DIE KUBISCHE RESOLVENTE

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1 DIE KUBISCHE RESOLVENTE ANNA FLÖTOTTO Bachelorarbeit vorgelegt von Anna Flötotto Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Oktober 2007

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 2. Voraussetzungen 3 3. Die allgemeine Gleichung n-ten Grades 5 4. Auflösungsformel für Gleichungen 3. Grades 9 5. Auflösungsformel für Gleichungen 4. Grades Vorraussetzungen Variante Variante 2 16 Literatur 22 Eigenständigkeitserklärung 23

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5 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 1 1. Einleitung In dieser Arbeit wollen wir uns mit Auflösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4, der Form z 4 + a 1 z 3 + a 2 z 2 + a 3 z + a 4 = 0 beschäftigen. Dazu brauchen wir einige Definitionen und Sätze. Insbesondere die symmetrischen Funktionen und den Hauptsatz der Galoistheorie werden wir in dieser Arbeit benutzen und in Kapitel 2 nochmal kurz zusammenfassen. Anschließend werden wir in Kapitel 3 die zugrunde liegende Theorie für Gleichungen n-ten Grades, der Form z n a 1 z n 1 + a 2 z n ( 1) n a n = 0 herleiten, auf die wir uns dann im folgenden beziehen wollen. Allgemein wird es darum gehen diese allgemeine Gleichung auf eine andere Gleichung mit elementarsymmetrischen Funktionen als Koeffizienten zurück zu führen, so dass wir dann die Galoistheorie nutzen können um die Auflösungsformeln zu beweisen. Bevor wir uns dann mit Gleichungen 4-ten Grades befassen, behandeln wir in Kapitel 4 noch Gleichungen 3-ten Grades der Form z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 = 0 und entwickeln die Auflösungsformeln von CARDANO. Diese Formeln gebrauchen wir nachher um den Beweis der Auflösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4 zu vereinfachen. Das zentrale Kapitel in dieser Arbeit ist jedoch das Kapitel 5, in dem wir uns mit zwei verschiedenen Auflösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4 beschäftigen wollen. In beiden behandelten Varianten führen wir die Gleichung 4. Grades durch Substitution auf die Gleichung x 4 + px 2 + qx + r = 0 zurück und betrachten dann die Gleichung und ihre Wurzeln Θ i. In Variante 1 wählen wir: Θ 3 t 1 Θ 2 + t 2 Θ t 3 = 0 Θ 1 = (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) Θ 2 = (x 1 + x 3 )(x 2 + x 4 ) Θ 3 = (x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 ) und erhalten dann für obige Gleichung, mit Hilfe der elementarsymmetrischen Funktionen: Θ 3 2pΘ 2 + (p 2 4r)Θ + q 2 = 0. Diese Gleichung können wir dann durch Radikale auflösen.

6 2 ANNA FLÖTOTTO In Variante 2 wählen wir: x 1 x 2 x 3 x 4 Θ 1 = x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 x 3 x 2 x 4 Θ 2 = x 1 x 2 + x 3 x 4 x 1 x 4 x 2 x 3 Θ 3 = x 1 x 2 x 3 + x 4 Die Besonderheit der Θ i, wie wir sie in Variante 2 wählen, ist die Invarianz über x i ax i + b. Wir erhalten dann wiederum für die obige Gleichung, mit Hilfe der elementarsymmetrischen Funktionen: Θ 3 p2 4r Θ 2 1 4pr q2 pθ = 0. 2q 2 8q Auch diese Gleichung kann durch Radikale aufgelöst werden und wir haben mit dieser Formel eine weitere Auflösungsformel für Gleichungen 4-ten Grades gefunden. Die Variante 1 ist die klassische Methode zur Auflösung von Gleichungen 4-ten Grades, wie sie in der Literatur zu finden ist. Variante 2 ist bisher noch nicht in der Literatur zu finden, die Behauptung dass die Θ i entsprechend gewählt werden können wird in dieser Arbeit bewiesen. Die dazugehörigen Rechnungen wurden im Rahmen dieser Bachelorarbeit aufgestellt.

