3 Überlagerungen und Quotienten

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1 $Id: quotient.tex,v /01/25 18:36:36 h Exp $ 3 Überlagerungen und Quotienten 3.3 Der Riemannsche Existenzsatz Wie in der letzten Sitzung angeündigt wollen wir nun den Riemannschen Existenzsatz beweisen, also eine eigentliche holomorphe Funtion bei gegebener Monodromie onstruieren. Hierzu wird zunächst der Hauptteil der Fläche als eine Überlagerung gewonnen und anschließend werden die Fasern über den Verzweigungspunten an diese Überlagerung angelebt. Unser Satz Satz 38 erlaubt das Verleben zweier Riemannscher Flächen, wendet man diesen mehrfach an so ann man auch endlich viele Verlebungen durchführen. Um schließlich sogar unendlich viele solche Operationen durchzuführen benötigen wir noch eine Möglicheit unendliche aufsteigende Vereinigungungen Riemannscher Flächen zu onstruieren, dies ist sehr ähnlich zur Konstrution des direten Limes eines gerichteten Systems von Algebren. Bemerung 3.41 (Aufsteigende Vereinigungen Riemannscher Flächen) Seien N (N\{0}) { } und I := {n N n < N}. Weiter sei (S n ) n I eine Folge Riemannscher Flächen und für jedes n I mit n + 1 < N sei eine holomorphe Abbildung i n : S n S n+1 gegeben so, dass i n (S n ) offen in S n+1 ist und i n : S n i n (S n ) ein Isomorphismus Riemannscher Flächen ist. Für n, m I mit n < m haben wir dann auch die holomorphe Abbildung i nm := i m 1... i n : S n S m die uns wieder einen Isomorphismus i nm : S n i nm (S n ) S m von S n auf das Gebiet i nm (S n ) in S m gibt. Außerdem sei i nn := id Sn für jedes n I. Wir bilden dann die disjunte Vereinigung n I S n und definieren auf dieser die Äquivalenzrelation (n, x) (m, y) : (n m y = i n,m (x)) (m n x = i mn (y)) für n, m I, x S n, y S m. Versehen wir den Quotienten ( ) / S := S n n I mit der Quotiententopologie der Projetion π : n I S n S so wird S ein topologischer Raum. Für jedes I sind die natürliche Inlusion l : S n I S n; x (, x) und die Abbildung j := π l : S S stetig. Ist also U S offen in S, so önnen wir O S (U) := {f C S (U) (n I) : f j n O Sn (jn 1 (U))} definieren. 23-1

2 (a) Die Abbildung π : n I S n S ist offen. Für jedes n I mit n + 1 < I ist i n : S n S m eine offene Abbildung und damit ist auch i nm : S n S m für alle n, m I mit n m eine offene Abbildung. Sei nun U n I S n offen in n I, also U = n I U n, wobei U n S n für jedes n I offen in S n ist. Setzen wir dann für alle n, m I i 1 mn(u n ), m < n, U nm := U n, m = n, i nm (U n ), m > n so ist U nm offen in S m und damit ist auch π 1 (π(u)) = n I m I U nm offen in n I S n, d.h. π(u) ist offen in S. Damit ist π eine offene Abbildung. (b) Für jedes n I ist j n : S n S eine offene Abbildung und j n : S n j n (S n ) ist ein Homöomorphismus. Zunächst ist j n = π l n nach (a) eine offene Abbildung. Da j n injetiv ist, folgt auch die zweite Aussage. (c) Es gilt S = n I j n(s n ) mit j n (S n ) j n+1 (S n+1 ) für jedes n I mit n + 1 < N und S ist hausdorffsch und zusammenhängend. Die erste Aussage gilt wegen n I S n = n I l n(s n ) und da für alle n, m I mit n m stets j m i nm = j n also auch j n (S n ) j m (S m ) gilt ergibt sich die zweite Aussage. Nach (b) ist S damit eine aufsteigende Vereinigung zusammenhängender Teilräume und somit selbst zusammenhängend. Sind schließlich a 1, a 2 S mit a 1 a 2 so gibt es für = 1, 2 ein n I und x S n mit a = j n (x ). Wählen wir dann ein n I mit n n 1, n 2 und setzen für = 1, 2 auch y := i n,n(x ) S n so ist a = j n (y ). Wegen y 1 y 2 gibt es in S n offene Mengen U 1, U 2 S n mit y 1 U 1, y 2 U 2 und U 1 U 2 = und damit ist V := j n (U ) für = 1, 2 nach (b) eine offene Umgebung von a in S mit V 1 V 2 =. (d) Das Paar (S, O S ) ist eine Riemannsche Fläche. Zunächst ist O S (U) für jede in S offene Menge U S eine Unteralgebra von C S (U) und ist auch V U offen in S so ist für jedes f O S (U) auch (f V ) j n = f j n jn 1 (V ) O Sn (jn 1 (V )) für alle n I, d.h. wir haben f V O S (V ). Damit ist O S zumindeste eine Unterprägarbe von C S. Nun sei U S offen in S und f C S (U) liege loal in O S. Dann liegt f j n für jedes n I loal in O Sn, es gilt also auch f j n O Sn (jn 1 (U)) für jedes n I und wir haben f O S (U). Damit ist O S sogar eine Untergarbe von C S. Es bleibt die Existenz von Karten zu beweisen. Sei also ein Punt a S gegeben. Dann gibt es n I und x S n mit a = j n (x). Weiter existiert eine Karte h 23-2

