Symmetrie in Physik und Technik

Transkript

1 Symmetrie in Physik und Technik Wolfgang Herfort Wien 21.Mai 2012 Bildung im Resselpark

2 At the deepest level, all we find are symmetries and responses to symmetries. Steven Weinberg (1933-) Dirac Memorial Lecture (1986)

3 Salz

4 Molekülstruktur Salz Chloridionen gelb, Natriumionen rot

5 Fulleren C60... ist das nicht

6 Modell eines C60 Moleküls aus Luftballons

7 C60 Molekül geplättet

8 Max von Laue

9 Benard-Problem schematisch

10 Draufsicht auf Benardzellen

11 Plattentektonik

12 Konvektionszellen auf der Sonne NASA

13 Wo steht die Mathesis? Mathematische Modellierung des Beginns des Prozesses bisher nicht gelungen. Rolle der Gravitation unklar. (Benard Problem): Boussinesque Strömungsgleichungen keine Möglichkeit lokale Zufälligkeiten der Strömung auszudrücken wegen Kontinuumshypothese. Statistische Mechanik nicht einbringbar. Zulässige Funktionen willkürlich an die Natur angepasst doppeltperiodisch! Danach erzeugt Computersimulation spezielle Ornamente (Kristallgitter). Erhöhen der Reinoldszahl unterschiedliche Muster am Ende Chaos. In jedem Fall mathematische Beschreibung von 3D- Ornamenten nötig.

14 Was ist eine Symmetrie (im Sinne der mathematischen Physik)? (Gruppenwirkung und (dis)kontinuierliche Symmetrien). Erklärung anhand von 9

15 1-dimensional: Perlenreihe Punktgruppe trivial Graph:... Graph/Translationen Punktgruppe: {1}. Symmetriegruppe Z. Graph/Symmetrien: s.o. Bild :

16 1-dimensional: Perlenreihe Punktgruppe mit 2 Elementen Graph:... Graph/Translationen: Punktgruppe: C 2 Symmetriegruppe: D Graph/Symmetrien: Bild

17 Äquivalenz von Symmetriegruppen (Grundidee) φ g φ(g) φ

18 Äquivalenz von Symmetriegruppen (Formel) Koordinatenraum V := IR n hier n = 1, 2, 3 Affine Transformation v Av + b Affine Gruppe A invertierbar Translationen A die Einheitsmatrix, also v v + b Rotationen v Av mit A orthogonal φ : (G, V ) (H, V ) φ g(v) = φ(g) φ(v), φ : G H Gruppenisomorphismus φ : V V regulär affin φ(g) = φ g φ 1

19 Kristallographische Bedingung φ = Vielfache von 60 o bzw. 90 o.

20 Kristallographische Bedingung: Beweis Gitterbasis b i, i = 1, 2 bzw. 1, 2, 3 Z-Linearkombination Matrixform Drehung g gb i = n j=1 b jz ji gb = BZ bzw B 1 gb = Z spur(g) = spur(z) = 2 cos φ (2D), bzw. 2 cos φ + 1 (3D) ganzzahlig Drehwinkel φ Vielfache von 60 o bzw. 90 o.

21 3-dimensionale Kristallgittergruppen Jede Kristallgittergruppe ist Erweiterung eines Gitters mit einer der 7 Punktgruppen (= Kristallklassen); 230 inäquivalente Gruppen kommen zustande. 48 kubisch 24 hexagonal 16 tetragonal 12 trigonal 8 orthorhombisch 4 monoklin 2 triklin

22 Symmetrie kann Distanzen und Flächen minimieren Reflexionsgesetz für Licht de Maupertuisches Prinzip Reguläres Vieleck

23 Symmetrie kann Wirkungsintegral minimieren Eingespannte Saite in Ruhelage minimiert J(u) := 1 0 ( 1 2 u 2 u) dx 0 u 1 x u(x) Durchhang vertikal gemessen 1 2 u 2 infinitesimale Verformungsenergie u geleistete Arbeit durch Belastung. Behauptung: Lösung u ist bezüglich 1 2 spiegelsymmetrisch.

