Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit.

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1 Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Beispiel: Betrachte ie Funktion f(x) = 1/x auf em Intervall D = (0, 1]. f ist in jeem Punkt p (0, 1] stetig. Denn: Sei p (0, 1] un ε > 0 gegeben. Setze δ = min ( ) p 2, p2 ε 2. Dann gilt für alle x D mit x p < δ (un somit x p/2), f(x) f(p) = 1 x 1 p = x p 2 x p xp p 2 < 2δ p 2 ε. f ist nicht gleichmäßig stetig auf D. Denn: man kann (zu gegebenem ε) δ nicht unabhängig von p wählen. Wäre f gleichmäßig stetig auf D = (0, 1], so gäbe es zu ε = 1 ein δ > 0 mit f(x) f(y) < 1 für alle x, y (0, 1] mit x y < δ. Es gibt aber ein n N mit 1/n 1/(2n) = 1/(2n) < δ un f(1/n) f(1/(2n)) = n 1. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 148

2 5.2 Differentialrechnung einer Variablen f(x) f(x 0 ) f x x 0 x Der Differenzenquotient Differenzenquotient un Differentialquotient. f x = f(x) f(x 0), für x x 0, gibt ie Sekantensteigung an. Betrachten nun en Grenzübergang x x 0. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 149

3 Definition: Sei f : D R, D R m eine Funktion un x 0 D D ein Punkt. Für x D, x x 0, nennt man en Ausruck f x := f(x) f(x 0) Differenzenquotient bzw. Sekantensteigung von f bezüglich x. Die Funktion f heißt ifferenzierbar in x 0, falls er Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim x x 0 existiert. In iesem Fall nennt man en Grenzwert Ableitung oer Differentialquotient er Funktion f an er Stelle x 0 un schreibt f (x 0 ) = f x (x 0) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 150

4 Definition: Sei f : D R, D R m eine Funktion un x 0 D D ein Punkt. Dann heißen ie einseitigen Grenzwerte f (x + 0 f (x 0 ) := lim x x + 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung von f bei x 0. Bemerkung: Falls f ifferenzierbar in x 0, so stimmen ie rechtsseitige un linksseitige Ableitung von f bei x 0 überein. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 151

5 Eine Interpretation er Ableitung einer Funktion. Die zeitliche Bewegung eines Massenpunktes sei beschrieben urch eine Funktion c : I R 3, c = c(t), I R, wobei t ie Zeit un c(t) er Ort es Massenpunktes. Dann ist ie Ableitung ċ(t 0 ) := c t (t 0) := lim t t 0 c(t) c(t 0 ) t t 0 ie Geschwinigkeit, mit er sich er Massenpunkt bewegt. Erklärung: In t = t t 0 legt er Massenpunkt ie Strecke c = c(t) c(t 0 ) zurück; ie mittlere Geschwinigkeit beträgt c (t 0 ) c t = c(t) c(t 0) t t 0. Für t t 0 erhält man ie momentane Geschwinigkeit, ċ(t 0 ) = lim t t 0 c(t) c(t 0 ) t t 0. c(t 0 ) c c(t 1 ) Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 152

6 Beispiel: Ableitung von Monomen. Betrachte ie Monomfunktion f : R R, gegeben urch f(x) = x n, für n N. Dann gilt un somit x n x n 0 = ( ) x n x n 0 lim x x 0 n 1 j=0 x n 1 j x j 0, für x, x 0 R, n 1 = lim x n 1 j x j x x 0 = nxn j=0 Fazit: Die Funktion f(x) = x n ist auf ganz R ifferenzierbar un es gilt f (x) = nx n 1, für alle x R, für ie (erste) Ableitung von f. Bemerkung: Für eine konstante Funktion f(x) c gilt f (x) 0. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 153

7 Linearität er Ableitung. Sin ie beien Funktionen f(x) un g(x) ifferenzierbar, so sin auch (f + g)(x) := f(x) + g(x) un (λf)(x) := λ f(x) für λ R, ifferenzierbare Funktionen, un es gilt (f + g) (x) = f (x) + g (x) un (λf) (x) = λ f (x). Ableitung von Polynomen. Sei p : R R ein Polynom,.h. p hat ie Form n p(x) = a k x k mit Koeffizienten a k R für 0 k n. k=0 Dann ist ie (erste) Ableitung von p gegeben urch ( x (p(x)) = n ) n a k x k = a k x x xk = k=0 k=0 n a k k x k 1. k=1 Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 154

