2 Riemannsche Flächen

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1 $Id: flaechen.tex,v /11/10 16:04:56 hk Exp $ 2 Riemannsche Flächen 2.1 Definition und erste Beispiele Riemannscher Flächen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir schließlich den Begriff einer Riemannschen Fläche eingeführt, eine solche ist ein zusammenhängender und hausdorffscher topologischer Raum S versehen mit einer ntergarbe O S der Garbe C S der stetigen Funktionen auf S. Es wurde gefordert das (S, O S ) lokal wie C aussieht, die lokale Theorie Riemannscher Flächen soll also die Funktionentheorie einer komplexen Variablen sein. Etwas genauer hatten wir verlangt das (S, O S ) die Bedingung : (R) Für jeden Punkt p S gibt es eine offene mgebung von p in S, eine offene Teilmenge V C von C und einen Homöomorphismus h : V so, dass : O S h 1 (O V ) ein Isomorphismus von Garben über ist h 1 erfüllt, der hierbei auftretende Homöomorphismus hieß dann eine Karte von S. Ist S eine offene Teilmenge einer Riemannschen Fläche S, so nennen wir die Elemente von O S () auch die auf holomorphen Funktionen. Da O S () dabei eine nteralgebra von C S () = C(, C) ist, sind Summen, Vielfache und Produkte von auf holomorphen Funktionen wieder auf holomorph und außerdem sind konstante Funktionen auf holomorph. Dass O S eine Garbe ist, besagt nach Lemma 1.(b) das Holomorphie auf S ein lokaler Begriff ist. Wir wollen die Bedingung (R) noch etwas ausführlicher formulieren, und schicken hierzu eine kleine Anmerkung zur Notation voran. Bei im Zusammenhang mit Karten auftretenden Kompositionen von Funktionen passen die Bild- und Definitionsbereiche der betrachteten Funktionen oftmals nicht gut zusammen, haben wir zum Beispiel eine Karte h : V und eine Funktion f : W C definiert auf einer Teilmenge W so will man f h 1 als die in Koordinaten ausgedrückte Funktion f auffassen, allerdings ist diese Hintereinanderausführung im allgemeinen Fall gar nicht definiert, da ja Bild(h 1 ) = W gelten kann, und man müsste f (h 1 h(w )) oder f (h W ) 1 schreiben. m diese ständigen Restriktionen von Definitionsbereichen zu vermeiden, fassen wir Funktionen in diesem Kontext stets als Relationen auf, so dass Hintereinanderausführungen immer definiert sind, bei Bedarf muss man sich dann überlegen was ihre Definitionsbereiche sind. Nach dieser Vorbemerkung kommen wir nun zur angekündigten Diskussion der Bedingung (R). Sind, V, h wie in (R), so ist für jede in S offene Menge W h 1 (O V )(W ) = O V (h(w )) = O C (h(w )) 6-1

2 die Algebra der holomorphen Funktionen auf h(w ) V und für jedes g O S (W ) = (O S )(W ) ist h 1 W (g) = g h 1. Es wird also zum einen gefordert das g h 1 für jedes g O S (W ) im gewöhnlichen Sinne holomorph ist damit h 1 überhaupt nach h 1 (O V ) abbildet, und zum anderen ergibt die Surjektivität von h 1 W dass es für jede holomorphe Funktion g : h(w ) C ein g O S (W ) mit g h 1 = g gibt, dass also g h = g O S (W ) ist. Dass h eine Karte von S ist bedeutet also das für jede in S offene Menge W stets O S (W ) = {g h g O C (h(w ))} = {g : W C g h 1 O C (h(w ))} gilt. Wir wollen nun einige