7 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 3 2. Voraussetzungen Sei R ein Ring mit Einselement. Ein Polynom aus R[x 1,..., x n ], das bei jeder beliebigen Permutation der Unbestimmten x 1,..., x n in sich übergeht, heißt eine (ganze rationale) symmetrische Funktion der Variablen x 1,..., x n. Betrachten wir: (1) f(z) = (z x 1 )(z x 2 ) (z x n ) = z n σ 1 z n ( 1) n σ n mit z als Unbestimmte, so erhalten wir als Koeffizienten der Potenzen von z: σ 1 = x 1 + x x n σ 2 = x 1 x 2 + x 1 x x n 1 x n σ 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x x n 2 x n 1 x n. σ n = x 1 x 2 x n offensichtlich symmetrische Funktionen, da die linke und damit auch die rechte Seite von (1) unter Permutationen der x i unverändert bleibt. Die σ 1,..., σ n werden elementarsymmetrische Funktionen von x 1,..., x n genannt. Man kann folgern, dass jedes Polynom φ(σ 1,..., σ n ), wenn man die σ i durch ihre Ausdrücke in den x i ersetzt, eine symmetrische Funktion der x 1,..., x n ergibt. Damit erhalten wir als Hauptsatz über symmetrische Funktionen: Jede ganzrationale symmetrische Funktion aus R[x 1,..., x n ] lässt sich als Polynom φ(σ 1,..., σ n ) schreiben. Weiterhin gilt die Eindeutigkeit der Darstellung durch symmetrische Funktionen, denn: Jedes symmetrische Polynom aus R[x 1,..., x n ] lässt sich auf genau eine Art als Polynom in σ 1,..., σ n schreiben: Sind φ 1 (y 1,..., y n ) und φ 2 (y 1,..., y n ) zwei Polynome in den Unbestimmten y 1,..., y n und ist so ist φ 1 (y 1,..., y n ) φ 2 (y 1,..., y n ) φ 1 (σ 1,..., σ n ) φ 2 (σ 1,..., σ n ) Neben den symmetrischen Funktionen ist für diese Arbeit insbesondere der Hauptsatz der Galoistheorie notwendig. Eine endliche Körperwerweiterung Σ eines Körpers K heißt Galoiserweiterung, falls sie separabel und normal ist. Unter separabel verstehen

8 4 ANNA FLÖTOTTO wir, dass jedes Element der Körpererweiterung separabel, also Nullstelle eines separablen Polynoms ist. Ein Polynom wiederum nennen wir separabel, wenn die irreduziblen Faktoren nur einfache Nullstellen haben. Eine Körpererweiterung nennen wir normal, wenn jedes irreduzible Polynom, welches eine Nullstelle in einer Erweiterung besitzt, in dieser in Linearfaktoren zerfällt. Ebenso gilt, dass eine Körpererweiterung normal ist, wenn sie ein Zerfällungskörper eines Polynoms ist. Sei K Körper und Σ eine endliche Galoiserweiterung von K, dann gilt: (1) Zu jedem Zwischenkörper, K Σ, gehört eine Untergruppe U der Galoisschen Gruppe G, nämlich die Gesamtheit derjenigen Automorphismen von Σ, die alle Elemente von festlassen. (2) ist auch durch U eindeutig bestimmt; ist nämlich die Gesamtheit derjenigen Elemente von Σ, welche die Substitution von U gestatten, d.h. bei ihnen invariant bleiben, also gilt = Σ U (3) Zu jeder Untergruppe U von G kann man einen Körper finden, der zu U in der erwähnten Beziehung steht. (4) Die Ordnung von U ist gleich dem Grad von Σ in Bezug auf ; der Index von U in G ist gleich dem Grad von in Bezug auf K. (5) ist über K genau dann galoisch, wenn U Normalteiler von G ist. Bevor wir uns mit den Auflösungsformeln der allgemeinen Gleichung vom Grad 4 beschäftigen, müssen wir die allgemeine Gleichung vom Grad n betrachten. In Kapitel 4 werden wir mit Hilfe der Galoistheorie allgemeine Vorüberlegungen zur Auflösbarkeit von Gleichungen aufstellen und somit die wichtigen Grundvoraussetzungen für die späteren Beweise schaffen. Außerdem betrachten wir die Auflösbarkeit von Gleichungen vom Grad 3, damit wir dann die Auflösbarkeit der Gleichungen vom Grad 4 auf diese zurückführen können.

9 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 5 3. Die allgemeine Gleichung n-ten Grades Bevor wir uns mit dem Spezialfall der Gleichung vom Grad 4 befassen, müssen wir einige Vorüberlegungen zur allgemeinen Gleichung n-ten Grades betrachten. Unter der allgemeinen Gleichung n-ten Grades verstehen wir eine Gleichung der Form (2) z n a 1 z n 1 + a 2 z n ( 1) n a n = 0 mit unbestimmten Koeffizienten a 1,..., a n, welche dem Grundkörper K adjungiert werden. Angenommen ihre Wurzeln sind b 1,..., b n, dann gilt: a 1 = b 1 + b b n a 2 = b 1 b 2 + b 1 b b n 1 b n. a n = b 1 b 2 b n Die allgemeine Gleichung (2) wollen wir nun mit einer anderen vergleichen, deren Wurzeln Unbestimmte x 1,..., x n sind und deren Koeffizienten (nach obiger Annahme) die elementarsymmetrischen Funktionen σ i dieser Unbestimmten sind: (3) mit z n σ 1 z n 1 + σ 2 z n ( 1) n σ n = (z x 1 )(z x 2 ) (z x n ) = 0 σ 1 = x 1 + x x n σ 2 = x 1 x 2 + x 1 x x n 1 x n. σ n = x 1 x 2 x n Das Polynom (3) ist separabel und hat, in Bezug auf den Körper K(σ 1,..., σ n ), als Galoissche Gruppe die symmetrische Gruppe aller Permutationen der x i. Dies funktioniert, weil jede solche Permutation einen Automorphismus des Körpers K(x 1,..., x n ) darstellt, der die symmetrischen Funktionen σ 1,..., σ n und somit auch alle Elemente des Körpers K(σ 1,..., σ n ) invariant lässt. Da die σ i symmetrisch sind, ist K(σ 1,..., σ n ) ein Unterkörper der Menge der Polynome in K(x 1,..., x n ) für die gilt: f(x π(1),..., x π(n) ) = f(x 1,..., x n ), mit π Permutation, π S n. Das Polynom n f(x) := (x x i ) K(x 1,..., x n )[z] i=1

