1. Probeklausur. φ = 2x 2 y(z 1).

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1 Übungen zur T: Theoretische Mechanik, SoSe04 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45. Probeklausur Dr. Reinke Sven Isermann Übung.: Gegeben sei ie Funktion φ = x y z. a Berechnen Sie en Graient A = φ. b Berechnen Sie ie Rotation es Graienten B = A. c Zeigen Sie mit Hilfe es Levi-Civita-Symbols ɛ ijk, ass fuer eine beliebige zweifach ifferenzierbare Funktion ψ ie Ientität ψ = 0. Lösung von Übung. x xy z a A = y φ = x yz. z x y b B = y A z z A y 3 i,j,k= ɛ ijk j A k = z A x x A z = 0. x A y y A z c i-te Komponente: ɛ ijk j k φ = j k φ k j φ aufgrun er Antisymmetrie es Levi-Civita- Symbols. Da nach em Satz von Schwarz ie Reihenfolge er partiellen Ableitungen bei mehrfach stetig ifferenzierbaren Funktionen nicht entscheien ist, verschwinet ieser Ausruck. Analog für ie aneren Komponenten. Übung.: Man betrachte ein System aus Punktmassen m i, welches urch ie Lagrange-Funktion Lx i, ẋ i, t = m i ẋ i ẋ i V ij x i x j i beschrieben wir. Dabei bezeichnen ie Inizes i, j ie verschieen Punktmassen un x i ist ihr jeweiliger Ortsvektor im rei imensionalen Raum. Nutzen sie zum Lösen ieser Aufgabe ie Inexschreibweise. a Zeigen Sie, ass ie Lagrange-Funktion invariant unter zeitunabhängigen Rotationen x i x i = R x i i ist. Die Matrix R ist orthogonal un erfüllt aher ie Beingung R T R = I, wobei I ie Einheitsmatrix ist. b Nutzen Sie ie Beingung R T R = I, um zu zeigen, ass infinitesimale Drehungen in er Form R ab = δ ab + ɛt ab,

2 geschrieben weren können. Dabei gilt T ab = T ba un ie Inizes a un b laufen von,..., 3 also über alle Raumrichtungen. c Das Noether-Theorem besagt: Ein System, essen Lagrange-Funktion invariant unter er in b beschrieben Symmetrie ist, besitzt ie Erhaltungsgröße I = i L ẋ i T x i. Berechnen Sie I für as oben angegebene System un zeigen Sie, ass es sich abei tatsächlich um eine Erhaltungsgröße hanelt. Nutzen Sie azu ie Euler-Lagrange-Gleichung un ie Antisymmetrie von T. Bitte wenen Lösung von Übung. a Für eine zeitunabhängige Rotation gilt Daher ist ẋ a i ẋ a i = R ab ẋ b i. ẋ i ẋ i R ab ẋ b ir ac ẋ c i = RcaR T ab ẋ b iẋ c i = δ cb ẋ b iẋ c i = ẋ i ẋ i invariant. Eine nahezu ientische Rechnung führt zu x i x j = x i x j x i x j x i x j x i x j = x i x j. Somit sin alle Größen, ie in er Lagrange-Funktion erscheinen, invariant unter zeitunabhängigen Rotationen. Natürlich ist aher auch ie gesamte Lagrange-Funktion invariant. b Zunächst schreiben wir ie Ientität in er Aufgabenstellung in Inexschreibweise un erhalten R T abr bc = δ ac. Bei einer infinitesimale Rotation muss es sich um eine Störung er Einheitsmatrix I haneln. Deshalb können wir iese Rotation als R ab = δ ab + ɛt ab schreiben, wobei T finit un ɛ infinitesimal ist. Setzen wir iesen Ausruck nun in en ersten ein, ergibt sich δ ab + ɛt T abδ bc + ɛt bc = δ ac δ ac + ɛt T ac + T ac = δ ac ɛt ca + T ac = 0. Dabei haben wir Terme in ɛ vernachlässigt. Dass iese Gleichung erfüllt ist, ist unter Berücksichtigung er Antisymmetrie von T sofort ersichtlich.

