an einer Stelle. Schwerpunkte bilden diskrete Menge. }{{} wird erklärt
9 Diskrete Mengen Definition M R 2 diskret : p M ε > 0 : M B ε (p) = {p} wobei B ε (p) := {x R 2 : x p < ε} die Kugel um p mit Radius ε ist. Beispiele Endliche Teilmengen sind diskret. {(1/n, 0) : n N } diskret. {(1/n, 0) : n N } {(0, 0)} nicht diskret.
10 Orbits Definition G Isom(R 2 ) Untergruppe Gp := { g(p) R 2 : g G } G-Orbit des Punktes p R 2 Beispiele G = O(R 2 ), p O G = O(R 2 ), p = O G = T (R 2 ) G = Z 2 T (R 2 )
11 Diskrete Gruppenwirkungen Definition Eine Untergruppe G Isom(R 2 ) wirkt diskret : p R 2 : Gp diskret in R 2 Beispiele Jede endliche Gruppe wirkt diskret. O(R 2 ) wirkt nicht diskret. T (R 2 ) wirkt nicht diskret. Z 2 T (R 2 ) wirkt diskret. Q 2 T (R 2 ) wirkt nicht diskret.
12 Motivation Quelle: Wikipedia
13 Ziel Mathematische Formulierung Klassifikation der diskreten Untergruppen der ebenen Isometriegruppe G Isom(R 2 )
14 Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Wir unterscheiden diskrete Untergruppen G Isom(R 2 ) nach: orientierungserhaltend oder nicht G Isom + (R 2 ) G Isom + (R 2 ) der Anzahl # der Translationsrichtungen # Translationen G Isom(R 2 ) 0 nur die triviale Punktgruppen 1 in nur einer Richtung Friesgruppen 2 in mehreren Richtungen Ornamentgruppen
15 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
16 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
17 Orientierungserhaltende Punktgruppen Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält keine nichttriviale Translation: T := G T (R 2 ) = {Id} Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine Gruppe von Rotationen um Vielfache von 2π n für ein n N um ein und das selbe Drehzentum. Insbesondere ist G endlich.
18 Wir betrachten zwei nichttriviale ebene Drehungen g 1, g 2 mit den Drehzentren z 1, z 2. Diese haben die Gestalt g i (x) = R i (x z i ) + z i i = 1, 2 mit R i = R(α i ) für 0 < α i < 2π, wobei ( ) cos α sin α R(α) =. sin α cos α Wir berechnen das Produkt g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 : g 1 g 2 g 1 1 g 1 (x) = g 2 1 (g 2 (g 1 (g 1 (x)))) 1 2 = R 1 (R 2 (R 1 1 = R 1 R 2 R 1 1 (R 1 (x z 2 2 ) + z 2 z 1 ) + z 1 z 2 ) + z 2 z 1 ) + z 1 R 1 (x z 2 2 ) + R 1 R 2 R 1 (z 1 2 z 1 ) + R 1 R 2 (z 1 z 2 ) + R 1 (z 2 z 1 ) + z 1.
19 Wie man leicht nachrechnet, ist R 1 R 2 = R(α 1 )R(α 2 ) = R(α 1 + α 2 ), weshalb R 1 und R 2 vertauschen: R 2 R 1 = R 1 R 2. Folglich ist R 1 R 2 R 1 R 1 R 2 R 1 1 = R 2 R 1 R 1 1 g 1 g 2 g R 1 = R 2 und somit 2 = R 2 R 1 R 1 1 R 1 2 = Id sowie g 1 (x) = (x z 2 2 ) + R 2 (z 2 z 1 ) + R 1 R 2 (z 1 z 2 ) + R 1 (z 2 z 1 ) + z 1 = x + (R 1 Id)(R 2 Id)(z 1 z 2 ). Dies ist offensichtlich eine Verschiebung. Da G eine Gruppe ist, liegt mit g 1, g 2 auch g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 wieder in G.