10 6 ANNA FLÖTOTTO liegt nach der Entwicklung der elementarsymmetrischen Funktionen in K(σ 1,..., σ n )[z] und zerfällt über K(x 1,..., x n ) ganz in Linearfaktoren. Also gehört jede Funktion der x 1,..., x n, die unter Permutationen der Gruppe invariant bleibt, dem Körper K(σ 1,..., σ n ) an. Daraus folgt, dass jede symmetrische Funktion der x i rational durch σ 1,..., σ n ausdrückbar ist. Dies beweist einen Teil des Hauptsatzes über symmetrische Funktionen mit Hilfe der Galoisschen Theorie. Ebenso erhält man mit Hilfe der Galoisschen Theorie den Eindeutigkeitssatz, also die Tatsache dass keine Relation f(σ 1,..., σ n ) = 0 bestehen kann, wenn nicht das Polynom f selbst identisch verschwindet, problemlos wieder. Nehmen wir nun an, dass gilt: ( n n ) f(σ 1,..., σ n ) = f x i, x i x j,..., x 1 x 2 x n = 0 i=1 i=1 j>i so würde diese Relation beim Einsetzen der Wurzeln b für die Unbestimmten x i bestehen bleiben. Es gilt also: ( n n ) f b i, b i b j,..., b 1 b 2 b n = 0 oder i=1 i=1 j>i f(a 1,..., a n ) = 0 Damit erhalten wir, dass f identisch verschwinden würde. Aus dem Eindeutigkeitssatz folgt, dass die Zuordnung f(b 1,..., b n ) f(σ 1,..., σ n ) nicht nur ein Homomorphismus, sondern ein Isomorphismus der Ringe K[a 1,..., a n ] und K[σ 1,..., σ n ] ist. Diese Abbildung können wir zu einem Isomorphismus der Quotientenkörper K(a 1,..., a n ) und K(σ 1,..., σ n ) und sogar zu einem Isomorphismus der Nullstellenkörper K(b 1,..., b n ) und K(x 1,..., x n ) erweitern. Hierbei gehen die b i in irgendeiner Reihenfolge über in die x k. Da die x i permutierbar sind, können wir jedoch auch jedes b i in x i übergehen lassen. Damit haben wir bewiesen: Es gibt einen Isomorphismus K(b 1,..., b n ) = K(x 1,..., x n ) der jedes b i in x i und jedes a i in σ i überführt. Mit Hilfe dieses Isomorphismus können wir alle Sätze über die Gleichung (3) unmittelbar auf die Gleichung (2) übertragen. Insbesondere erhalten wir daraus:

11 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 7 Die allgemeinde Gleichung (2) ist separabel und hat in Bezug auf ihren Koeffizientenkörper K(a 1,..., a n ) als Galoissche Gruppe die symmetrische Gruppe. Der Grad ihres Zerfällungskörpers ist n!. Im Folgenden setzen wir K(a 1,..., a n ) = K(b 1,..., b n ) = Σ und bezeichnen die symmetrische Gruppe mit S n. Die symmetrische Gruppe besitzt immer eine Untergruppe vom Index 2, die alternierende Gruppe A n mit A n = {σ S n sgn(σ) = 1}. Der zugehörige Zwischenkörper Λ hat den Grad 2 und wird von jeder Funktion der b i erzeugt, welche Substitutionen der A n, aber nicht der S n gestattet. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft ist, falls char(k) 2 gilt, das Differenzprodukt (b i b k ) = D i<k wobei die Diskriminante der Gleichung (2) dessen Quadrat ist, D = i<k (b i b k ) 2 Da die Diskriminante eine symmetrische Funktion ist, ist sie also ein Polynom in den a i. Somit erhalten wir den Körper Λ in der Form Λ = ( D) Für n > 4 ist die Gruppe A n einfach und somit ist: (4) S n A n F eine Kompositionsreihe, mit F als triviale Gruppe. Die Gruppe S n ist also für n > 4 nicht auflösbar. Daraus folgt: Satz 3.1 (Satz von Abel). Die allgemeine Gleichung n-ten Grades ist für n > 4 nicht durch Radikale lösbar. Die Kompositionsfaktoren in (4) sind für n = 2 und n = 3 zyklisch. Für n = 2 gilt sogar A n = F; für n = 3 haben die Faktoren die Ordnung 2 und 3. Für n = 4 hat man mit der Kleinschen Vierergruppe (K 4 ) (in Zykelschreibweise): {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} und E 2, welche irgendeine ihrer Untergruppen der Ordnung 2 ist, die Kompositionsreihe (5) S n A n K 4 E 2 F

