Symmetriebeziehungen zwischen verwandten Kristallstrukturen

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1 Ulrich Müller Symmetriebeziehungen zwischen verwandten Kristallstrukturen Anwendungen der kristallographischen Gruppentheorie in der Kristallchemie unter Verwendung von Textvorlagen von Hans Wondratschek und Hartmut Bärnighausen STUDIUM

2 Inhaltsverzeichnis Liste der Symbole 12 1 Einleitung Das Symmetrieprinzip in der Kristallchemie Einleitende Beispiele 16 1: Kristallographische Grundlagen Kristallographische Grundbegriffe, 1. Teil 22 Vorbemerkung Kristalle und Gitter Zweckmäßige Koordinatensysteme, Kristallkoordinaten Geraden, Ebenen und reziprokes Gitter Berechnung von Abständen und Winkeln 28 3 Abbildungen Abbildungen in der Kristallographie Ein Beispiel Symmetrieoperationen Affine Abbildungen Verwendung von Affine Abbildungen von Vektoren Isometrien Typen von Isometrien Änderungen des Koordinatensystems Ursprungsverschiebung Basiswechsel Allgemeine Änderung des Koordinatensystems Wirkung von Koordinatentransformationen auf Abbildungen Mehrere aufeinanderfolgende Änderungen des Koordinatensystems Berechnung von Ursprungsverschiebungen aus Koordinatentransformationen Transformation weiterer kristallographischer Kenngrößen Übungsaufgaben 54 4 Kristallographische Grundbegriffe, Beschreibung der Kristallsymmetrie in den International Tables A: Positions Kristallographische Symmetrieoperationen Geometrische Interpretation des Matrix-Spalte-Paares einer kristallographischen Symmetrieoperation Bestimmung des Matrix-Spalte-Paares für eine Isometrie Übungsaufgabe 63

3 INHALTSVERZEICHNIS Aus der Gruppentheorie Zwei Beispiele von Gruppen Grundbegriffe der Gruppentheorie Nebenklassenzerlegung einer Gruppe Konjugation Faktorgruppe und Homomorphismen Operation einer Gruppe auf einer Menge Übungsaufgaben 77 Kristallographische Grundbegriffe, 3. Teil Raumgruppen und Punktgruppen Molekülsymmetrie Die Raumgruppe und ihre Punktgruppe Klassifikation der Raumgruppen Das Gitter einer Raumgruppe Raumgruppen-Symbole Hermann-Mauguin-Symbole Schoenflies-Symbole Beschreibung der Raumgruppen-Symmetrie in den International Tables A Diagramme der Symmetrieelemente Liste der Punktlagen Symmetrie-Operationen zur allgemeinen Punktlage Diagramme der allgemeinen Punktlage Allgemeine und spezielle Punktlagen der Raumgruppen Die allgemeine Punktlage einer Raumgruppe Die Raumgruppe Übungsaufgaben 101 Untergruppen der Raumgruppen Untergruppen der Punktgruppen der Moleküle Raumgruppen Maximale translationengleiche Untergruppen Maximale nicht-isomorphe klassengleiche Untergruppen Maximale isomorphe Untergruppen 7.3 Der Unterschied zwischen Raumgruppe und Raumgruppentyp 7.4 Minimale Obergruppen der Raumgruppen Schichtgruppen und Balkengruppen Übungsaufgaben 115

4 INHALTSVERZEICHNIS 9 8 Konjugierte Untergruppen, Normalisatoren und äquivalente Beschreibungen von Kristallstrukturen 8.1 Konjugierte Untergruppen von Raumgruppen 8.2 Normalisatoren von Raumgruppen Die Anzahl der konjugierten Untergruppen. Pare Untergruppen Standardisierte Beschreibung von Kristallstrukturen Äquivalente Beschreibungen von Kristallstrukturen Chiralität Falsch zugeordnete Raumgruppen Isotypie Übungsaufgaben Hinweise zum Umgang mit Raumgruppen Punktlagen der Raumgruppen Beziehungen zwischen den Punktlagen bei Gruppe-Untergruppe-Beziehungen Nichtkonventionelle Aufstellungen von Raumgruppen Orthorhombische Raumgruppen Raumgruppen Tetragonale Raumgruppen Rhomboedrische Raumgruppen Hexagonale Raumgruppen Übungsaufgaben 149 2: Symmetriebeziehungen zwischen den Raumgruppen Hilfsmittel zur Darstellung von Zusammenhängen zwischen Kristallstrukturen 10 Allgemeine Darstellungsform für Symmetriebeziehungen zwischen den Raumgruppen Symmetriebeziehungen zwischen verwandten Kristallstrukturen 156 Die Raumgruppe der einen Struktur ist translationengleiche maximale Untergruppe der Raumgruppe anderen Struktur 156 Die maximale Untergruppe ist klassengleich Die maximale Untergruppe ist isomorph 163 Die Untergruppe ist weder translationengleich noch klassengleich 167 Die Raumgruppen von zwei Kristallstrukturen haben eine gemeinsame Obergruppe 169 Größere Strukturfamilien Übungsaufgaben 175

