4. Kongruenz ohne Parallelen.

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1 4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen kann. Solche Tricks können auch täuschen. Wie leicht solche Tricks tatsächlich zu einer Täuschung führen können, werden wir am Ender dieser Vorlesung sehen. Was jetzt nötig ist, ist eine wohl fundierte logisch einwandfreie Geometrie. In dieser Vorlesung beginnen wir mit der systematischen Aufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. Als erstes Lehrstück dieser Systematik werden wir in dieser Vorlesung se-

2 30. Geometrie (L2) hen, wie Euklid die Kongruenzsätze aus der Axiomatik der Euklidischen Geometrie ableitet. Es gibt hier ein paar kleine Eigenheiten wie z.b. der Versuch, wirklich alles definieren zu wollen. Es wird z.b. auch versucht zu definieren was ein Punkt und was eine Gerade ist. Heute steht man (nach Hilbert) auf dem Standpunkt, daß Punkt und Gerade in der Euklidischen Geometrie undefinierbare Grundbegriffe sind. Aber davon abgesehen ist die Herleitung der Kongruenzsätze heute immer noch gültig. Was uns hier besonders interessiert ist die Tatsache, daß Euklid die Kongruenzsätze auf einem sehr fundamentalen Niveau herleitet. Natürlich wird in der Euklidischen Geometrie nicht mehr gemessen, nachdem ja von den Pythagoräern festgestellt worden ist, daß nicht alle geraden Strecken meßbar sind. Aber genauso bemerkenswert ist vielleicht die Tatsache, daß Euklid zur Herleitung der Kongruenzsätze auch nicht die Existenz und Eindeutigkeit von Parallelen voraussetzt. Es gibt also in diesem Teil noch keine Parallelverschiebung. Wir werden erst in der nächsten Vorlesung sehen, wie Euklid die Existenz von Parallelen herleitet. Die Kongruenz stellt eine gewisse Äquivalenzrelation zwischen den geometrischen Objekten der Euklidischen Ebene dar. Eine andere, schwächere Äquivalenzrelation, an die man an dieser Stellle auch denken

3 4 Kongruenzsätze 31 könnte, ist die Flächengleichheit. Mit der beschäftigen wir uns aber erst in der übernächsten Vorlesung. Wir beginnen mit der Euklidischen Axiomatik auf der alle Argumente in der Euklidischen Geometrie letztlich beruhen. Für eine moderne, aber auch sehr viel abstraktere Fassung dieser Axiomatik siehe [Hilbert, Grundlage der Geometrie] Die axiomatische Grundlegung der Euklidischen Geometrie. Wir wollen darauf achten, ob Euklid bei der Herleitung der Kongruenzsätze das Parallelenaxiom oder gar die Existenz von Paralellelen benutzt. Ansonsten wollen wir natürlich sehen wie die Kongruenzsätze bewiesen, d.h. streng logisch aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie hergeleitet werden. An dieser Stelle bemerken wir noch, daß die Euklidischen Axiome (die wir hier kennenlernen und für das Folgende zugrunde legen wollen) eine bestimmte, uns zwar anschaulich sehr vertraute, aber doch nicht einzig mögliche Geometrie, beschreiben. Es gibt im Gegenteil noch sehr viel andere sinnvolle Geometrien. Als besonders wichtige Beispiele werden wir später noch

4 32. Geometrie (L2) die sphärische und die hyperbolische Geometrie behandeln. Die Euklidische Geometrie ist unter diesen Geometrien durch die Gültigkeit des Parallelenaxioams ausgezeichnet. Das Parallelenaxiom lautet im Originaltext (deutsche Version): 5. Gefordert soll sein daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Die anderen Axiome sind viel kürzer. Sie lauten: Gefordert soll sein: 1. daß man von jedem Punkte nach jedem Punkte die Strecke ziehen kann. 2. daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend verlängern kann.

5 4 Kongruenzsätze daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis ziehen kann. 4. daß alle rechten Winkel einander gleich sind. Zu den obigen Axiomen gehören noch verschiedene Definitionen. Wie z.b. 5. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Winkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter. 23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Richtungen ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. Hier ist die vollständige Liste aller Definition, Postulate und Axiome aus [Euklid].

6 34. Geometrie (L2) Die Aufstellung der Euklidischen Geometrie. Definitionen. 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat, 2. Eine Linie breitenlose Länge. 3. Die Enden einer Linie sind Punkte. 4. Eine gerade LInie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmässig liegt. 5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat. 6. Die Enden einer Fläche sind Linien. 7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmässig liegt. 8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen. 9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig. 10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade LInie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann is jeder der beiden Winkel ein Rechter. 11. Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist, 12. Spitz, wenn kleiner als ein Rechter.