20 Nach Voraussetzung enthält G aber nur Drehungen. Damit muss diese Verschiebung trivial sein. Das heisst, der Verschiebungsvektor verschwindet: (R 1 Id)(R 2 Id)(z 2 z 1 ) = 0. ( ) Weil wir zwei nicht triviale Drehungen g 1 und g 2 betrachtet haben, sind α 1 und α 2 von Null verschieden, die Matrizen (R 1 Id) und (R 2 Id) wegen det(r i Id) = det ( ) cos αi 1 sin α i = 2(1 cos α sin α i cos α i 1 i ) 0. also invertierbar. Multiplizieren wir ( ) von links mit den Inversen (R 1 Id) 1 und (R 2 Id) 1, so erhalten wir z 1 z 2 = 0. Damit ist z 1 = z 2. Da die beiden Drehung g 1, g 2 ansonsten beliebig waren, haben alle Drehungen in G das selbe Drehzentrum und der Satz ist bewiesen.
21 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
22 Orientierungserhaltende Friesgruppen Klassifikation Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält Translationen in genau einer Richtung v 0: g T := G T (R 2 ) λ R : g(x) = x + λv Bsp. Die folgende zwei Untergruppe der Isom + erfüllt diese Voraussetzungen: die Gruppe generiert durch eine Translation sowie die Gruppe generiert durch zwei Punktspiegelung bzgl. verschidenen Centren. Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine der beiden orientierungserhaltenden Friesgruppen. Lemma
23 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
24 Dann enthält G Translationen in nur zwei Richtungen. Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Klassifikation Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält Translationen in mehr als einer Richtung Bsp. Die Gruppe generiert durch 2 linear unabhängigen Translationen sowie eine Drehung durch Winkel 0, π 4, π 3, π oder π erfüllt die Voraussetzungen 2 Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine der fünf orientierungserhaltenden Ornamentgruppen. Lemma Sei G Isom(R 2 ) eine Gruppe mit den obigen Eigenschaften und T := G T (R 2 ) die Untergruppe der Translationen in G.
25 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
26 Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) G Isom + (R 2 ) Isom(R 2 ) Punktgruppen C n C n & D n Friesgruppen 2 7 Ornamentgruppen 5 17
27 Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen
28 Verallgemeinerungen Raumgruppen: höhere Dimensionen Bravais-Gitter irreguläre Pflasterungen: Quasigruppen andere Räume Sphäre hyperbolischer Raum Torus... Quasikristalle und
4 Orthogonale Endormorphismen
4 Orthogonale Endormorphismen Frage: Bei welchen Abbildungen R R bzw. R 3 R 3 bleibt der Abstand zwischen zwei Punkten erhalten? Für α R setzen wir cosα sin α D(α) = und S(α) := sin α cosα ( cos α sin
MehrD-MATH Tommaso Goldhirsch. Serie 3
Serie 3 Aufgabe 1 Sei G eine Gruppe und X eine Teilmenge von G. Die von X erzeugte Untergruppe von G ist die kleinste Untergruppe von G die X enthält. (Dass es eindeutig eine "kleinste" gibt wird in der
Mehr44 Orthogonale Matrizen
44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität
MehrSymmetrie von Ornamenten
Symmetrie von Ornamenten Teilnehmer: Theresa Lechner Alexey Loutchko Dennis Menge Simon Reinke Fynn Strohecker Thimo Wellner Gruppenleiter: Jürg Kramer Anna v. Pippich Gymnasium Ernestinum, Coburg Heinrich-Hertz-Oberschule,
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix
MehrPlan für Heute/Morgen
Plan für Heute/Morgen Kongruenzsätze: aus der Schule wissen wir die SSS, SWS, und SSW Kongruenzsätze für Dreiecke: Wir wollen diese Sätze im Rahmen unseres Modells (wenn Punkte die 2 Tupel von reellen
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 2 WINTERSEMESTER 2017/18 *#$?!! Kapitel 5. Symmetrie. Michael Wand Institut für Informatik.
Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am Rechner 2 WINTERSEMESTER 2017/18 *#$?!! Kapitel 5 Symmetrie Symmetrie Geometrische Symmetrie Beispiele Symmetrische geometrische Objekte (2D)
MehrDie Klassifikation der sieben Friesgruppen
Mathematisches Institut Heinrich-Heine Universität Düsseldorf Dr. Steffen Kionke Proseminar: Kristallographische Gruppen WS 2014/15 Die Klassifikation der sieben Friesgruppen Dieser Text behandelt die
Mehr2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe,
Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 133 2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe, Friesgruppen In diesem Abschnitt ist wie bisher ein euklidischer (Vektor-)Raum E
Mehr5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2
5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 Notation. Wir erinnern an die affine Ähnlichkeit von Matrizen (5.3.8): L 1, L 1 AM n (K). Dann: L 1 a L 2 falls C AGL n (K) mit C 1 L 2 C = L 1. Die aus 3.2.9 bekannte
Mehr3 Strukturen aus der Algebra: Gruppe, Ringe, Körper
3 Strukturen aus der Algebra: Gruppe, Ringe, Körper 3.1 Gruppen Vergleicht man die Gesetze (A1 (A4 und (M1 (M4, so stellt man eine grosse Ähnlichkeit in den Strukturen fest. Man kann das zugrundeliegende
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
Mehr1 Rechnen mit 2 2 Matrizen
1 Rechnen mit 2 2 Matrizen 11 Produkt Wir berechnen das allgemeine Produkt von A = Für das Produkt gilt AB = a11 a 12 a 21 a 22 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12
MehrLineare Transformationen und Determinanten. 10-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Transformationen und Determinanten 10-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Transformation cc Definition: V und W sind zwei Vektorräume. Eine Funktion T nennt man eine lineare Transformation von V
MehrWie werden die Vorlesungen/Übungen organisiert?
Wie werden die Vorlesungen/Übungen organisiert? Mein Name: Prof. Vladimir Matveev Sprechstunden: nach jeder Vorlesung bzw. in der Pause Homepage der Vorlesung: http: //users.minet.uni-jena.de/ matveev/lehre/la10/
MehrJede symmetrische Bilinearform b definiert eine quadratische Form q durch. q(x) := b(x, x).
1 Kapitel 1 Clifford-Algebren 1 Innere Produkte Sei k {R, C}, V stets ein endlich-dimensionaler k-vektorraum. Fehlende Beweise finden sich in der Literatur ([Art1], [Bou1], [Brie], [Cohn]). Definition.
MehrSymmetrische Figuren von Prof. Dr. Frank
Symmetrische Figuren von Prof. Dr. Frank Eckhard Großmann November 3, 2009 1 Mathematische Formeln und Darstellungen vorweggegriffen Dieses Kapitel soll nochmal alle notwendigen mathematischen Grundlagen
MehrGruppentheorie I. Nils Gerding WS 2008 / Proseminar Lineare Algebra - O. Bogopolski Technische Universität Dortmund
Gruppentheorie I Nils Gerding WS 2008 / 2009 Proseminar Lineare Algebra - O. Bogopolski Technische Universität Dortmund 1 Gruppen - Einführung 1.1 Denition: Die Gruppenaxiome Eine Menge G heiÿt Gruppe,
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg,
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg, Gliederung 4 Invarianten Isometrien (Kongruenzen) Ähnlichkeitsabbildungen Affine Transformationen Projektive Transformationen 2 von
MehrSkalarprodukt, Norm & Metrik
Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1
MehrLineare Algebra I Lösungsvorschlag
Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und
Mehr3 Geometrische Klassifikation der Bewegungen im R 2 und R 3
3 Geometrische Klassifikation der Bewegungen im R 2 und R 3 Sei f : R n R n eine Bewegung Sie kann beschrieben werden in der Form Dabei ist T (f)(x) = A x f(x) = Ax + b mit A O(n) und b R n Definition:
Mehr5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2
5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 Notation. Wir erinnern an die affine Ähnlichkeit von Matrizen (5.3.(ii)): L, L n (K). Dann: L a L 2 falls C AGL n (K) mit C L 2 C = L. Die aus 3.2.9 bekannte übliche
MehrLineare Algebra I 3. Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen
Lineare Algebra I Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen Fachbereich Mathematik WS / Prof Dr Kollross November Dr Le Roux Dipl-Math Susanne Kürsten Aufgaben Aufgabe G (Die zweite Variante des Gauß-Algorithmus)
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 10.12.2013 Alexander Lytchak 1 / 15 Motivation Für das Verständis affiner Teilräume eines Vektorraums sind Translationen
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrSeminararbeit. Orthogonale Gruppen. Marvin K. Neugebauer. 15. Juli 2010
Seminararbeit Orthogonale Gruppen Marvin K Neugebauer 15 Juli 2010 Prof Dr Schwachhöfer Lehrstuhl für Differentialgeometrie Proseminar Lineare Algebra SS 2010 Dank an Rafael Kawka für die Hilfe bei der
Mehr5.3 Typen und Klassifikation affiner Abbildungen
53 Typen und Klassifikation affiner Abbildungen Definition 531 Sei A ein AR und Aff(A) die Gruppe der Affinitäten von A τ Aff(A) heißt Translation falls p, q A gilt: pτ(p) = qτ(q) Der dann von der Wahl
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 10 Bewegungen Wir haben schon mehrfach die Würfelgruppe betrachtet, also die Gruppe der eigentlichen Symmetrien an einem Würfel.
MehrMathematik für die Sekundarstufe 1
Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 203 Zusammensetzung von Geradenspiegelungen Symmetriegruppen Hans Walser: Modul 203, Zusammensetzung von Geradenspiegelungen. Symmetriegruppen ii Inhalt
MehrHausaufgabenüberprüfung 1 zu Mathematische Strukturen Hagen Knaf, SS 2016
Hausaufgabenüberprüfung 1 zu Mathematische Strukturen Hagen Knaf, SS 2016 Lösungen Aufgabe 1: Betrachten Sie die Menge H aller Abbildungen f : R 2 R 2 der Form f(x) = Ax + b, A R 2 2, b R 2. (1) Zeigen
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.24 2017/05/18 11:18:04 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe In diesem Abschnitt wollen wir die Automorphismengruppe der euklidischen
MehrDarstellungstheorie. Manfred Hörz
Darstellungstheorie Manfred Hörz Die (lineare) Darstellungstheorie versucht schwer zu durchschauende Eigenschaften von gewissen Gruppen (oder Algebren) durch strukturerhaltende Abbildungen auf Matrizen,
MehrTransformation mehrdimensionaler Integrale
Transformation mehrdimensionaler Integrale Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation g eines regulären Bereiches U R n mit det g (x), x U, gilt für stetige Funktionen f : f g det g du
MehrExkurs: Klassifikation orthogonaler 2 2-Matrizen.