8 Ableitung elementarer Funktionen. Funktion Ableitung Parameter x α αx α 1 α R, x > 0 e x e x x R log(x) 1 x x > 0 sin x cos x x R cos x sin x x R tanx 1/cos 2 (x) x π 2 + kπ für k Z Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 155

9 Ableitung von vektorwertigen Funktionen. Sei f : D R m, D R, eine vektorwertige Funktion,.h. f hat ie Form f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) T R m, für x R. Dann wir ie Ableitung von f komponentenweise berechnet,.h. es gilt f (x) = (f 1(x),..., f m(x)) T, für alle x R. Beispiele: f(x) = (x, e x,sin x) T = f (x) = (1, e x,cos x) T f(x) = (cos x,sin x) T = f (x) = ( sin x,cos x) T Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 156

10 Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit. Satz: Ist f : D R, D R in x 0 D 0 ifferenzierbar, so ist f in x 0 stetig. Beweis: Sei f in x 0 ifferenzierbar. Dann folgt unmittelbar aus er Voraussetzung lim x x 0 (f(x) f(x 0 ) ( ) f (x 0 )) = 0 f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ). Wegen lim x x0 ( )f (x 0 ) = 0 folgt schließlich.h. ie Funktion f ist in x 0 stetig. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), VORSICHT! Die Umkehrung ieser Aussage gilt im Allgemeinen nicht! Beispiel: Die Funktion f(x) = x ist stetig, aber nicht ifferenzierbar in Null. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 157

11 Wichtige Differentiationsregeln. Satz: Seien f, g : D R, D R, in x 0 D 0 ifferenzierbare Funktionen. Dann gelten ie folgenen Differentiationsregeln. (a) Für α, β R ist αf + βg in x 0 ifferenzierbar, un es gilt (αf + βg) (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ) (b) Die Funktion f g ist in x 0 ifferenzierbar, un es gilt ie Prouktregel (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (c) Ist g(x 0 ) 0, so ist ie Funktion f(x)/g(x) in x 0 ifferenzierbar, un es gilt ie Quotientenregel ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g (g(x 0 )) 2 Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 158

12 Beweis: Die Behauptung in Teil (a) folgt unmittelbar aus er Ientität (αf(x) + βg(x)) (αf(x 0 ) + βg(x 0 )) = α f(x) f(x 0) + β g(x) g(x 0). Genauso folgt Teil (b) aus er Ientität f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x) f(x 0) g(x) + f(x 0 ) g(x) g(x 0). Zu Teil (c): Es gilt 1 g(x) 1 g(x 0 ) 1 = g(x) g(x 0 ) g(x) g(x 0), für g(x 0 ), g(x) 0, un somit ( 1 g ) (x 0 ) = g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 für x 0 0. Die Behauptung folgt schließlich wie folgt aus er Prouktregel, Teil (b). ( ) ( f (x 0 ) = f 1 ) (x 0 ) = f (x 0 ) g g g(x 0 ) f(x 0) g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 159

13 Weitere Wichtige Differentiationsregeln. Satz: (a) Seien f : D R, g : E R mit D, E R un x 0 D 0 (f 1 (E)) 0. Falls f ifferenzierbar in x 0 un g ifferenzierbar in y 0 = f(x 0 ), so ist auch ie Komposition g f in x 0 ifferenzierbar, un es gilt ie Kettenregel (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). (b) Ist f : [a, b] R streng monoton wachsen un in x 0 [a, b] ifferenzierbar mit f (x 0 ) 0, so ist auch ie Umkehrfunktion f 1 : [f(a), f(b)] R in y 0 = f(x 0 ) ifferenzierbar, un es gilt ( (f 1 ) f ) (x 0 ) = (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 160

14 Beweis: Teil (a): Nach Voraussetzung gilt f(x) = f(x 0 ) + η 1 (x)( ), lim x x0 η 1 (x) = f (x 0 ), g(y) = g(y 0 ) + η 2 (y)(y y 0 ), lim y y0 η 2 (y) = g (y 0 ), wobei y = f(x) un y 0 = f(x 0 ). Daraus folgt un somit (g f)(x) = (g f)(x 0 ) + η 2 (f(x)) η 1 (x)( ) (g f)(x) (g f)(x 0 ) = η 2 (f(x)) η 1 (x) g (f(x 0 )) f (x 0 ) für x x 0. Teil (b): Nach Voraussetzung gilt f(x) = f(x 0 ) + η(x)( ), lim η(x) = f (x 0 ) 0, x x 0 somit y = y 0 + η(f 1 (y))(f 1 (y) f 1 (y 0 )) für x = f 1 (y), un aher f 1 (y) f 1 (y 0 ) y y 0 = 1 η(f 1 (y)) 1 f (f 1 (y 0 )) für y y 0. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 161