7 4 Kongruenzsätze Eine Grenze ist das, worin etwas endigt. 14. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfasst wird. 15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem inerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufende Strecken einander gleich sind; 16. Und Mittelpunkt ds Kreises heiß dieser Punkt. 17. Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft den Kreis zu halbieren. 18. Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur. [und Mittelpunkt ist beim Halbkreis derselbe Punkte wie beim Kreise]. 19. Geradlinige Figuren sind solche, die von Strekken umfaßt werden, dreiseitige die von drei, vierseitige, die von vier, vielseitige, die von mehr als vier Strecken umfaßten. 20. Von den dreisetigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten,

8 36. Geometrie (L2) ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten, ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten. 21. Weiter ist von den dreiseitigen Figuren ein rechtwinkliges Dreieck jede mit einem rechten Winkel, ein stumpfwinkliges jede mit einem stumpfen Winkel, ein spitzwinkliges jede mit drei spitzen Winkeln. 22. Von den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist, ein längliches Rechteck jede, die zwar rechtwinklig aber nicht gleichseitig ist, ein Rhombus jede, die zwar gleichseitig aber nicht rechtwinklig ist, ein Rhomboid jede, in der die gegenüberliegenden Seiten sowohl als Winkel einander gleich sind und die dabei weder gleicseitig noch rechtwinklig ist; die übrigen vierseitigen Figuren sollen Trapeze heißen, 23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen. Postulate.

9 Gefordert soll sein: 4 Kongruenzsätze Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann, 2. Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann, 3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann, 4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind, 5. Und daß man, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Axiome. 1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. 2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. 3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich. 4. Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich.

10 38. Geometrie (L2) 5. Die Doppelten von demselben sind einander gleich. 6. Die Halben von demselben sind einander gleich. 7. Was einander deckt, ist einander gleich. 8. Das Ganze ist größer als der Teil. 9. Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum. Der Erste Kongruenzsatz (SWS). Aufgabe. [Euklid I 1] Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit Grundseite AB. C D A B E Lösung. Man ziehe (Post. 3) einen Kreis um A und einen Kreis um B, jeweils mit AB als Radius.

11 4 Kongruenzsätze 39 Sei C einer der Schnittpunkte der Kreise. Man ziehe (Post. 1) die Strecken CA und CB. Dann ist (Def. 15,Ax. 1) AC = AB = BC. Erster Kongruenzsatz. [Euklid I 4] Seien ABC und DEF zwei Dreiecke mit AB = DE, AC = DF und BAC = EDF. Dann ist BC = EF, und ABC = DEF, ACB = DF E. A D B C E F Beweis. Man lege ABC auf DEF und lege dabei

12 40. Geometrie (L2) den Punkt A auf D und die Strecke AB auf DE Dann muß auch der Punkt B den Punkt E decken, denn AB = DE. Dann (Ax. 9) Also deckt die Strecke AB die Strecke DE. liegt die Strecke AC auf der Strecke DF, denn BAC = EDF. Deshalb deckt der Punkt C den Punkt F, denn AC = DF. B deckt aber E. Folglich muß (Ax. 9) die Strecke BC die Strecke EF decken. Damit decken alle Seiten des einen Dreiecks die des anderen. Folglich muß das Dreieck ABC das Dreieck DEF

13 4 Kongruenzsätze 41 decken und ihm gleich sein. Insbesondere müssen alle Winkel von ABC die entsprechenden Winkel von DEF decken und ihnen gleich sein. Bemerkung. Man beachte hier den feinen Unterschied zwischen liegen und decken. Beide Begriffe sind hier wesentlich. Z.B. auf Strecken angewandt, hat man mit diesen Begriffen die Möglichkeit mehr auszudrücken als nur eine evtl. Längengleichheit. Die Begriffe selbst sind aber in der Euklidischen Axiomatik nicht definiert. Sie sind aus der Umgangssprache übernommen. Bemerkung. In den obigen Beweisen sind absichtlich alle Voraussetzungen herausgehoben, die benutzt werden. Man sieht so leicht, daß das Parallelnaxiom (Post. 5) nirgends benutzt wurde. Alle Konstruktionen dieses Abschnitts könnte man ebenso z.b. in der sphärischen Geometrie ausführen (siehe die 9. Vorlesung zur sphärischen Geometrie).

14 42. Geometrie (L2) Der Zweite Kongruenzsatz (SSS) Aufgabe. [Euklid I 2] Sei A ein Punkt und sei BC eine gegebene Strecke. Man konstruiere eine Strecke AL mit AL = BC. K H D C A B L E G F Bemerkung. Man kann BC nicht parallel verschieben, da es noch keine Parallelen gibt. Lösung der Aufgabe. Man ziehe die Strecke AB (Post. 1).