12 8 ANNA FLÖTOTTO Die Ordnung der Kompositionsfaktoren sind 1, 3, 2, 2 Auf diesen Tatsachen beruhen die in den nächsten Kapiteln behandelten Auflösungsformeln der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades.

13 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 9 4. Auflösungsformel für Gleichungen 3. Grades Als Auflösungsformel für Gleichungen 2. Grades, x 2 + px + q = 0 ist uns die pq-formel x 1,2 = p 2 ± ( p 2 )2 q bekannt. Auch für Gleichungen vom Grad 3 kennen wir eine Auflösungsformel, die wir im Folgenden herleiten wollen um dann im Fall von Gleichungen 4. Grades auf diese Ergebnisse zurückgreifen zu können. Die allgemeine Gleichung 3. Grades können wir durch Substitution von z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 = 0 auf die Gestalt z = x 1 3 a 1 x 3 + px + q = 0 bringen. Dabei setzen wir voraus, dass char(k) 2 und char(k) 3. Entsprechend der Kompositionsreihe S 3 A 3 F adjungieren wir zunächst das Differenzprodukt der Wurzeln: (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ) = D = 4p 3 27q 2 Durch diese Adjunktion erhalten wir einen Körper ( D), mit = K(a 1, a 2, a 3 ) bezogen auf den die Gleichung die Gruppe A 3 hat, also eine zyklische Gruppe der Ordnung 3. Entsprechend der allgemeinen Theorie der Auflösung von Gleichungen durch Radikale adjungieren wir zunächst die dritten Einheitswur- zeln: { ϱ = (6) ϱ 2 = und betrachten anschließend die Lagrangeschen Resolventen: (1, x 1 ) = x 1 + x 2 + x 3 (7) (ϱ, x 1 ) = x 1 + ϱx 2 + ϱ 2 x 3 (ϱ 2, x 1 ) = x 1 + ϱ 2 x 2 + ϱx 3

14 10 ANNA FLÖTOTTO Wir müssen die dritten Potenzen dieser Größen rational durch 3 und D ausdrücken können. Wir erhalten so: und (ϱ, x 1 ) 3 = x x x ϱx 2 1x 2 + 3ϱx 2 2x 3 + 3ϱx 2 3x 1 + 3ϱ 2 x 1 x ϱ 2 x 2 x ϱ 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 (ϱ 2, x 1 ) 3 = x x x ϱx 1 x ϱx 2 x ϱx 3 x ϱ 2 x 2 1x 2 + 3ϱ 2 x 2 2x 3 + 3ϱ 2 x 2 3x 1 + 6x 1 x 2 x 3 Wenn wir nun (6) in diese beiden Gleichungen einsetzen und beachten, dass gilt: D = (x1 x 2 )(x 1 x 2 )(x 2 x 3 ) dann folgt: = x 2 1x 2 + x 2 2x 3 + x 2 3x 1 x 1 x 2 2 x 2 x 2 3 x 3 x 2 1 (ϱ, x 1 ) = (ϱ 2, x 1 ) = 3 x i 3 2 i=1 3 x i 3 2 i=1 3 x i x j + 6x 1 x 2 x D 2 i,j=1 j>i 3 x i x j + 6x 1 x 2 x D 2 i,j=1 j>i Wir können die auftretenden symmetrischen Funktionen durch elementarsymmetrische Funktionen σ 1, σ 2, σ 3, also die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung ausdrücken. Es gilt: σ 3 1 = 3 x 3 i i=1 9 2 σ 1σ 2 = i,j=1 j i 3 x 2 i x j + 6x 1 x 2 x 3 =0 i,j=1 j i x 2 i x j 27 2 x 1x 2 x 3 = σ 3 = 27 2 x 1x 2 x 3 = 27 2 q

