Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X:

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Benjamin Kramer
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1 Übungsblatt 1 Beispiel 1. Von den 50 Teilnehmern eines Kurses sind 35 weiblich und 10 Raucher/innen. Wie viele nicht-rauchende Teilnehmerinnen sind zu erwarten, wenn die Merkmale Geschlecht und Rauchverhalten unabhängig sind? Gesucht: Anzahl X der weiblichen Nichtraucher bei Unabhängigkeit Lösungsweg: Schritt 1: Anteil der Nichtraucher bestimmen Von 50 Teilnehmern sind 40 Nichtraucher. Der Anteil der Nichtraucher beträgt also 0.8. Schritt 2: Anzahl der weibliche Nichtraucher berechnen unter der Annahme, dass Geschlecht und Rauchverhalten unabhängig sind: Zur Erinnerung: Unabhängigkeit bedeutet, dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Somit gilt: Anteil der männlichen Nichtraucher = Anteil der weiblichen Nichtraucher = Anteil der Nichtraucher. Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X: X/35 = 0.8, daraus folgt: X= 28. Die Anzahl der Nichtraucherinnen im Kurs ist 28. Beispiel 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Kinder einer Familie Mädchen sind, wenn bekannt ist, dass a) das erste Kind ein Mädchen ist und b) eines der Kinder ein Mädchen ist? Knaben- und Mädchengeburten sind dabei als gleichwahrscheinlich anzunehmen. In der Angabe ist von 3 Ereignissen die Rede (M steht für Mädchen, K für Knabe): 1. MMM = alle 3 Kinder sind Mädchen 2. MXX = erstes Kind ist ein Mädchen (das X ist ein Platzhalter für M oder K) 3. MXX oder XMX oder XXM = eines der Kinder ist ein Mädchen (Gegenereignis zu alle 3 Kinder sind Knaben ) Uebung1_09 1

2 2 a) Gesucht: P(MMM MXX) Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B zutrifft unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis A eingetreten ist, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit P(B A). Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird mit folgender Formel berechnet: Wir setzen in die Definitionsgleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein: P(MMM) = P( 1. Kind = Mädchen und 2. Kind = Mädchen und 3. Kind =Mädchen ) = P(1. Kind = Mädchen ) P(2. Kind = Mädchen ) P(3. Kind = Mädchen ) = 1/8. Dabei wurde die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse angewendet (Voraussetzung: das Geschlecht eines Kindes hängt nicht vom Geschlecht der vorher geborenen Kinder ab) sowie von der angenommenen Gleichwahrscheinlichkeit der Knaben- und Mädchengeburten Gebrauch gemacht, d.h. P(Mädchen)= P(Knabe) = 1/2. P(MXX)= 1/2, da P(Mädchen)= P(Knabe)=1/2 Somit ist P(MMM MXX) = (1/8)/(1/2) = (1/4) Die Wahrscheinlichkeit, dass die 3 Kinder einer Familie Mädchen sind, wenn bekannt ist, dass das erste Kind ein Mädchen ist, beträgt 25%: 2 b) Gesucht: P(MMM MXX oder XMX oder XXM) Wir setzen wieder in die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ein: P(MMM)= 1/8 P (MXX oder XMX oder XXM)= 1 P(KKK)= 1 (1/8)= 7/8 Daher ist P(MMM MXX oder XMX oder XXM) = (1/8)/(7/8) = 1/7 Uebung1_09 2

3 Die Wahrscheinlichkeit, dass die 3 Kinder einer Familie Mädchen sind, wenn bekannt ist, dass eines der Kinder ein Mädchen ist, beträgt 14%. Beispiel 3 Zwei Testpräparate A und zwei Placebos B werden in einem Doppelblindversuch nacheinander auf 4 Probanden verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) der erste Proband ein Testpräparat erhält, b) der vierte Proband ein Placebo erhält, c) der vierte Proband ein Testpräparat erhält, wenn durch eine Indiskretion bekannt ist, dass der erste ein Placebo erhalten hat? Ein Doppelblindversuch liegt vor, wenn sowohl die Probanden, als auch der Experimentator nicht wissen, wer welches Präparat erhält. Es handelt sich hierbei also um ein Experiment ohne Zurücklegen, das man durch das zufällige Auswählen von Elementen aus einer Urne mit 2 Kugeln vom Typ A und 2 Kugeln vom Typ B modellieren kann. Die Kugeln werden der Reihe nach zufällig gezogen und den Probanden zugeteilt. Ein möglicher Ausgang, der bei diesem Experiment eintreten kann, ist z.b. Erster Proband erhält A, zweiter B, dritter B, vierter A = ABBA Berücksichtigen wir alle möglichen Ausgänge, die in diesem Experiment eintreten können, gelangen wir zur Ergebnismenge Ω = {AABB, ABAB, ABBA, BBAA, BAAB, BABA}. 3 a) Gesucht: P(erster Proband zieht A) In der Ergebnismengen sind 3 Ausgänge enthalten, auf die das zutrifft: {AABB, ABAB, ABBA}. Daher ist P(erster Proband zieht A) = 3/6= ½. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Proband ein Testpräparat erhält, beträgt 50% 3 b) Gesucht: P(der vierte Proband zieht B) Mögliche Ausgänge: {AABB, ABAB, BAAB} P(der vierte Proband zieht B)= 3/6 = 1/2 Die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte Proband ein Placebo erhält, beträgt 50%. Uebung1_09 3