Exkurs: Klassifikation orthogonaler 2 2-Matrizen. Aussage: Es gilt: (a) Jede orthogonale 2 2 Matrix A mit det(a) = 1 hat das Aussehen cos(α) sin(α) D(α) = sin(α) cos(α), wobei α [0,2π[. Ist sin(α) 0, so
MehrGeometrie Teile einer Vorlesung im FSS 2014 Mannheim
Geometrie Teile einer Vorlesung im FSS 2014 Mannheim Claus Hertling 28.05.2014 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 2 1 a Begriffe der affinen Geometrie 3 1 b Der euklidische Raum: [AF11, Kap 1] 9 2 Elementargeometrische
MehrTutorium zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II Bearbeitungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 08 Blatt 9.06.08 Tutorium zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II Bearbeitungsvorschlag 33. a Es ist cos ϕ sin ϕ cos
MehrProgramm des Hauptseminars Symmetrie
Programm des Hauptseminars Symmetrie Prof. Dr. Irene Bouw Universität Ulm Institut für Reine Mathematik SS 2008 irene.bouw at uni-ulm.de Vortrag 1: Einführung (2 Personen) Dieser Vortrag soll eine Einführung
MehrNeues Thema: abstrakte Algebra: Gruppen- und Körpertheorie
Neues Thema: abstrakte Algebra: Gruppen- und Körpertheorie Def. Eine Gruppe besteht aus einer nicht leeren Menge G und einer Abbildung : G G G (wir werden a b oder ab statt (a,b) schreiben; die Abbildung
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
Mehr02. Vektorräume und Untervektorräume
02. Vektorräume und Untervektorräume Wir kommen nun zur eigentlichen Definition eines K-Vektorraums. Dabei ist K ein Körper (bei uns meist R oder C). Informell ist ein K-Vektorraum eine Menge V, auf der
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 2 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 28. Oktober.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 2 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 28. Oktober http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Im Folgenden
MehrSchnitte von Fraktalen
Inhalt Eingliederung Vorwort matthias.schmid@uni-ulm.de 12. Dezember 2006 Inhalt Eingliederung Vorwort 1 Einleitung Inhalt Eingliederung Vorwort 2 Bewegung Isometrie Maße von Bewegungen 3 Satz 1 Bild eines
MehrMusterlösung zur Serie 10
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 1 Prof. Giovanni Felder, Thomas Willwacher Musterlösung zur Serie 1 1. a) Zur Erinnerung: Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation, die die
MehrInvariantentheorie. Bewegungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 21 In den folgenden Vorlesungen werden wir die endlichen Untergruppen G SL 2 (C) und ihre Invariantenringe klassifizieren. Dieses
MehrLösungshinweise zu den Hausaufgaben:
S. Hagh Shenas Noshari, 9. Gruppenübung zur Vorlesung S. Nitsche, C. Rösinger, A. Thumm, D. Zimmermann Höhere Mathematik Wintersemester 8/9 M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 33.
MehrKapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
MehrNeues Thema: abstrakte Algebra: Gruppen- und Körpertheorie
Neues Thema: abstrakte Algebra: Gruppen- und Körpertheorie Def. Eine Gruppe besteht aus einer nicht leeren Menge G und einer Abbildung : G G G (wir werden a b oder ab statt (a,b) schreiben; die Abbildung
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
Mehr1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit
19 1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit Definition Sei A n der affine Standardraum zum Vektorraum R n. Eine Abbildung F : A n A n heißt Isometrie, falls d(f (X), F (Y )) = d(x, Y ) für alle X, Y A n gilt. Es
Mehr9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)
MehrSatz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum
Orthogonalität 123 Dienstag, 27. April 04 Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum U von V gilt dann (a) U + U = V, U U = {0}, U, U = 0. (b) (U ) = U. Wir sagen
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrPrüfung Lineare Algebra 2
1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Körper, Ringe und Gruppen
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 6 27.11.2006 Körper, Ringe und Gruppen Z13 Gruppen Seien GL
Mehr10 Untermannigfaltigkeiten
10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und
MehrGeometrie Teile einer Vorlesung im FSS 2016 Mannheim
Geometrie Teile einer Vorlesung im FSS 2016 Mannheim Claus Hertling 08.02.2016 Contents 0 Einleitung 2 1 Begriffe der affinen Geometrie 3 2 Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften: [AF15,
MehrLineare Algebra I 14. Tutorium Lineare Abbildungen und Matrizen
Lineare Algebra I 4 Tutorium Lineare Abbildungen und Matrizen Fachbereich Mathematik WS / Prof Dr Kollross 7 Februar Dr Le Roux Dipl-Math Susanne Kürsten Aufgaben Aufgabe G (Bewegungen im ) Als Bewegung
MehrGruppen, Graphen, Symmetrie Was sind negativ gekrümmte Gruppen?