15 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 11 Aufsummieren der obigen Gleichungen ergibt: q = x 3 i 3 3 x 2 i x j + 6x 1 x 2 x 3 2 i=1 i,j=1 j i Einsetzen liefert: (ϱ, x 1 ) 3 = 27 2 q D 2 und (ϱ 2, x 1 ) 3 = 27 2 q 3 3 D 2 Die beiden kubischen Irrationalitäten (ϱ, x 1 ) und (ϱ 2, x 1 ) sind also nicht unabhängig, und es gilt: (ϱ, x 1 )(ϱ 2, x 1 ) = x x x (ϱ + ϱ 2 )x 1 x 2 + (ϱ + ϱ 2 )x 1 x 3 + (ϱ + ϱ 2 )x 2 x 3 = x x x 2 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 Somit müssen wir die Kubikwurzeln (ϱ, x 1 ) = 3 27q D (8) (ϱ 2, x 1 ) = 3 27q D so bestimmen, dass gilt: (9) (ϱ, x 1 )(ϱ 2, x 1 ) = 3p Um die Wurzeln x 1, x 2, x 3 auszurechnen, multiplizieren wir die Gleichung (7) der Reihe nach mit 1, 1, 1, bzw. 1, ϱ 2, ϱ, bzw. 1, ϱ, ϱ 2 und addieren sie. Damit erhalten wir: (10) 3x 1 = (ϱ, x 1 ) + (ϱ 2, x 1 ) 3x 2 = ϱ 2 (ϱ, x 1 ) + ϱ(ϱ 2, x 1 ) 3x 3 = ϱ(ϱ, x 1 ) + ϱ 2 (ϱ 2, x 1 ) Die Formeln (8), (9), (10) sind die Auflösungsformeln von CARDANO, sie gelten aufgrund ihrer Herleitung nicht nur für die allgemeine sondern auch für jede spezielle kubische Gleichung.

16 12 ANNA FLÖTOTTO 5. Auflösungsformel für Gleichungen 4. Grades In dem folgenden Kapitel wollen wir zwei mögliche Auflösungsformeln für Gleichungen 4. Grades herleiten. Dabei werden wir uns auf die vorhergehenden Kapitel beziehen Vorraussetzungen. Die allgemeine Gleichung 4. Grades können wir durch Substitution z 4 + a 1 z 3 + a 2 z 2 + a 3 z + a 4 = 0 in z = x 1 4 a 1 x 4 + px 2 + qx + r = 0 transformieren. Wir betrachten die Kompositionsreihe S 4 A 4 K 4 E 2 F Diese Kompostionsreihe haben wir im Kapitel 3 bereits mittels Galoistheorie entwickelt, jedoch für den allgemeinen Fall vom Grad n (siehe (5)). F ist wieder die einfache Gruppe. Zu dieser Kompositionsreihe gehört eine Reihe von Körpern ( D) Λ 1 Λ 2 Σ Wobei D, wie in Kapitel 3 definiert, die Diskriminante der allgemeinen Gleichung ist. Im Folgenden gilt, dass die Laufindizes i, j, k, l aus der Menge {1, 2, 3, 4} sind Variante 1. Im Folgenden gilt: char( ) 2 und char( ) 3. Wie zu sehen ist, ist die explizite Bestimmung von D nicht nötig. Durch eine Größe, welche die Substitutionen von K 4, aber nicht die von A 4 gestattet, wird der Körper Λ 1 aus ( D) erzeugt. Eine solche Größe ist Θ 1 = (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) Außer den Substitutionen von K 4 gestattet diese Größe noch die folgenden (in Zykelschreibweise): (12), (34), (1324), (1423) welche zusammen mit K 4 eine Gruppe der Ordnung 8 bilden. In Bezug auf hat diese Größe drei verschiedene Konjugierte, in die sie durch

17 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 13 Substitutionen von S 4 überführt werden kann: Θ 1 = (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) Θ 2 = (x 1 + x 3 )(x 2 + x 4 ) Θ 3 = (x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 ) Diese Größen wiederum sind Wurzeln der folgenden Gleichung 3. Grades: (11) Θ 3 t 1 Θ 2 + t 2 Θ t 3 = 0 Die t i dieser Gleichung sind die elementarsymmetrischen Funktionen der Θ 1, Θ 2, Θ 3 : t 1 = Θ 1 + Θ 2 + Θ 3 = 2 x i x j j>i = 2p t 2 = Θ i Θ j j>i = j>i t 3 = Θ 1 Θ 2 Θ 3 = j i k i,j x 2 i x 2 j + 3 i j,k k>j x 3 i x 2 jx k + 2 x 2 i x j x k + 6x 1 x 2 x 3 x 4 i j,k,l l>k>j x 3 i x j x k x l + 2 x 2 i x 2 jx 2 k + 4 i,j k,l j>i,l>k x 2 i x 2 jx k x l Wir können t 1 in diesem Fall direkt als symmetrische Funktion angeben, t 2 und t 3 können wir durch die elementarsymmetrischen Funktionen σ 1, σ 2, σ 3 der x i ausdrücken. Es gilt: σ 2 2 = j>i x 2 i x 2 j + 2 i j,k k>j σ 1 σ 3 = x 2 i x j x k + 4x 1 x 2 x 3 x 4 i j,k k>j 4σ 4 = 4x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 i x j x k + 6x 1 x 2 x 3 x 4

