Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2

Transkript

1 Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 2 1

2 Kristallstruktur und Teil I Scripte Mikrostruktur 2

3 Wiederholung Koordinatensysteme Ist das ein kristallographisches Koordinatensystem? 3

4 Wiederholung Beschreiben die Metrik-Tensoren g und g* vollständig eines Gitter? x g* = 0 x y 2 ; x y a* = x; b* = x, c* = y; a* = 90 o ; ß* = 90 o ; g* = 90 o V* = a*b*c* = x 2 y a = b*c*sing*/v* = b*c*.1/v* = 1/x; b = c*a*sinß*/v* = c*a*.1/v* = 1/x; c = a*b*sina*/v* = a*b*.1/v* = 1/y; a = b = 1/x c; c = 1/y; a = ß = g = 90 o Tetragonales Gitter 4

5 Wiederholung Quarz Chemische Formel SiO 2 Gitterparameter a = Å c = Å b =? a =? ß =? g =? Raumgruppe P oder P3 1 21? Atom coordinates Atom Multiplicity x/a y/b z/c (Vielzahl) Si 6 c O 6 c

6 Teil I (Kristallographie) 1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor 2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieelemente und Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und Punktsymmetriegruppen 3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von Translationen und Punksymmetrieoperationen 4 1-, 2- und 3D Raumgruppen 5 Beispiele von Raumgruppen, Einfache Kristallstrukturen 5 Makroskopische physikalische Eigenschaften der Kristallen Symmetrie Invarianz gegenüber Transformationen 6

7 Geometrische Transformationen Translationen Punktsymmetrie Operationen Raumgruppen Kristallstrukturen Vorlesungen 3 und 4 Vorlesung 2 Punktgruppen Symmetrie von Molekülen Äußerliche Symmetrie der Kristallen Symmetrie der physikalischen Eigenschaften 7

8 Quarz Punktgruppe 3 2 Nicht-zentrosymmetrische Gruppe Morphologie physikalische Eigenschaften Piezoelektrizität 8

9 Was ist eine Gruppe? Oktoberfest-Gruppe Beispiel I (die ganze Zahlen) m + n (2 + 3 = 5) Abgeschlossenheit 2. (m + n) + p = m + (n + p); (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Assoziativität 3. m + 0 = m; = 2 Neutrales Element 4. m + n = 0; 2 + (-2) = 0 Invertierbarkeit 9

10 Beispiel II (Rotationen) Rotation f = 120 o Rotation f 2 = 240 o Rotation o 1. Abgeschlossenheit f. f = f 2, f. f 2 = 1 2. Assoziativität f. (f.f) = (f.f).f 3. Neutales Element (1) ist Rotation auf 360 Grad 4. Invertierbarkeit f. f 2 = 1; (f ) -1 = f 2 ; (f 2 ) -1 = f 3 = {1, f, f 2 } ; Punkgruppe 3 10

11 Abstrakte Gruppe - Definition Gruppe G: Mathematische Struktur, besteht aus Elementen und Verknüpfungsregel (*) 1. Abgeschlossenheit: für jedes Element A, B von G, C = A*B ist auch Element von G 2. Neutrales Element E (1), E * A = A oder A * E = A für jedes A von G 3. Inverses Element für jedes A von G, Inverses Element A -1, A*A -1 = E 4. Assoziativität A*(B*C) = (A*B)*C 11

12 Gruppentheorie Ordnung der Gruppe G : die Zahl der Elementen in der Gruppe (kann endlich oder unendlich sein) Untergruppe U G: Teilmenge der Elementen von G die auch eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung von G ist. Triviale Untergruppe: {E} Abelsche Gruppe: Gruppe mit Kommutativgesetz A*B = B*A Gruppe der ganzen Zahlen ( = 3 + 2) Niels H. Abel 12

13 Gruppentafel Ordnung = 4 {E,A,B,C;*} E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E z.b. A*C=B A -1 = A weil A*A=E 13

14 Gruppentafel Beispiele A = E 14

15 Punktsymmetrie Operationen Drehachsen Drehinversionsachsen Punktsymmetriegruppen - die Gruppenelemente sind Punktsymmetrieoperationen 15