einfache Beispiele Riemannscher Flächen diskutieren. Die einfachste Riemannsche Fläche sind dabei die komplexen Zahlen selbst, beziehungsweiser genauer das Paar (C, O C ). Dass O C eine ntergarbe von C C ist hatten wir schon festgehalten und Bedingung (R) ist erfüllt da wir für jeden Punkt die Karte h := id C verwenden können. Sind (S, O S ) eine Riemannsche Fläche und S ein Gebiet, so ist (, O S ) wieder eine Riemannsche Fläche, denn ist h : V W eine Karte von S so ist h V eine Karte von. Insbeondere ist jedes Gebiet C eine Riemannsche Fläche. Als ein etwas komplizierteres Beispiel wollen wir uns nun überlegen das die Riemannsche Zahlenkugel (Ĉ, O C b) eine Riemannsche Fläche ist. Ein einfacher Weg dies einzusehen führt über Aufgabe (6), da es uns hier aber erst einmal um die Diskussion der Definition einer Riemannschen Fläche geht wollen wir einen direkten Weg verwenden. Wir hatten bereits eingesehen das Ĉ ein zusammenhängender, hausdorffscher, und sogar kompakter, topologischer Raum ist und das O bc eine nterprägarbe von C bc ist. Wir zeigen nun das O bc sogar eine Garbe ist und werden hierzu den bereits eingeführten Homöomorphismus h : Ĉ Ĉ verwenden. Wir wollen zwar eine direktes Argument angeben, werden den allgemeinen Teil dieser Überlegung aber in zwei kleine Lemmata auslagern. Zunächst können wir Ĉ als Vereinigung zweier offener Teilmengen Ĉ = C (Ĉ\{0}) schreiben und wissen bereits das zumindest O bc C = O C eine Garbe ist. Wir wollen uns nun überlegen das auch die Einschränkung von O bc auf die zweite der beiden obigen Mengen eine Garbe ist. Sei also Ĉ\{0} offen in Ĉ. Die Algebra der auf holomorphen Fnktionen hatten wir als { O bc () := f C bc () Es sind f \{ } O } C(\{ }) und (f \{0}) h O C (h 1 ()\{ }) definiert und wegen 0 / kann die erste dieser beiden Bedingungen fortgelassen werden. Ist nämlich f C bc () so besagt die zweite Bedingung wegen \{0} = und h 1 ()\{ } = h 1 () einfach f h O C (h 1 ()) und da für jedes z \{ } stets f(z) = f(h(1/z)) gilt ist dann auch f \{ } O C (\{ }). Dies zeigt O bc () = {f C bc () f h O C (h 1 ())} = {f C bc () h (f) (h C) (O C )()} 6-2

3 und damit ist O bc Ĉ\{0} sozusagen das rbild der nterprägarbe (h C) (O C ) von (h C) (C C ) unter dem Prägarbenhomomorphismus (h C) : C bc\{0} (h C) (C C ). Da wir wissen das O C eine Garbe ist, ist dabei nach Lemma 1.(d) auch (h C) (O C ) eine Garbe, es handelt sich also sogar um das rbild einer ntergarbe unter einem Prägarbenhomomorphismus. Wir zeigen nun allgemein das derartige rbilder immer ntergarben sind. Lemma 2.2 (rbilder von Garben unter Homomorphismen) Seien F, G zwei Garben über einem topologischen Raum (X, τ) und f : F G ein Garbenhomomorphismus. Ist dann S G eine ntergarbe von G, so ist ( ) f 1 (S) := eine ntergarbe von F. (f 1 (S())) τ, (RV F f 1 (S())),V τ,v Beweis: Zunächst zeigen wir das f 1 (S) überhaupt eine nterprägarbe von F ist. Ist X offen in X so sind S() eine nteralgebra von G() und f : F () G() ein Algebrenhomomorphismus also ist f 1 (S()) eine nteralgebra von F (). Sind weiter zwei in X offene Mengen, V X mit V gegeben so ist ( f V R F V (f 1 (S()))) = RV G (f (f 1 (S()))) RG V (S()) S(V ) also RV F 1 1 (f (S())) fv (S(V )). Damit ist f 1 (S) tatsächlich eine nterprägarbe von F. Nun seien eine in X offene Menge X und ein Element a F () gegeben das lokal in f 1 (S) liegt. Dann ist f (a) G() und ist x so existiert eine offene mgebung V von x in mit RV F (a) f 1 (S)(V ) = f 1 V (S(V )) und wir haben R G V (f (a)) = f V (R F V (a)) S(V ), d.h. f (a) liegt lokal in S und nach Lemma 1.