15 4 Kongruenzsätze 43 Man errichte das gleichseitige Dreieck DAB [Euklid I 1]. Man verlängere DA, DB gerade um die Strecken AE, BF (Post. 2). Man zeichne den Kreis CGH, mit B als Mittelpunkt und BC als Abstand. (Post. 3) Sei G der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden Linie DF. Man zeichne den Kreis GKL, mit D als Mittelpunkt und DG als Abstand (Post. 3). Sei L der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden Linie DE. Dann ist BG = BC und DL = DG, da B Mittelpunkt des Kreises CGH und D Mittelpunkt des Kreises GKL ist. Also ist (Ax. 3, Ax. 1) Dies war zu zeigen. AL = BG = BC

16 44. Geometrie (L2) Satz. [Euklid I 5] Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck (Def. 20) mit AB = AC. Dann ist ABC = ACB. A F B C G Beweis. D Es seien AB, AC um die geraden Linien BD, CE verlängert (Post. 2). Man wähle auf BD den Punkt F beliebig. Man konstruiere den Punkt G auf AE mit E AG = AF. (1) (dies ist der Schnittpunkt von AE und dem Kreis um A mit Radius AF). Schließlich ziehe man die Strecken FC, GB (Post. 1).

17 4 Kongruenzsätze 45 Dann ist FA = GA, CA = BA und FAC = GAB. Dann sind [Euklid I 4] die Dreiecke F AC und GAB kongruent. Insbesondere FC = GB, ACF = ABG und AFC = AGB (2) Weiter ist (Ax. 3) BF = CG, da AF = AG (wegen (1)) und AB = AC (nach Vor.). Somit FC = GB, BF = CG und BFC = AFC = AGB = CGB Also sind [Euklid I 4] die Dreiecke BF C und CGB kongruent. Insbesondere FBC = GCB und BCF = CBG. (3) und so wegen (2) und (3) ABC = ABG CBG = ACF BCF = ACB.

18 46. Geometrie (L2) Satz. [Euklid I 7] Es ist nicht möglich, über derselben Strecke AB und auf derselben Seite, zwei Paare von Strecken AC, BC und AD, BD zu zeichnen mit AC = AD und BC = BD. C D A B Beweis. Angenommen dies ist möglich. Bemerkung. Mit dieser Annahme hätte man zwei verschiedene Dreiecke ABC und ABD, über derselben Grundlinie AB, deren Seiten paarweise längengleich sind. Aber Achtung: Man darf jetzt

19 4 Kongruenzsätze 47 nicht einfach den Kongruenzsatz (SSS) verwenden, denn wir sind ja erst noch dabei, ihn zu beweisen! Man ziehe CD. Dann wäre [Euklid I 5] ACD = ADC und BCD = BDC (1) da AC = AD und BC = BD (nach Voraussetzung). Weiter ist BCD < ACD und ADC < BDC. Also wäre (Ax. 8) und (1) BCD < BDC. Dies ist ein Widerspruch zu (1).

20 48. Geometrie (L2) Zweiter Kongruenzsatz [Euklid I 8] Seien ABC und DEF zwei Dreiecke mit Dann ist auch AB = DE, AC = DF, BC = EF. BAC = EDF, ABC = DEF, BCA = EFD. A G D B C E F Beweis. Man lege das Dreieck ABC auf das Dreieck DEF und lege dabei den Punkt B auf den Punkt E sowie die Strecke BC auf die Strecke EF.

21 4 Kongruenzsätze 49 Dann muss der Punkt C den Punkt F decken, denn BC = EF. Dann gilt [Euklid, 7], dass alle Seiten von ABC Seiten von DEF decken. Somit ist BAC = EDF, ABC = DEF, BCA = EFD.

22 50. Geometrie (L2) Eine Täuschung der Anschauung. Hier ist ein kleiner Test. Er beruht auf dem 2. Kongruenzsatz und soll zeigen wie leicht man sich von der Anschauung täuschen lassen kann, wenn man nicht genau aufpasst. G D E F α β δ γ A B C Konstruiere die Figur so, daß: DAC = R = rechter Winkel.

23 ACF < DAB AD = CF 4 Kongruenzsätze 51 BG = Mittelsenkrechte zu AC EG = Mittelsenkrechte zu DF Behauptung. (DA, AB) = (BC, CF). Dies wäre ein Widerspruch zu einer der Voraussetzungen der Konstruktion. Und denoch: DG = F G da EG Mitelsenkrechte von DF. AG = CG da BG Mittelsenkrechte von AC. AD = CF nach Konstruktion. Also (AGD) = (CFG), denn alle drei Seiten sind gleich Demnach sind aber auch alle drei Winkel dieser Dreiecke gleich. Insbesondere α = γ. Aber β = δ da B Mittelsenkrechte von AC. Damit ist (AD, AB) = α + β = γ + δ = (AD, AB). Also ist die Behauptung bewiesen. Wo ist der Fehler?