18 14 ANNA FLÖTOTTO Also: Ebenso gilt: σ 1 σ 2 σ 3 = k i,j j>i σ1σ 2 4 = Also: t 2 = j>i x 2 i x 2 j + 3 i j,k k>j = σ σ 1 σ 3 4σ 4 = p 2 4r x 2 i x 2 jx k + 3 i j,k,l l>k>j σ 2 3 = t 3 = j i k i,j x 3 i x 2 jx k + 2 i j,k,l l>k>j x 3 i x j x k x l 2 x 2 i x 2 jx 2 k 2 4 i j,k,l l>k>j = σ 1 σ 2 σ 3 σ 2 1σ 4 σ 2 3 = q 2 x 2 i x j x k + 6x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 i x j x k x l + 3 i,j k,l j>i,l>k i,j k,l j>i,l>k x 2 i x 2 jx k x l x 2 i x 2 jx k x l x 3 i x j x k x l + 2 Somit können wir die Gleichung (11) angeben mit: (12) Θ 3 2pΘ 2 + (p 2 4r)Θ + q 2 = 0 x 2 i x 2 jx 2 k + 8 x 2 i x 2 jx 2 k + 4 i,j k,l j>i,l>k i,j k,l j>i,l>k x 2 i x 2 jx k x l x 2 i x 2 jx k x l Diese Gleichung nennt man die kubische Resolvente der Gleichung 4. Grades. Nach CARDANO können wir ihre Wurzeln Θ 1, Θ 2, Θ 3 durch Radikale ausdrücken. Nun können wir auch sehen, dass die explizite Bestimmung von D tatsächlich nicht nötig ist, denn: Wie schon bemerkt, gilt: K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ). Da K 4 die Θ i invariant lässt und die Invarianten in Σ unter der Galoisuntergruppe K 4 Λ 1 ist, ist per Definition Λ 1 = Σ K 4. Wobei gilt: Σ = K(b 1, b 2, b 3, b 4 ) und Σ K 4 = {a Σ σ(a) = a a K 4 }. Damit haben wir gezeigt, dass Θ i Λ 1. Wir erhalten somit die Körperkette K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ) Λ 1 Σ Σ/ ist eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe S 4. Damit folgt aus dem Hauptsatz der Galoistheorie, dass für eine Untergruppe: gilt: S 4 U K 4 K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ) = Σ U

19 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 15 Wobei analog zu vorher gilt: Σ U = {a Σ σ(a) = a a U} Wir wollen nun noch zeigen, dass gilt: K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ) = Λ 1 Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie reicht es hierfür zu zeigen, dass gilt: U = K 4. K 4 U ist uns bereits bekannt. Sei nun σ U und wir zeigen, dass σ K 4. σ lässt nach Definition von U, alle drei Θ i fest. Damit folgt direkt die Behauptung, dass σ K 4, denn keine andere Permutation außer K 4 lässt alle drei Θ i fest. Also gilt: U = K 4 und somit auch: K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ) = Λ 1 Der Körper Λ 2 wiederum entsteht aus Λ 1 durch Adjunktion einer Größe, die nicht alle vier Substitutionen von K 4 sondern beispielsweise nur das Einselement und die Substitution (12)(34) gestattet. Eine solche Größe ist x 1 + x 2. Wir haben: und wir wissen bereits daher gilt etwa: (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) = Θ 1 (x 1 + x 2 ) + (x 3 + x 4 ) = 0 x 1 + x 2 = Θ 1 ; x 3 + x 4 = Θ 1 Auf gleiche Weise erhalten wir: x 1 + x 3 = Θ 2 ; x 2 + x 4 = Θ 2 x 1 + x 4 = Θ 3 ; x 2 + x 3 = Θ 3 Diese drei Irrationalitäten sind nicht unabhängig; es gilt: Θ1 Θ 2 Θ 3 = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 )(x 1 + x 4 ) = x x 2 2(x 2 + x 3 + x 4 ) + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = x 2 1(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + = = q Da K 4 Z/2 Z/2 die Ordnung 4 hat und eine Untergruppe der Ordnung 2 besitzt, brauchen wir genau zwei quadratische Irrationalitäten um von K 4 zu F hinunter- oder von Λ zu Σ hinaufzusteigen. Die x i lassen sich tatsächlich durch die drei Größen Θ (welche schon von zweien