16 Drehachsen n Drehwinkel für eine n-zählige Drehachse ist f n = 360/n (1) kristallographische Drehachsen: n = 1, 2, 3, 4 oder 6!!!! 16

17 Nichtkristallographische Drehachsen 5 Drehachse 102m 8 Drehachse Ferrocene Molekül 17

18 Veranschaulichung der Nichtkompatibilität nichtkristallographischer Rotationen mit Translationssymmetrie

19 Drehachse 2 Drehwinkel: 180 Grad Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 2 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: Inverses Element: 2; 2 2 =1 Granat-Almadin Gruppentafel

20 Cl 37 20

21 Drehachse 3 Granat-Almadin Drehwinkel: 120 Grad Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 3 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: Gruppentafel

22 Drehachse 4 Granat-Almadin Drehwinkel: 90 Grad Neutrales Element E (1): 360 Grad Ordnug der Gruppe: 4 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: {2} 4 2 = 2 Gruppentafel

23 Drehachse 6 Drehwinkel: 60 Grad Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 6 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: {2}; {3} Kombinationen von Symmetrieoperationen 6 2 = 3; 6 4 =

24 Zyklische Gruppen Zyklische Gruppen Jedes Element G k eine Potenz von Erzeugerelement f ist G k = f k, k = 0, 1, G -1 ; G - Ordnung der Gruppe Gl (2a) {G} = {1, f, f 2, f 3, f G-1 } Inverses Element: (G k ) -1 = f -k Abelsche Gruppen - f m f n = f n f m = f m+n Gl (2b) Gl (2c) Drehachse n Erzeugerelement f n = 360/n {2} = {1,f 2 } {3} = {1, f 3, f 32 } {4} = {1, f 4, f 42, f 43 } {6} = {1, f 6, f 62, f 63, f 64, f 65 } 24

25 Drehinversionsachsen n Drehwinkel für eine n-zählige Drehinversionsachse ist f n = 360/n. Gl. (3) Kombinierte Symmetrieoperationen = Drehung * Punktspiegelung (Inversion) Kristallographische Drehinversionsachsen: n = 1, 2, 3, 4 und 6!!!! Inversionszentrum Spiegelebene Abb 138 aus Müller 25

26 Drehinversionsachse 1 Inversionszentrum Ordnung der Gruppe: 2 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: o MnSiO Gruppentafel

27 Drehinversionsachse 2 Spiegelebene (m) Drehwinkel: 180 o Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 2 Graphiscges Symbol der Achse: Untergruppen: Gips Inverses Element von m: m (m * m = 1) H 2 O O 1 H H 2 Gruppentafel m 1 m 1 1 m m m 1 m 27

28 Drehinversionsachse 3 Drehwinkel: 120 o Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 6 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: {1}; {3} C C Zyklische Gruppe G k = (3) k Ethane C 2 H 6 28

29 Drehinversionsachse 4 Drehwinkel: 90 o Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 4 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: {2} ( 4 ) 2 = 2 CCl Zyklische Gruppe 4 2 G k = (4) k 29

30 Drehinversionsachse 6 Drehwinkel: 60 o Neutrales Element E (1): 360 Grad Drehung Ordnung der Gruppe: 6 Graphisches Symbol der Achse: Untergruppen: {3}; {m} 2 1* 1 H 3 BO 3 Zyklische Gruppe G k = ( 6 ) k 3 30

31 Drehachsen - Zusammenfassung Inversionszentrum 31

32 Erzeugende Symmetrieelemente n n/m 2/m n2 3 2 nm 2mm n/m m 6/mmm 32

33 Erzeugende Symmetrieelemente 2=m nm 3m 33

34 Punktgruppe 2/m Oxalsäure Erzeugende Elemente: 2 und m C 2 O 4 H 2 Ordnung der Gruppe: 4 Untergruppen: {1},{2};{m} 1 = 2/m 2/m 1 2 m m m m 1 m m Gruppentafel

35 2/m 35

36 Punktgruppe 3 2 Erzeugende Elemente: 3 und 2 Ordnung der Gruppe: 6 Untergruppen: {2};{3} Drehachsen 2, 2 und 2 sind senkrecht auf der 3 Achse. 2 = Rotaion von 2 auf 120 Grad