5 10 INHALTSVERZEICHNIS 12 Fallen und Stolpersteine beim Aufsuchen von Gruppe-Untergruppe-Beziehungen 12.1 Urspungsverschiebungen Pare Untergruppen Falsche Zelltransformationen Verschiedene Wege des Symmetrieabbaus Unerlaubtes Hinzufügen von Symmetrieoperationen Übungsaufgaben Kristallstrukturen, die sich von dichtesten Kugelpackungen ableiten lassen Besetzung von Lücken in dichtesten Kugelpackungen Besetzung von Oktaederlücken in der hexagonal-dichtesten Kugelpackung Rhomboedrische Hettotypen Hexagonale und trigonale Hettotypen der hexagonal-dichtesten Kugelpackung Besetzung von Oktaeder- und Tetraederlücken in der kubisch-dichtesten Kugelpackung Hettotypen des mit verdoppelter Elementarzelle Hettotypen des mit verdoppelter Elementarzelle Übungsaufgaben Kristallstrukturen von Molekülen und Molekülionen Symmetrieabbau durch Verringerung der Punktsymmetrie von Bausteinen Molekülpackungen nach dem Muster der Kugelpackungen Die Packung in Tetraphenylphosphonium-Salzen Übungsaufgaben Symmetriebeziehungen bei Phasenumwandlungen Phasenumwandlungen im festen Zustand Phasenumwandlungen erster und zweiter Ordnung Strukturelle Einteilung von Phasenumwandlungen Zur Theorie der Phasenumwandlungen Gitterschwingungen Die Landau-Theorie der kontinuierlichen Phasenumwandlungen Domänen und Zwillingskristalle 232 Sind rekonstruktive Phasenumwandlungen über eine gemeinsame Untergruppe möglich? Umwandlungszwillinge Antiphasendomänen Übungsaufgaben 242

6 INHALTSVERZEICHNIS 16 Topotaktische Reaktionen Symmetriebeziehungen bei topotaktischen Reaktionen Topotaktische Reaktionen bei Lanthanoidhalogeniden Übungsaufgabe Gruppe-Untergruppe-Beziehungen als Hilfsmittel bei der Strukturaufklärung Welche Raumgruppe soll man wählen? 254 Lösung des Phasenproblems bei Proteinstrukturen Überstrukturreflexe, verdächtige Strukturmerkmale Aufspüren von Zwillingskristallen Übungsaufgaben Vorhersage möglicher Strukturtypen 262 Herleitung hypothetischer Strukturtypen mit Hilfe von Gruppe-Untergruppe-Beziehungen Berechnung der Anzahl möglicher Strukturtypen Die Gesamtzahl der Strukturmöglichkeiten Die Anzahl der je nach Symmetrie 269 Kombinatorische Berechnung der Verteilungsmöglichkeiten von Atomen auf gegebene Positionen Herleitung möglicher Kristallstrukturtypen bei gegebener Molekülstruktur Übungsaufgaben Historische Anmerkungen 283 Anhang 1: Isomorphe Untergruppen 287 Anhang 2: Zur Theorie der Phasenumwandlungen 295 Thermodynamische Aspekte bei Phasenumwandlungen 295 A2.2 Zur Landau-Theorie 298 A2.3 Renormierungstheorie 301 A2.4 Diskontinuierliche Phasenumwandlungen 303 Anhang 3: Symmetrierassen 305 Lösungen zu den Übungsaufgaben 307 Literatur 340 Glossar 358 Sachverzeichnis 362