24 Beweis: Variationsproblem J(u) := 1 0 ( 1 2 u 2 u) dx Min u(0) = u(1) = 0. Eulergleichung 1 (u ) = 0, u(0) = u(1) = 0. Lösung Symmetrie prüfen: u(x) = 1 2x(1 x). u( 1 2 x) = 1 2 ( 1 2 x)( x) u( x) = 1 2 ( x)( 1 2 x).

25 Symmetrie bei Nachbeulverhalten

26 Symmetrie bei Nachbeulverhalten U of Bath

27 Nachbeulverhalten im Experiment U of Bath

28 3-zählige Symmetrie DGL-Gestalt Phasenbild von ż = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 erlaubt Rotation um 120 o. Frage: a i =?

29 Antwort(findung) falls Lösungen z(t) 0 nahe bei 0 ζ 3.te Einheitswurzel. Mit z auch ζz Lösung: (ζz) = a 0 + a 1 ζz + a 2 ζ 2 z 2 + a 3 z 3 + ζa 4 z 4 Weil (ζz) = ζż und ż = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 : ζ(a 0 +a 1 z +a 2 z 2 +a 3 z 3 +a 4 z 4 ) = a 0 +a 1 ζz +a 2 ζ 2 z 2 +a 3 z 3 +ζa 4 z 4, alles auf die linke Seite bringen und Kürzen durch ζ 1: a 0 ζa 2 z 2 + a 3 z 3 = 0. z 0 ergibt a 0 = 0. Deshalb (a 0 = 0 einsetzen, z 2 Kürzen) ζa 2 + a 3 z = 0 Antwort: ż = a 1 z + a 4 z 4.

30 Satz von Emmy Noether in Dimension 1 Ist (t(s), x(t(s), s), ẋ(t(s), s)) eine 1-Parametergruppe (bezgl. s) und besteht für die Lagrangefunktion L(t, x, ẋ) die Gleichung δl = K, so ist Q := Lẋẋ K eine Invariante der Bewegung.

31 Erhaltungssätze x(t) Ort zum Zeitpunkt t auf der x-achse L(t, x, ẋ) = 1 2 mẋ 2 V (x) Lagrangefunktion für Teilchen im Potentialfeld x(t(s), s) = x(t + s) x(t(s), s) = x(t) + s δx = ẋ, δl = V (x)ẋ + mẍ = L Q = mẋ 2 L = 1 2 mẋ 2 + V (x) Q = Gesamtenergie Sei V = αx linear. Dann δl = α = K mit K = αt Q = mẋ αt ist Erhaltungsgröße. Ist α = 0, so ist mẋ der Impuls.

32 Springender Knoten a jumping knot of J. Langer, which exhibits self-contact but which is far

33 Seifenblase Minimalfläche

34 Seifenblase Minimalfläche 2

35 Seifenblase unter dem Mikroskop

36 Seifenblase und Kugel

37 Friedmann Minimalfläche

38 Costas Minimalfläche

39 Costas Minimalfläche aus Schnee

40 Raumformenproblem und Kosmologie Beobachtung von Spiegelbildern einzelner Galaxien. Licht kommt auf verschiedenen Bahnen zu uns. Homogenität bezüglich gewisser kontinuierlicher Transformationen im Raum-/Zeitbereich geben Anlaß, sich den Raum als kompakte orientierbare Mannigfaltigkeit vorzustellen, die bezüglich der Raumzeit eine gewisse Dynamik durchmacht (Expansion des Universums). Raumformenproblem: Mannigfaltigkeit mit Metrik, vollständig ohne Löcher, d.i. einfach zusammenhängend. Beispiele sind Symmetrische Räume, also Gruppen modulo einer kokompakten Untergruppe. Allereinfachst: SO(3)/SO(2) = S 2. IR n /G mit G kristallographische Gruppe. Milnor (1973) & Friedmann (1986) haben die Homotopietypen der 4-dimensionalen orientierbaren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten klassifiziert.

41 Danke für Ihre Aufmerksamkeit