(b) ist f (a) S(). Dies zeigt a f 1 (S()) = f 1 (S)(). Wieder nach Lemma 1.(b) ist f 1 (S) eine ntergarbe von F. Angewandt in unserer Situation liefert dies das O bc (Ĉ\{0}) tatsächlich eine Garbe ist. Wir haben die Riemannsche Zahlenkugel also als eine Vereinigung zweier offener Teilmengen geschrieben so, dass die Einschränkung von O bc auf jede dieser beiden Teilmengen bereits eine Garbe ist. Wir wollen nun allgemeinen festhalten, dass es zum Nachweis der Garbeneigenschaft von O bc dann ausreicht anstelle beliebiger offener Überdeckungen nur noch die Überdeckung von Ĉ durch die beiden offenen Mengen C und Ĉ\{0} zu berücksichtigen. Lemma 2.3 (Zusammensetzen von Garben) Seien F eine Prägarbe über einem topologische Raum X und ( i ) i I eine offene Überdeckung von X. Es gelte: 6-3

4 (a) Seien V X offen in X und a, b F (V ) mit R V,V i (a) = R V,V i (b) für alle i I. Dann ist bereits a = b. (b) Sei V X offen in X und für jedes i I sei ein Element a i F (V i ) gegeben. Für alle i, j I gelte R V i,v i j (a i ) = R V j,v i j (a j ). Dann existiert ein a F (V ) mit a i = R V,V i (a) für alle i I. (c) Für jedes i I ist F i eine Garbe über i. Dann ist F eine Garbe über X. Beweis: Dies ist Aufgabe (9). Wir überprüfen jetzt das die drei Voraussetzungen des Lemmas im Fall der Riemannschen Zahlenkugel erfüllt sind. Dabei ist (a) klar und (c) haben wir uns schon überlegt. Es verbleibt der Nachweis von (b). Hierzu seien eine in Ĉ offene Menge Ĉ und zwei Funktionen f 1 O bc (\{ }) und f 2 O bc (\{0}) mit f 1 \{0, } = f 2 \{0, } gegeben. Dann ist zunächst f := f 1 f 2 C bc () eine stetige Funktion mit f \{ } = f 1 (O bc C)(\{ }) = O C (\{ }). Außerdem ist f \{0} = f 2 O bc (\{0}) und wir hatten bereits eingesehen das dies (f \{0}) h O(h 1 ()\{ }) bedeutet. Zusammengenommen ist also f O bc (). Nach dem Lemma ist O bc damit eine Garbe. Dies kann man natürlich auch leichter einsehen, die beiden verwendeten Lemmata werden sich aber auch sonst als nützlich herausstellen. Nun zeigen wir das (Ĉ, O C b) sogar eine Riemannsche Fläche ist. Zunächst ist O bc C = O C = (id C ) (O C ) also ist id C eine Karte von (Ĉ, O C b). Es verbleibt eine in einer mgebung von definierte Karte von (Ĉ, O C b) zu konstruieren und hierzu behaupten wir das h Ĉ\{0} : Ĉ\{0} C eine solche ist. Tatsächlich haben wir dies bereits eingesehen, ist Ĉ\{0} offen in Ĉ, so hatten wir O bc () = {f C bc () f h O(h 1 ())} gezeigt und wegen h 1 = h ist dies kann die definierende Bedingung an eine Karte. Wir fassen diese Ergebnisse in einem Satz zusammen. Satz 2.4 (Die Riemannsche Zahlenkugel) Das Paar (Ĉ, O b C ) ist eine kompakte Riemannsche Fläche und die Abbildungen id C und sind Karten von Ĉ. h : Ĉ\{0} C; z { 1 z, z, 0, z = 6-4

