2 Normale und separable Körpererweiterungen

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1 2 Normale und separable Körpererweiterungen Definition und Satz 2.1. Seien K ein Körper und f K[X], Grad(f) 1. Ein Zerfällungskörper L von f über K ist eine Körpererweiterung L/K mit folgenden beiden Eigenschaften: (ZK1) f zerfällt über L in Linearfaktoren: c K, α 1,..., α n L mit f = c n i=1 (X α i), und (ZK2) L = K(α 1,..., α n ). Entsprechend definiert man den Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen {f i K[X] i I}, wobei I eine geeignete Indexmenge ist. Es gilt: (i) Ist L Zerfällungskörper von f K[X] über K, so ist L/K algebraisch und [L : K] n!. (ii) Seien L, E Zerfällungskörper von f K[X]. Dann gilt L = K E. Man bezeichnet einen (bis auf K-Isomorphie eindeutigen) Zerfällungskörper f über K mit ZK K (f). Entsprechendes gilt für Zerfällungskörper von {f i K[X] i I}, und man definiert entsprechend ZK K (f i i I). Bemerkung. Falls ein algebraischer Abschluss K alg von K vorgegeben ist, so gibt es genau einen Zerfällungskörper von f in K alg, der durch die eindeutig bestimmten Nullstellen von f in K alg erzeugt wird. Korollar 2.2. Sei f K[X] und sei ein algebraischer Abschluss K K alg gegeben. Sei L = ZK K (f) K alg. Dann gilt: σ Hom K (L, K alg ) = σ Gal(L/K). Bemerkung. Sei L/K algebraisch und L alg ein algebraischer Abschluss von L. Dann ist L alg auch ein algebraischer Abschluss von K. Sei umgekehrt ein algebraischer Abschluss K alg von K gegeben und K L K alg. Dann ist K alg auch algebraischer Abschluss von L. Satz und Definition 2.3. Sei K ein Körper mit algebraischem Abschluss K alg, und sei L ein Zwischenkörper: K L K alg. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) σ Hom K (L, K alg ) gilt σ Gal(L/K). 7

2 (ii) Es gibt Polynome f i K[X], i I (mit I einer geeigneten Indexmenge) mit L = ZK K (f i i I). (iii) Für jedes irreduzible f K[X] gilt: α L mit f(α) = 0 = f zerfällt über L in Linearfaktoren (d.h., für irreduzible f K[X] gilt: eine Nullstelle in L = alle Nullstellen in L). Eine algebraische Erweiterung L/K die eine (und damit jede) der obigen Bedingungen erfüllt, heißt normale Erweiterung von K. Bemerkung. Da generell immer Gal(L/K) Hom K (L, K alg ) gilt, kann obige Aussage (i) auch so formuliert werden: Es gilt Gal(L/K) = Hom K (L, K alg ). Satz 2.4. (i) Sei K L M ein Körperturm algebraischer Erweiterungen. Ist M/K normal, so ist auch M/L normal. (ii) Sei L/K eine Körpererweiterung, und seien K i, i = 1, 2 Zwischenkörper, die algebraisch über K sind: K K i L. Sind K 1 /K und K 2 /K normal, so sind auch K 1 K 2 /K und K 1 K 2 /K normal. Beispiel. Mit obigem Kriterium sehen wir (mit j = ( 1 + 3)/2)): L := Q( 3 2, j 3 2, j 2 3 2) = Q( 3 2, j) = ZK Q (X 3 2), also L/Q normal. Wir haben Q Q( 3 2) L. Q( 3 2)/Q ist aber nicht normal, da das (über Q) irreduzible Polynom X 3 2 zwar die Nullstelle 3 2 in Q( 3 2) hat, nicht aber die beiden anderen Nullstellen j 3 2, j Definition 2.5. (i) f K[X], Grad(f) = n 1 heißt separabel, falls f in einem algebraischen Abschluss K alg n verschiedene Nullstellen hat, also f = c n i=1 (X α i) mit c K, α i K alg und α i α j für i j. (ii) Sei L/K eine Erweiterung und α L algebraisch über K. α heißt separabel über K falls Min K,α (X) K[X] separabel ist. (iii) Sei L/K eine algebraische Erweiterung. Dann heißt L/K eine separable Erweiterung falls jedes α L separabel über K ist. Bemerkung. (i) Gilt α K, so ist Min K,α (X) = X α offenbar separabel, somit ist jedes Element aus K separabel über K. (ii) Ist ein Polynom, ein algebraisches Element oder eine algebraische Erweiterung nicht separabel, so bezeichnet man dies auch als inseparabel. Definition und Lemma 2.6. Sei f K[X], f = a 0 +a 1 X+a 2 X a n X n. Man definiert die (formale) Ableitung Df von f als Df = a 1 + 2a 2 X na n X n 1. Damit gelten die folgenden ( üblichen ) Regeln für f, g K[X], λ K: 8