15 Verallgemeinerte Prouktregel. Satz: Ist (, ) : R n R n R eine Bilinearform, un sin f, g : D R n, D R, in x 0 D 0 ifferenzierbar, so ist auch ie Funktion (f, g) in x 0 ifferenzierbar, un es gilt ie verallgemeinerte Prouktregel x (f(x), g(x)) = (f (x 0 ), g(x 0 )) + (f(x 0 ), g (x 0 )). x=x0 Beweis: Analog zum Beweis er Prouktregel: (f(x), g(x)) (f(x 0 ), g(x 0 )) = ( f(x) f(x0 ) ), g(x) + ( f(x 0 ), g(x) g(x ) 0) (f (x 0 ), g(x 0 )) + (f(x 0 ), g (x 0 )), für x x 0. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 162

16 Beispiel: Anwenung er Quotientenregel. 5 Betrachte ie Tangensfunktion tan(x) = sin(x) cos(x) für x π 2 + kπ, k Z Aus en Ableitungen er trigonometrischen Funktionen x sin(x) = cos(x) un x cos(x) = sin(x) erhält man ie Ableitung er Tangensfunktion mit er Quotientenregel: x tan(x) = ( ) sin(x) cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) 1 = x cos(x) cos 2 = (x) cos 2 (x), für x π 2 + kπ, k Z. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 163

17 Beispiel: Ableitung er Umkehrfunktion. Beispiel 1: Betrachte ie Umkehrfunktion er Tangensfunktion, ( arctan : R π 2, π ) Für ie Ableitung von x = arctan(y),.h. y = tan(x), erhält man y arctan(y) = 1 x tan(x) = 1 1/cos 2 (x) = cos2 (x) = tan 2 (x) = y 2. Beispiel 2: Betrachte en Logarithmus, ie Umkehrfunktion er Exponentialfunktion exp(x), log : (0, ) R Für ie Ableitung von x = log(y),.h. y = exp(x), erhält man y log(y) = 1 x exp(x) = 1 exp(x) = 1 y, für y (0, ) Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 164

18 Weiteres Beispiel: Ableitung er Umkehrfunktion. 2.5 Betrachte Wurzelfunktion n : (0, ) (0, ), x n x für x (0, ) un n 2, als Umkehrfunktion er Monomfunktion f(x) = x n f(x) = x Für ie Ableitung von x = n y = y 1 n,.h. y = x n, erhält man y n y = 1 = 1 x xn nx n 1 = 1 ny n 1 n = 1 n y 1 n 1. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 165

19 Zwei Beispiele zur Anwenung er Kettenregel. Beispiel 1: Betrachte für f(x) = exp(x) un g(y) = cos(y) ie Komposition (g f)(x) = cos(exp(x)) : R [ 1, 1]. Die Ableitung von g f berechnet man mit er Kettenregel wie folgt. x cos(exp(x)) = sin(exp(x)) exp(x) Beispiel 2: Betrachte ie Exponentialfunktion a x = exp(x log(a)) für a > 0. Die Ableitung er Funktionen a x un x x berechnet man mit er Kettenregel: x ax = (exp(x log(a))) = exp(x log(a)) log(a) = log(a) ax x x xx = (exp(x log(x))) = exp(x log(x)) x = x x (1 + log(x)), für x > 0. ( 1 log(x) + x 1 ) x Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 166

20 Ableitungen höherer Ornung. Ist eine Funktion f : [a, b] R in jeem Punkt x 0 [a, b] ifferenzierbar, so ist ie Ableitung von f ebenso eine Funktion, f : [a, b] R. Ist f überall ifferenzierbar, so erhält man ie zweite Ableitung f von f. Ist f überall ifferenzierbar, so erhält man ie ritte Ableitung f usw. Ist f n-mal ifferenzierbar auf [a, b] un ist ie n-te Ableitung f (n) auf [a, b] stetig, so heißt f n-mal stetig ifferenzierbar, C n -Funktion. Ist f n-mal ifferenzierbar auf [a, b] für jees n N, so heißt f beliebig oft ifferenzierbar (unenlich oft ifferenzierbar), C -Funktion. Notation: f C 0 ([a, b]) : f stetig auf [a, b] f C n ([a, b]) : f n-mal stetig ifferenzierbar auf [a, b] f C ([a, b]) : f beliebig oft ifferenzierbar auf [a, b] Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 167