5 Beweis: Dies haben wir gerade bewiesen. Wir kommen zu einem weiteren Beispiel, beziehungsweise einer ganzen Klasse von Beispielen. Dies wollen wir von vornherein als einen Satz formulieren. Satz 2.5 (Gitter und komplexe Tori) Sei a, b ein Basis von C über R und setze Λ := Za+Zb. Weiter bezeichne T := C/Λ die Quotientengruppe, p : C T die Projektion und versehe T mit der von p induzierten Quotiententopologie. Für jede in T offene Menge T sei O T () := {f C T () f p O(p 1 ())}. Dann ist O T eine ntergarbe von C T und (T, O T ) ist eine kompakte Riemannsche Fläche. Sei weiter c C und betrachte das offene Fundamentalparallelogram V c := c+(0, 1) a + (0, 1) b uns sein Bild c := p(v c ) T. Dann ist h c := (p V c ) 1 : c V c eine Karte von T. Beweis: Wir beginnen mit den topologischen Eigenschaften von T. Zunächst ist p eine offene Abbildung denn für jede in C offene Menge C ist auch p 1 (p()) = + Λ = λ Λ + λ offen in C, d.h. p() ist offen in T. Wir zeigen nun T hausdorffsch ist. Seien also z, w C mit p(z) p(w), d.h. z w / Λ, gegeben. Dann existieren eine offene mgebung von z in C und eine offene mgebung V von w in C mit V C\Λ. Damit sind p() eine offene mgebung von p(z) in T und p(v ) eine offene mgebung von p(w) in T und es gilt p() p(v ) =. Damit ist T hausdorffsch. Wegen T = p([0, 1]a + [0, 1]b) ist T kompakt und als stetiges Bild von C auch zusammenhängend. Nun zeigen wir das O T eine ntergarbe von C T ist. Da O C eine ntergarbe von C C ist, ist nach Lemma 1.(d) auch p (O C ) eine ntergarbe von p (C C ), also ist O T = (p ) 1 (p (O C )) nach Lemma 2 eine ntergarbe von C T. Nun sei c C gegeben. Dann ist p V c : V c c zunächst bijektiv und stetig und da ganz p offen ist auch offen, d.h. p V c : V c c ist ein Homöomorphismus und damit ist auch h c ein wohldefinierter Homöomorphismus. Ist nun W c offen in T so gilt für jede f : W C stets f h 1 c = f p, also O T (W ) = {f : W C g h 1 c O C (h c (W ))} und dies bedeutet das h c eine Karte von T ist. Da die Definitionsbereiche dieser Karten ganz T überdecken ist (T, O T ) damit eine Riemannsche Fläche. Das letzte Beispiel Riemannscher Flächen schließt an die Definition komplexer Kurven im C 2 aus 1.1 an. Haben wir eine durch eine geeignete Gleichung definierte Teilmenge S des C 2, so definieren wir die holomorphen Funktionen auf S als diejenigen Funktionen die sich lokal bei jedem Punkt a als Einschränkung einer holomorphen Funktion definiert auf einer offenen mgebung von a im C 2 schreiben lassen. 6-5

6 Satz 2.6 (Komplexe Kurven als Riemannsche Flächen) Seien C 2 offen im C 2 und F : C eine holomorphe Abbildung. Setze S := {(z, w) f(z, w) = 0} und für jedes a S gelte f (a) 0. Weiter sei G eine Zusammenhangskomponente von S. Ist V G offen in S, so setze O G (V ) := f C G(V ) Dann ist (G, O G ) eine Riemannsche Fläche. Beweis: Dies ist Aufgabe (8). Für jedes a V existieren eine offene mgebung W von a im C 2 mit G W V und eine holomorphe Funktion g : W C mit f V W = g V W. 2.2 Karten und holomorphe Funktionen auf Flächen Nachdem wir nun den Begriff