20 16 ANNA FLÖTOTTO unter ihnen abhängen) rational bestimmen. Es gilt: 2x 1 = Θ 1 + Θ 2 + Θ 3, 2x 2 = Θ 1 Θ 2 Θ 3, 2x 3 = Θ 1 + Θ 2 Θ 3, 2x 4 = Θ 1 Θ 2 + Θ 3, Dies sind genau die Auflösungsformeln der allgemeinen Gleichung 4. Grades. Aufgrund ihrer Herleitung gelten sie auch für jede spezielle Gleichung 4. Grades Variante 2. Als zweite Variante können wir die Θ i auch wie folgt wählen: Θ 1 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 + x 2 x 3 x 4 Θ 2 = x 1 x 3 x 2 x 4 x 1 x 2 + x 3 x 4 Θ 3 = x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 + x 4 Diese Größen sind ebenfalls Wurzeln einer Gleichung 3. Grades (13) Θ 3 t 1 Θ 2 + t 2 Θ t 3 = 0 Wobei die b i die elementarsymmetrischen Funktionen von Θ 1, Θ 2, Θ 3 sind. (14) (15) (16) t 1 = Θ 1 + Θ 2 + Θ 3 j i x3 i x j 2 j>i x2 i x 2 j j,k i x 2 i x j x k + 12x 1 x 2 x 3 x 4 k>j = x 3 i j i x2 i x j + 2 x ix j x k t 2 = j i Θ i Θ j = i j,k k>j x 3 i x j x k 2 k i,j x 2 i x 2 jx k + 3 i j,k,l x 2 i x j x k x l j>i l>k>j x 3 i j i x2 i x j + 2 x ix j x k t 3 = Θ 1 Θ 2 Θ 3 x2 i x 2 jx 2 k + i j,k,l x 3 i x j x k x l l>k>j = x 3 i j i x2 i x j + 2 k>j>l x ix j x k Die t i können wir durch die elementarsymmetrischen Funktionen von σ 1, σ 2, σ 3, σ 4 der x i ausdrücken:

21 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 17 Wir berechnen zunächst den Zähler von (14) σ 2 1σ 2 = j i 4σ 2 2 = 4 j>i x 3 i x j + 2 j>i x 2 i x 2 j 8 i j,k k>j x 2 i x 2 j + 5 i j,k k>j 2σ 1 σ 3 = 2 x 2 i x j x k + 8x 1 x 2 x 3 x 4 i j,k k>j 16σ 4 = 16x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 i x j x k + 12x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 i x j x k 24x 1 x 2 x 3 x 4 Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: x 3 i x j 2 x 2 i x 2 j x 2 i x j x k + 12x 1 x 2 x 3 x 4 j i j>i i j,k k>j = σ 2 1σ 2 4σ σ 1 σ σ 4 und für den Nenner von (14) gilt: 4 σ1 3 = x 3 i + 3 x 2 i x j + 6 i=1 j i 4σ 1 σ 2 = 4 x 2 i x j 12 j i 8σ 3 = 8 Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: 4 x 3 i x 2 i x j + 2 j i i=1 Also erhalten wir für (14): = σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 t 1 = σ2 1σ 2 4σ σ 1 σ σ 4 σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 = 4p2 + 16r 8q = p2 4r 2q

22 18 ANNA FLÖTOTTO Ebenso berechnen wir den Zähler von (15): 4σ 2 σ 3 = 4 k i,j j>i x 2 i x 2 jx k 12 σ1σ 2 3 = x 3 i x j x k + 2 i j,k k i,j k>j j>i 8σ 1 σ 4 = 8 x 2 i x j x k x l i j,k,l l>k>j i j,k,l l>k>j x 2 i x j x k x l x 2 i x 2 jx k + 7 Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: i j,k k>j x 3 i x j x k 2 k i,j j>i und den Nenner von (15): = 4σ 2 σ 3 + σ 2 1σ 3 + 8σ 1 σ 4 x 2 i x 2 jx k + 3 i j,k,l l>k>j i j,k,l l>k>j x 2 i x j x k x l 4 σ1 3 = x 3 i + 3 x 2 i x j + 6 i=1 j i 4σ 1 σ 2 = 4 x 2 i x j 12 j i 8σ 3 = 8 Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: i=1 Also erhalten wir für (15): 4 x 3 i x 2 i x j + 2 j i = σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 x 2 i x j x k x l t 2 = 4σ 2σ 3 + σ 2 1σ 3 + 8σ 1 σ 4 σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 = 4pq 8q = 1 2 p

23 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 19 Ebenso berechnen wir den Zähler von (16): σ3 2 = x 2 i x 2 jx 2 k + 2 σ 2 1σ 4 = i j,k,l l>k>j 4σ 2 σ 4 = 4 i,j k,l j>i,l>k x 3 i x j x k x l + 2 i,j k,l j>i,l>k x 2 i x 2 jx k x l i,j k,l j>i,l>k Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: x 2 i x 2 jx 2 k + x 3 i x j x k x l und der Nenner von (16): i j,k,l l>k>j = σ σ 2 1σ 4 4σ 2 σ 4 x 2 i x 2 jx k x l x 2 i x 2 jx k x l 4 σ1 3 = x 3 i + 3 x 2 i x j + 6 i=1 j i 4σ 1 σ 2 = 4 x 2 i x j 12 j i 8σ 3 = 8 Aufsummieren der obigen Gleichungen liefert: i=1 Also erhalten wir für (16): 4 x 3 i x 2 i x j + 2 j i = σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 Damit wird die Gleichung (13) zu: (17) t 3 = σ2 3 + σ 2 1σ 4 4σ 2 σ 4 σ 3 1 4σ 1 σ 2 + 8σ 3 = q2 4pr 8q Θ 3 p2 4r Θ 2 1 4pr q2 pθ 2q 2 8q = 0 Analog zur Variante 1 können wir die Wurzeln Θ 1, Θ 2, Θ 3 dieser Gleichung (17) durch Radikale ausdrücken. Auch in diesem Fall können wir