Gruppen, Graphen, Symmetrie Was sind negativ gekrümmte Gruppen? MNU-Landestagung. 02/2012. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Überblick Zwei Paradigmen der modernen (theoretischen)
MehrDefinition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. x cosξ sinξ y sinξ cosξ
8 Gruppentheorie 1 Lie-Gruppen 1.1 Endliche kontinuierliche Gruppe Definition 1.1. Eine Menge G mit einer Verknüpfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt sind: (i) Die Operation m, genannt Multiplikation,
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
MehrÜbersicht Kapitel 9. Vektorräume
Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten
MehrKristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2
Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2 1 Kristallstruktur und Teil I Scripte Mikrostruktur http://www.uni-stuttgart.de/mawi/aktuelles_lehrangebot/lehrangebot.html 2 Wiederholung Koordinatensysteme
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrKristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2
Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2 1 Kristallstruktur und Teil I Scripte Mikrostruktur http://www.uni-stuttgart.de/mawi/aktuelles_lehrangebot/lehrangebot.html 2 Wiederholung Koordinatensysteme
MehrPrüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2
Mehrgegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren
Stefan K. 4.Übungsblatt Algebra I Aufgabe 1 gegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler von G zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren Beweis: Seien
MehrGerade, Strecke, Halbgerade, Winkel (in (R n,, ))
Gerade, Strecke, Halbgerade, Winkel (in (R n,, )) A B Winkel Gerade Halbgerade Strecke A A A Gerade ist Punktmenge L A,v := {A+t v t R}, wobei v 0. Halbgerade (Strahl) ist Punktmenge H A,v := {A+t v t
MehrEXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen
Mehr2. Isotropie. Beweis: (i) (ii): β U ist nicht ausgeartet. U U = {0} (ii) (iii): β U ist nicht ausgeartet. Da β nicht ausgeartet ist, gilt U = U:
2. Isotropie Im folgenden sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Es sei q eine quadratische Form darüber und β die zugehörige symmetrische Bilinearform. Zudem gelte in K: 1 + 1 0. Notation 2.0: Wir nennen
MehrM U = {x U f 1 =... = f n k (x) = 0}, (1)
Aufgabe 11. a) Es sei M = {(x, y, z) R 3 f 1 = xy = 0; f = yz = 0}. Der Tangentialraum T x M muss in jedem Punkt x M ein R-Vektorraum sein und die Dimension 1 besitzen, damit diese Menge M eine Untermannigfaltigkeit
MehrKapitel V. Räumliche Geometrie. 1. Drehungen
Kapitel V Räumliche Geometrie 1. Drehungen Punkte in R 3 sind durch 3 Koordinaten (x 1,x 2,x 3 ) bestimmt. Wir benützen die Matrix-Schreibweise x 1 x = x 2 x 3 Eine Drehung um die Koordinatenachse x 3
Mehr09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen
09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ
MehrMathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3. Dr. Hermann Dürkop
Mathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3 Dr. Hermann Dürkop E-Mail: info@ermanus.de .3.3 Noch zwei Isomorphie-Beispiele Beispiel : Wir betrachten die Symmetrien eines nichtquadratischen Rechtecks.
MehrAffine Eigenschaften ( stets K = R)
Affine Eigenschaften ( stets K = R) Def. 15 Sei M eine Teilmenge eines affinen Raums A über V (über K). Eine Eigenschaft der Menge M heißt affin, wenn für jede Affinität F : A A 1 die Bildmenge {F(a)wobei
MehrLineare Abbildungen und Matrizen
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume
MehrDie fünfte Grundrechenart kein Aprilscherz!
der fünften Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 1 April 2011 Vorlesung Analysis III, nach dem Skript von Urs Kirchgraber der fünften Die fu nfte Mentor beim Wechsel von Zu rich Ju rg
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
MehrSatz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.
Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen
MehrMengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge
Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge Def. Seien A, B Mengen. Wir sagen, dass A höchstens gleichmächtig zu B ist, falls es eine injektive Abbildung f : A B gibt. Schreibweise: A B. Wir sagen,
Mehr2 Spiegelungen. d(f(p), f(q)) = d(p, q) für alle p, q R n
2 Siegelungen Definition: f : R n R n heißt Bewegung (Isometrie), wenn f Abstände erhält, dh wenn d(f(), f(q)) = d(, q) für alle, q R n Kaitel IV, Satz 32: f ist genau dann eine Bewegung, wenn es eine
MehrGeometrische Abbildungen der Ebene
Geometrische Abbildungen der Ebene Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 29 Bezeichnungen Kongruenzabbildungen Spiegelungen Klassifikation aller Kongruenzabbildungen 2 / 29 Abbildung, Funktion, Transformation
MehrMathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Heimarbeitsblatt 14
Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker Wintersemester 3/4 Heimarbeitsblatt 4 Die Lösungshinweise dienen
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
MehrÜbungen zur Vorlesung. Einführung in Dynamische Systeme. Musterlösungen zu Aufgabenblatt 8
Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2010 Übungen zur Vorlesung Einführung in Dynamische Systeme Musterlösungen zu Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Die Hausdorff-Metrik
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 4): Kapitel Version: 9 Mai 4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben: A R n n mit det(a) b R n Gesucht: x R n mit Ax = b Zeilenäquilibrierung Möchten zunächst die Kondition des
MehrKapitel II Lineare Algebra und analytische Geometrie Stand 9. Januar 2011
Kapitel II Lineare Algebra und analytische Geometrie Stand 9 Januar 011 7 Bewegungen Wir betrachten jetzt Affinitäten in n unter Einbeziehung der Abstandsmessung Die Abstandsmessung in n beruht auf einem
Mehrg g 1 = g 1 g = e. (79)
B Anhang B B.1 Kristallographische Symmetriegruppen B.1.1 Definition Eine Menge G = {g 1, g 2,...,g k,... } von Elementen g k nennt man eine Gruppe, wenn die Verknüpfung (Operator: ) der Elemente g k die
MehrAufgabe 1. Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = 1). Es gilt det(λa) = (λ) n det(a).
Aufgabe Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = Es gilt det(λa = (λ n det(a det I n = n? Nein (außer für n = Es gilt deti n = det(ab = det A det B? Ja det(a =
MehrKapitel III: Vektorräume
apitel III: Vektorräume 6 Vektorräume und Unterräume Definitionen und Beispiele In diesem Paragraphen kommen wir nun endlich zurück auf die in 1 erörterten Beispiele und behandeln diejenige Struktur, die
MehrSymmetrie. Wiederholung in der Geometrie. Referat am Kolloquium Wiederholung der Schweiz. Ges. für Symbolforschung. Martin Huber
Symmetrie Wiederholung in der Geometrie Referat am Kolloquium Wiederholung der Schweiz. Ges. für Symbolforschung Martin Huber Symmetrie Wiederholung in der Geometrie Ablauf 1. Wiederholung in der Mathematik
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrNicht-Euklidische Geometrie (Weiss) WS Vorlesungsnotizen, Woche 7
04.12.2015 Nicht-Euklidische Geometrie (Weiss) WS 2015-16 Vorlesungsnotizen, Woche 7 7.1. Ein paar Ungleichungen für Abstände I.3.7 bis I.3.8. im Buch. Dazu ein paar neue Vokabeln: Unter einem Dreieck
MehrAnalytische Geometrie
21 Vorlesungen über Analytische Geometrie für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Mittel- und Realschule Jens Jordan Universität Würzburg, Wintersemster 2015/16 Hier kommt noch ein schönes Bildchen
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
Mehr