einer allgemeinen Riemannschen Fläche sowie der auf ihr definierten holomorphen Funktionen haben, wollen wir nun die ersten Eigenschaften dieser Funktionen untersuchen. Da die lokale Theorie einer Riemannschen Fläche die gewöhnliche Funktionentheorie ist, sollten sich alle Eigenschaften holomorpher Funktionen auf C die lokal sind oder sich zumindest auf lokale Eigenschaften zurückführen lassen, auch auf Riemannsche Flächen übertragen. Besonders glatt funktioniert dies für den Identitätssatz, den Satz von der offenen Abbildung und dem Maximumsprinzip. Diese drei fassen wir daher in einem Satz zusammen. Satz 2.7 (Grundeigenschaften holomorpher Funktionen) Seien S eine Riemannsche Fläche und S ein Gebiet in S. (a) Sind f, g O S () und gibt es eine Folge (z n ) n N in mit f(z n ) = g(z n ) für alle n N die zudem einen Häufungspunkt in besitzt, so ist bereits f = g. (b) Ist f O S () nicht konstant, so ist f : C eine offene Abbildung. (c) Sei f O S () und f : R nehme sein Supremum in an, d.h. es gibt ein z mit f(w) f(z) für alle w. Dann ist f konstant. Beweis: (a) Schreibe F := {z f(z) = g(z)}. Sind z und (z n ) n N eine gegen z konvergente Folge in F \{z}, so behaupten wir das z F gilt. m dies einzusehen wähle eine Karte h : V W von S mit z V und eine zusammenhängende, offene mgebung C von z in S mit C V. Dann ist h(c) ein Gebiet in C und da auch f C, g C O S (C) gelten sind (f C) h 1, (g C) h 1 : h(c) C holomorph. Es gibt ein n 0 N mit z n C für alle n N mit n n 0 und damit ist (h(z n )) n n0 eine gegen h(z) konvergente Folge in h(c)\{h(z)}. Für jedes n N mit n n 0 gilt dabei 6-6

7 (f C) h 1 (h(z n )) = f(z n ) = g(z n ) = (g C) h 1 (h(z n )) also liefert der Identitätssatz in C sogar (f C) h 1 = (g C) h 1. Es folgt f C = g C und damit ist z F. Nach unserer Annahme ist insbesondere F. Nun zeigen wir das F = ist. Wäre nämlich z F so hätten wir z aber z / F und es gäbe eine gegen z konvergente Folge in F F, also ist nach unserer Vorbemerkung doch z F. Damit ist F = aber F und da zusammenhängend ist folgt F = also auch F = und f = g. (b) Sei V offen in. Sei z V und wir müssen zeigen das f(z) ein innerer Punkt von f(v ) in C ist. Wähle eine Karte h : W Q von S mit z W und eine zusammenhängende, offene mgebung C von z in S mit C V W. Da f nicht konstant ist, ist nach (a) auch f C O S (C) nicht konstant, d.h. die holomorphe Funktion (f C) h 1 : h(c) C ist nicht konstant. Nach dem Satz von der offenen Abbildung in C ist ihr Bild f(c) f(v ) offen in C mit f(z) f(c), d.h. f(z) ist ein innerer Punkt von f(v ) in C. Damit ist f(v ) C in C offen und f ist eine offene Abbildung. (c) Wir zeigen die Kontraposition, nehme also an das f nicht konstant ist. Sei z. Dann ist f(z) nach (b) ein innerer Punkt von f() also existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (f(z)) f(). Damit existiert ein w mit f(w) > f(z) und f nimmt in z nicht sein Supremum an. Da ein Gebiet in einer Riemannschen Fläche selbst eine Riemannsche Fläche ist, könnte man den Satz auch für holomorphe Funktionen auf ganz S formulieren, die gewählte Variante scheint aber expliziter zu sein. 6-7