3 c Als Ergebnis für I erhalten wir I = i m i ẋ i T x i. Um zu prüfen ob iese Größe erhalten ist, stellen wir ie Euler-Lagrange-Gleichungen L = L t ẋ i x i t m iẋ i = V ij x i x j x i x j auf. Man finet t I = i V ij x i x j x i x j T x i + m i ẋ i T ẋ i Ableitungen von V sin urch einen Anstrich gekennzeichnet. Wegen er Antisymmetrie von T gilt x i T x i = 0 un ẋ i T ẋ i = 0. Damit vereinfacht sich ie obere Gleichung auf t I = V x j ij x i i x j T x i Die Ableitung es Potentials un er Abstan zwischen i un j sin symmetrisch unter Vertauschung von i un j. x j T x i ist antisymmetrisch, a aufgrun er Asymmetrie von T gilt x j T x i = x i T x j. Schreibt man nun ie Summation über i un j aus, so finet man, ass sich alle Terme paarweise weghrben aufgrun er Antisymmetrie un man finet t I = 0. Übung.3: Wir bestimmen ie kürzeste Verbinung zwischen zwei Punkten auf er Oberfläche einer Kugel mit em Raius R. Dazu finen wir eine passene Parametrisierung er Kugeloberfläche. a Nehmen Sie einen Pfa auf er Kugeloberfläche an, er urch eine Funktion φθ beschrieben ist. Zeigen Sie, ass as Linienelement entlang ieses Pfaes urch s = Rθ + φ sin θ gegeben ist. Dabei steht φ = φ für ie Ableitung von φ. θ b Stellen Sie ie Euler-Lagrange-Gleichungen für ie gesuchte Funktion φθ auf. Zeigen Sie, ass φ = C arcsinc cotθ iese Differentialgleichung löst, wobei C un C für Integrationskonstanten stehen. 3

4 c Geben Sie ie Lösung in kartesischen Koorinaten an. Benutzen Sie azu ie Gleichung sinα β = sinα cosβ cosα sinβ. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Hinweis: Beim lösen ieser Aufgaben sin ie beien Ableitungen x arcsinx = x un x cotx = sin x nützlich. Lösung von Übung.3 a Das Linienelement in Kugelkoorinaten lautet s = r + r θ + r sin θ φ Wir beschränken uns auf ie Oberfläche er Kugel, also setzen wir r = 0 un r = R. Weiterhin rücken wir φ als Funktion von θ aus. Mit er Definition φ = φ ergibt sich θ nun s = R + φ sin θθ. b Die Euler-Lagrange-Gleichung, ie aus em Linienelement aus Teilaufgabe a folgt lautet 0 = + φ θ φ sin θ = φ sin θ θ + φ sin θ φ sin θ = K = constant + φ sin θ as Linienelement hängt nicht von φ sonern nur von φ. Wir wenen ie als Hinweis gegeben Ableitungen x arcsinx =, x x cotx = sin x auf ie in er Aufgabe angegebene Lösung an un erhalten φ = C cot θ C sin θ C = C cot θ sin. θ 4

5 Setzten wir ieses Zwischenergebnis in ein, so erhalten wir C C K = + C cot θ sin θ Ccot θ sin θ = C sin θ + C Csin θcot θ sin θ = C sin θ + C Ccos θ = C + C un sehen amit, ass K wirklich eine Konstante ist. Die angegebene Gleichung ist also eine Lösung er Euler-Lagrange-Gleichung. c Wir stellen ie Lösung aus Teilaufgabe b wie folgt um: sinc φ = C cotθ sinθsinc cosφ sinφ cosc = C cosθ. 3 Der Zusammenhang zwischen Kugelkoorinaten un kartesischen Koorinaten lautet Man kann nun 3 als x = Rsinθ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ. x sin C y cos C = C z schreiben, oer auch in Form es Skalarproukt sin C x. cos C = 0. C Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, ie urch en Ursprung verläuft. Damit liegt ie kürzeste Verbinung zwischen zwei Punkten auf er Kugeloberfläche auch auf ieser Ebene. Diese Verbinung ist also ein Segment eines Großkreises. 5