3 von S n mit x dom(h) und nach (b) ist auch U := j n (dom(h)) offen in S mit a = j n (x) U und h := h (j n dom(h)) 1 : U im(h) ist ein Homöomorphismus von U auf die offene Teilmenge im(h) von C. Wir behaupten das h eine Karte von (S, O S ) ist. Seien also W U offen in S und f : W C eine Funtion. Wegen f h 1 = f j n h 1 und h(w ) = h(jn 1 (W )) ist dann f h 1 O C (h(w )) gleichwertig zu f j n h 1 O C (h(jn 1 (W ))) und dies bedeutet wiederum f j n O Sn (jn 1 (W )). Nehme nun an das f j n O Sn (jn 1 (W )) gilt. Ist dann m I mit m < n so haben wir f j m = f j n i mn O Sm (jm 1 (W )) da i mn : S m S n holomorph ist. Ist dagegen m I mit m > n so ist jm 1 (W ) i nm (S n ) und da i nm : S n i nm (S n ) ein Isomorphismus Riemannscher Flächen ist, ist auch f j m = f j n i 1 nm O Sm (jm 1 (W )). Damit ist genau dann f j n O Sn (jn 1 (W )) wenn f j m O Sm (jm 1 (W )) für jedes m I gilt und dies bedeutet f O S (W ). Damit haben wir O S (W ) = {f : W C f h 1 O C (h(w ))} eingesehen und dies bedeutet das h eine Karte von (S, O S ) ist. (e) Für jedes n I ist j n : S n S holomorph und j n : S n j n (S n ) ist ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. Sind U S offen in S und f O S (U) so ist auch f j n O Sn (jn 1 (U)), d.h. j n : S n S ist holomorph. Nach 2.Satz 31 ist j n : S n j n (S n ) auch ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. (f) Ist T eine weitere Riemannsche Fläche und ist für jedes n I eine holomorphe Abbildung f : S n T gegeben so, dass f n+1 i n = f n für jedes n I mit n + 1 < N gilt, so existiert genau eine holomorphe Abbildung f : S T mit f j n = f n für jedes n I. Die Eindeutigeitsaussage ist lar nach (c). Zur Existenz haben wir zunächst die stetige Abbildung f := (f n ) n I : n I S n T ; (n, x) f n (x). Für alle n, m I mit n m ist f m i nm = f n, sind also a, b n I S n mit a b so ist auch f(a) = b. Damit induziert f eine stetige Abbildung f : S T mit f = f π. Ist dann n I so ist wegen f l n = f n auch f j n = f π l n = f l n = f n. Sind schließlich U T offen in T und g O T (U) so ist für jedes n I auch g f j n = g f n O Sn (f 1 n (U)) = O Sn (jn 1 (f 1 (U))), es gilt also g f O S (f 1 (U)). Damit ist f : S T holomorph. Man nennt die so onstruierte Riemannsche Fläche lim n I S n := (S, O S ) 23-3