24 20 ANNA FLÖTOTTO sehen, dass die explizite Bestimmung von D nicht notwendig ist, denn auch hier gilt, analog zur Variante 1: K(Θ 1, Θ 2, Θ 3 ) = Λ 1 Wie in Variante 1 gilt: Der Körper Λ 2 wiederum entsteht aus Λ 1 durch Adjunktion einer Größe, die nicht alle vier Substitutionen von K 4 sondern beispielsweiswe nur das Einselement und die Substitution (12)(34) gestattet. Eine solche Größe ist x 1 + x 2. Wir haben: und es gilt: Θ 1 = Θ 2 = Θ 3 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 + x 2 x 3 x 4 x 1 x 3 x 2 x 4 x 1 x 2 + x 3 x 4 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 + x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0d und mit Einsetzen von x 1 = (x 2 + x 3 + x 4 ) erhalten wir für die Θ i : Wir setzen nun: Θ 1 = x2 2 + x 2 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 2(x 3 + x 4 ) = (x 2 + x 3 )(x 2 + x 4 ) 2(x 3 + x 4 ) Θ 2 = x2 3 + x 3 (x 2 + x 4 ) + x 2 x 4 2(x 2 + x 4 ) = (x 2 + x 3 )(x 3 + x 4 ) 2(x 2 + x 4 ) Θ 3 = x2 4 + x 4 (x 2 + x 3 ) + x 2 x 3 2(x 2 + x 3 ) = (x 2 + x 4 )(x 3 + x 4 ) 2(x 2 + x 3 ) y 2 = x 3 + x 4 y 3 = x 2 + x 4 y 4 = x 2 + x 3

25 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 21 und erhalten so: Weiterhin gilt: 2Θ 1 = y 4y 3 y 2 2Θ 2 = y 4y 2 y 3 2Θ 3 = y 3y 2 y 4 x 3 + x 4 = 2 Θ 2 Θ 3 = y 2 x 2 + x 4 = 2 Θ 1 Θ 3 = y 3 x 2 + x 3 = 2 Θ 1 Θ 2 = y 4 Diese 3 Irrationalitäten sind nicht unabhängig, sondern es gilt: 1 8 y 2y 3 y 4 = Θ 1 Θ 2 Θ 3 Da K 4 Z/2 Z/2 die Ordnung 4 hat und eine Untergruppe der Ordnung 2 besitzt, brauchen wir genau zwei quadratische Irrationalitäten um von K 4 zu F hinunter- oder von Λ zu Σ hinaufzusteigen. Tatsächlich lassen sich durch die 3 Größen y i, die schon von zweien unter ihnen abhängen, die x i rational bestimmen, denn es gilt: 2x 1 = y 2 y 3 y 4 2x 2 = y 2 + y 3 + y 4 2x 3 = y 2 y 3 + y 4 2x 4 = y 2 + y 3 y 4 Dies sind Auflösungsformeln der allgemeinen Gleichung 4. Grades. Aufgrund ihrer Herleitung gelten sie auch für jede spezielle Gleichung 4. Grades, für die gilt: q 0, denn: die Nenner der Θ i sind ungleich Null. Wenn nun die Nenner aufmultipliziert werden erhalten wir: 0 (x 1 + x 2 x 3 x 4 )(x 1 x 2 + x 3 x 4 )(x 1 x 2 x 3 + x 4 ) = 8q somit muss auch gelten q 0. Für den Fall q = 0 lässt sich eine Gleichung 4. Grades einfach ohne die obigen Auflösungsformeln lösen: Für q = 0 gilt: x 4 + px 2 + qx + r = x 4 + px 2 + r = 0 und diese Gleichung kann man einfach lösen, indem man x 2 = y setzt und die pq-formel anwendet.

26 22 ANNA FLÖTOTTO Literatur [1] B. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1967, 5. Auflage [2] K. Meyberg, Algebra, Teil 2, Carl Hanser Verlag, München/Wien, 1976, 1. Auflage

27 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 23 Eigenständigkeitserklärung Hiermit versichere ich, Anna Flötotto, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit ohne die Hilfe Anderer verfasst habe. Aßerdem habe ich keine Quellen verwendet, die nicht im Literaturverzeichnis angegeben sind.