3 (i) Linearität: D(λf) = λdf und D(f + g) = Df + Dg; (ii) Produktregel: D(fg) = Df g + f Dg. Ferner gilt: f ist separabel ggt(f, Df) = 1. Das Kriterium für Separabilität mittels des ggt zeigt, dass es in der ursprünglichen Definition von Separabilität nicht darauf ankommt, wie der algebraische Abschluss gewählt wird. Lemma 2.7. Sei f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n K[X]. (i) Ist M/K eine Körpererweiterung, so gilt: f ist separabel über K f ist separabel über M. (ii) Sei L ein weiterer Körper und σ Hom(K, L), σ(f) = n i=0 σ(a i)x i (siehe 1.3). Dann gilt σ(df) = D σ(f). Ferner gilt: f ist separabel über K f ist separabel über L. Bemerkung 2.8. Sei f K[X] irreduzibel, f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n mit a n 0, n 1. Ist Df = 0, so gilt ggt(f, Df) = f, und somit ggt(f, Df) 1, d.h. f ist inseparabel. Gilt Df 0, so gilt wegen Grad(Df) < Grad(f) dass f kein Teiler von Df ist, und die Irreduzibilität von f impliziert dann ggt(f, Df) = 1 (K[X] ist faktoriell!). Somit erhält man die folgenden Aussagen. (i) Sei char(k) = 0. Dann ist jedes irreduzible f separabel. Insbesondere gilt: jede algebraische Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 ist separabel. (ii) Sei char(k) = p > 0. Dann ist ein irreduzibles f inseparabel genau dann wenn a i = 0 für alle i die nicht durch p teilbar sind, d.h. es existiert g(x) K[X] mit f(x) = g(x p ), d.h. b 0,..., b m K mit f = b 0 + b 1 X p + b 2 X 2p b m X mp (hier: g = b 0 + b 1 X + b 2 X b m X m ). Beispiel. Sei F p = Z/pZ. Betrachte K = F p (T ) (rationaler Funktionenkörper in der Variablen T ) und darüber das Polynom f = X p T K[X]. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass f irreduzibel ist. Es gilt ferner Df = 0 (da p = 0 in F p K), also ggt(f, Df) = ggt(f, 0) = f 1. f ist also inseparabel. Sei τ eine Nullstelle von f in einem algebraischen Abschluss F p, also τ p = T, und betrachte L = K(τ). L/K ist sicher inseparabel da schon τ inseparabel über K ist. Über L gilt ferner f = X p T = X p τ p = (X τ) p (binomischer Lehrsatz plus die Tatsachen, dass p eine Primzahl ist und dass als Element in F p gilt: p = 0). Insbesondere zerfällt f über L in Linearfaktoren und wir sehen: L = ZK K (f), also ist L/K normal aber nicht separabel. 9

4 Lemma 2.9. Seien K alg ein algebraischer Abschluss von K, α K alg und K L K alg ein Zwischenkörper. Sei f = Min K,α (X) K[X], g = Min L,α (X) L[X]. Seien n = Grad(g) = [L(α) : L] und σ Hom K (L, K alg ). (i) In L[X] gilt: g f, d.h. h L[X] mit f = gh. Insbesondere gilt: α separabel über K = α separabel über L. (ii) Es gibt Erweiterungen von σ nach Hom K (L(α), K alg ), und zwar höchstens n solche Erweiterungen. Ferner gilt: Es gibt genau n solche Erweiterung α ist separabel über L. Satz 2.10 (Fortsetzbarkeit von Homomorphismen). Sei K alg ein algebraischer Abschluss von K und seien L, M Zwischenkörper mit K L M K alg, [M : L] = n <. Jedes σ Hom K (L, K alg ) lässt sich zu einem τ Hom K (M, K alg ) fortsetzen mit τ L = σ, und zwar auf höchstens n Weisen. Ferner gilt: σ lässt sich auf genau n Weisen fortsetzen M/L separabel. Korollar Sei K alg ein algebraischer Abschluss von K und sei L ein Zwischenkörper mit [L : K] = n <. Dann gilt: 1 Hom K (L, K alg ) n, und es gilt Hom K (L, K alg ) = n genau dann, wenn L/K separabel ist. Korollar Sei K alg ein algebraischer Abschluss von K und seien α i K alg, i I (mit einer geeigneten Indexmenge I). Dann gilt: i I : α i separabel über K K(α i i I)/K separabel. Man nennt eine Körpererweiterung L/K einfach, falls ein α L existiert mit L = K(α). So eine einfache Erweiterung ist endlich genau dann, wenn α algebraisch über K ist (wieso?). Satz 2.13 (Satz vom primitiven Element). Sei L/K eine endliche Erweiterung. (i) α L mit L = K(α) (d.h. L/K ist einfach) es gibt nur endlich viele Zwischenkörper K M L. (ii) L/K separabel = L/K ist einfach. Bemerkung Ist L/K eine endliche algebraische Erweiterung, so können wir immer α 1,..., α n L finden (für geeignetes n) mit L = K(α 1,..., α n ) (wieso?). Falls L/K separabel ist, stellt sich die Frage, wie man ein primitives Element finden kann, welches nach obigem Satz existieren muss. Z.B. wissen wir, dass Q( 2, 3)/Q separabel ist. Als primitives Element kann hier man z.b nehmen, d.h. Q( 2, 3) = Q( 2 + 3) ( Übung). 10

5 Generell kann man zeigen, dass für obige endliche separable Erweiterung L = K(α 1,..., α n )/K man immer ein primitives Element vom Typ α 1 + c 2 α c n α n finden kann für geeignete c i K, vorausgesetzt K =. Falls K endlich ist und falls L eine endliche Erweiterung ist, so ist dann auch L endlich (wieso?) und somit ist die endliche multiplikative Gruppe L des Körpers zyklisch (siehe Algebra 1), sagen wir L = α, und somit gilt natürlich L = K(α), also ist in diesem Fall L/K einfach. 11