4 3 c) Gesucht: P(vierte Proband zieht A erster Proband zieht B) 1. Lösungsweg: Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass der erste Proband ein Placebo erhält, ist P(erster Proband zieht B) = 1/2. Ist bekannt, dass der erste Proband das Placebo B gezogen hat, reduziert sich die Ergebnismenge auf Ω = {BBAA, BABA, BAAB}. Für den vierten Probanden, gibt es also 2 mögliche Ausgänge, bei denen ihm A zugeteilt werden können. Daher ist P(vierter Proband zieht A erster Proband zieht B) = 2/3. 2. Lösungsweg: Wir setzen in die Definitionsgleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein: P(vierter Proband erhält A erster Proband erhält B) = P( vierter Proband erhält A und erster Proband erhält B )/P(erster Proband erhält B) Es ist: P ( vierter Proband erhält A und erster Proband erhält B ) = 2/6 = 1/3, da von den 6 möglichen Ausgängen nur 2 in Frage kommen, nämlich BBAA und BABA. Daher ist: P(vierter Proband erhält A erster Proband erhält B) = (1/3)/(1/2) = 2/3 Die Wahrscheinlichkeit, dass der vierte Proband eine Testpräparat erhält, wenn bekannt ist, dass der erste Proband ein Placebo erhalten hat, beträgt 67% Beispiel 4 Wie oft muss ein (symmetrischer) Würfel ausgespielt werden, damit die Serie der Ergebnisse mit einer Sicherheit (d.h. Wahrscheinlichkeit) von mindestens 95% einen "Sechser" enthält? Die Ergebnismenge beim Werfen eines Würfels ist Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Wahrscheinlichkeit P(6er), beim ersten Ausspielen einen 6er zu würfeln, beträgt 1/6 und die Gegenwahrscheinlichkeit P(kein 6er) = 5/6. Die Wahrscheinlichkeit, keinen 6er zu erhalten, wenn man zweimal würfelt, P(2x Ausspielen kein 6er) beträgt (5/6) 2. Die Wahrscheinlichkeit, keinen 6er zu erhalten, wenn man dreimal würfelt, P(3x Ausspielen, kein 6er), beträgt folglich (5/6) 3. Wiederholt man dieses Gedankenexperiment n-mal, so ist die Wahrscheinlichkeit, nach n-maligem Würfeln, P(nx Ausspielen kein 6er), gleich (5/6) n. Wir fassen zusammen: P(1x Ausspielen 6er) = 1 P(1x Ausspielen kein 6er) = 1 (5/6) = 1/6 = 0,167 P(2x Ausspielen 6er) = 1 P (2x Ausspielen kein 6er) = 1 (5/6) 2 = 9/36 = 0.25 P(3x Ausspielen 6er) = 1 P (3x Ausspielen kein 6er) = 1 (5/6) 3 = 91/216 = 0.42 P(nx Ausspielen 6er) = 1 P (nx Ausspielen kein 6er) = 1 (5/6) n Uebung1_09 4

5 Die zu beantwortende Frage ist, wie oft der Würfel ausgespielt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass ein 6er dabei ist, mindestens 0.95 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit P(nx Ausspielen kein 6er) muss also größer als oder gleich 0.95 sein. Dies führt auf die Ungleichung 1 (5/6) n 0.95, aus der n zu bestimmen ist. 1 (5/6) n , * (-1) [durch den Vorzeichenwechsel dreht sich das -Zeichen um] (5/6) n 0.05 logarithmieren n ln (5/6) ln 0.05 :ln(5/6) [Divisor <0, daher dreht sich das -Zeichen um] n ln (0.05)/ln(5/6) n Um mit mindestens 95%iger Wahrscheinlichkeit einen 6er zu erhalten, muss der Würfel zumindest 17mal ausgespielt werden. Uebung1_09 5

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