37 3 2 37

38 Punktgruppe 2mm H 2 O z Erzeugende Elemente: 2 und miix Ordnung der Gruppe: 4 O y Untergruppen: {2};{m} H H miiy = miix * 2 x m Gruppentafel 2mm 1 2IIz miix miiy 1 1 2IIz miix miiy 2IIz 2IIz 1 miiy miix miix miix miiy 1 2IIz miiy miiy miix 2IIz 1 38

39 2mm 39

40 Punktgruppe 3 m Erzeugende Elemente: 3 + m II 3 Ordnung der Gruppe: 12 Untergruppen: {1}; {2}; {m}; {2/m}; {3}; {32}; {3m} 2= 3*m; Ethane 2 m m 40

41 3 m 41

42 Punktgruppe 6/m m m Erzeugende Elemente: 6 ; m 6; m 6 Ordnung der Gruppe: 24 Untergruppen: 18[ {62m}; {6mm}; {622}; {6/m} ] 2 m = 6* m 6; 2= m 6 * m 6 Benzene C 6 H 6 m m 6 42

43 6/m m m 43

44 Punktgruppe m3m ( 4 m3 2 m) Erzeugende Elemente: 4; 3 und m Ordnung der Gruppe: 48 SF 6 3 Granat-Almadin

45 m 3 m 45

46 Punktgruppe Symbol Kurze Form Lange Form 1 Symbol: 3 3 2/m 2/m 2 Symbole m 3 2/m 3 Symbole 2mm 2mm m 3 m 4/m 3 2/m s1 s2 s3 Rictung 1 Richtung2 Richtung 3 46

47 Die 32 Kristallographische Punktgruppen mit ihren gängigen (Kurz-)Symbolen /m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 2/m 3 4/m 3 2/m 47

48 Ordnung der Punktgruppe 3 m (12) 32; 3m und 3 (6) 2/m (4) 48

49 Kristallographische Punktgruppen (Kristallklassen) Punktgruppen Kristallsystem Blickrichtungen 1, 1 triklin 2, m, 2/m monoklin [010] 222, 2mm, mmm (2/m 2/m 2/m) orthorhombisch [100], [010], [001] 4, 4, 4/m tetragonal [001], [100], [110] 422, 4mm, 42m, 4/mmm (4/m 2/m 2/m) 3, 3 trigonal [001], [100], [110] (hex) 32, 3m, 3m (3 2/m) 6, 6, 6/m hexagonal [001], [100], [110] 622, 6mm, 62m, 6/mmm (6/m 2/m 2/m) 23, m3 (2/m 3) kubisch [100], [111], [110] 432, 43m, m3m (4/m 3 2/m Beispiele 49

50 Kristallformen Vivanite (Mexico) 2/m Pyrite FeS 2 2/m Mackayite (USA) 4/m 2/m 2/m 4 Garnet 4/m 3 2/m m 50

51 Analytische Darstellung von Punktgruppen x x y = T y Gl (4) z z Z x = T 11 x + T 12 y + T 13 z x,y,z Y {G } { T } Gl. (5) x,y,z X 51

52 Drehmatrizen Drehungen um die kartesischen Koordinatenachsen Drehung um die Z-Achse um Winkel f cos(f) -sin(f) 0 T(f) = -sin(f) cos(f) Gl (6a) Drehung um die X-Achse um Winkel f T(f) = 0 cos(f) -sin(f) Gl (6b) 0 -sin(f) cos(f) Drehung um die Y-Achse um Winkel f cos(f) 0 -sin(f) T(f) = Gl (6c) -sin(f) 0 cos(f) 52

53 Analytische Darstellung von Punktgruppen Beispiele 4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4 Z f = 90 o, Gl (6a) Z T = X Y 6-zählige Drehachse parallel zu Y; 6 Y f = 60 o, Gl (6c) T = X Z Y 53

54 Analytische Darstellung von Punktgruppen Inversionzentrum (0,0,0) Drehinversionsachsen T i = Gl (7) T = T i * T(f) Gl (8) T(m X) = Spiegelebene m senkrecht auf der X Aches m = 1*2 f = 180 o, von Gl. (7), Gl. (6b) und Gl. (8) = Gl (9) Kleber, S