4 auch den direten Limes der Folge (S n ) n I. Wir wollen diesen nun zur Konstrution iterierter Klebeoperationen verwenden. Setze hierzu J := I\{0} = {n N 0 < n < N}. Gegeben seien eine Riemannsche Fläche S und eine Familie (U n ) n J paarweise disjunter, nicht leerer, offener Teilmengen von S. Weiter seien für jedes n J eine Riemannsche Fläche B n, eine nicht leere, offene Teilmenge V n B n und ein Homöomorphismus ϕ n : U n V n gegeben so, dass ϕ n C : C ϕ n (C) für jede Zusammenhangsomponente C von U n ein Isomorphismus Riemannscher Flächen ist und für jede ompate Teilmenge K S sei ϕ n (K U n ) abgeschlossen in B n und für jede ompate Teilmenge K B n sei auch ϕ 1 n (K V n ) abgeschlossen in S. Setze dann S 0 := S und r 0 := id S. Ist dann n J und haben wir bereits die Riemannsche Fläche S n 1 und eine holomorphe Abbildung r n 1 : S S n 1 onstruiert so, dass r n 1 : S r n 1 (S) ein Isomorphismus Riemannscher Flächen auf die offene Teilmenge r n 1 (S) von S n 1 ist, so ist r n 1 (U n ) offen in S n 1 und ψ n := ϕ n rn 1 1 : r n 1 (U n ) B n ist ein Homöomorphismus. Ist C eine Zusammenhangsomponente von r n 1 (U n ) so ist rn 1(C) eine Zusammenhangsomponente von U n und ψ n C = (ϕ n rn 1(C)) (r n 1 C) 1 ist ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. Damit önnen wir S n := S n 1 ψn B n definieren und ist i n 1 : S n 1 S n die Einbettung so sei r n := s n r n 1. Schließlich önnen wir dann den direten Limes S := S B n := lim S n (ϕ n) n J n I definieren. Für jedes n I haben wir dann die Abbildung j n : S n S von oben und erhalten natürliche Einbettungen i 0 := j 0 : S S und für jedes n N auch i n := j n s n : B n S wobei s n : B n S n die natürliche Einbettung ist. Wir önnen auch wieder die holomorphen Funtionen auf S beschreiben. Ist T eine weitere Riemannsche Fläche und sind f 0 : S T und f n : B n T für jedes n J holomorph mit f n ϕ n = f 0 U n für jedes n J so erhalten wir zunächst indutiv für jedes n I eine holomorphe Abbildung f n : S n T mit f n r n = f 0 und f n s n = f n und schließlich mit (f) eine holomorphe Abbildung f : S T mit f i n = f n für jedes n I. Damit ommen wir zum Riemannschen Existenzsatz. Satz 3.42 (Riemannscher Existenzsatz) Seien S eine Riemannsche Fläche und S eine abzählbare, disrete und abgeschlossene Teilmenge von S. Weiter seien n N mit n 1, s 0 S\ und ϱ : π 1 (S\, s 0 ) S n ein Homomorphismus mit transitiven Bild. (a) Es existieren eine Riemannsche Fläche T und eine nicht onstante, eigentliche holomorphe Abbildung f : T S mit deg(f) = n sowie eine bijetive Abbildung ϕ : {1,..., n} f 1 (s 0 ) so, dass alle Verzweigungspunte von f in liegen und ϕ() u = ϕ(ϱ(u)()) für alle {1,..., n}, u π 1 (S\, s 0 ) gilt wobei lins die Wirung von π 1 (S\, s 0 ) auf f 1 (s 0 ) bezüglich der Überlagerung f T \f 1 ( ) : T \f 1 ( ) S\ verwendet wird. 23-4

5 (b) Sind auch T, f, ϕ mit diesen Eigenschaften so existiert ein Isomorphismus g : T T Riemannscher Flächen mit f g = f und g ϕ = ϕ. Beweis: Für jedes N schreiben wir { } 1 E := 2 e 2πil 0 l < versehen mit der für 0 l <, u Z durch ( ) 1 ω 2 e 2πil, u := 1 2 e 2πi(l+u) definierten Wirung ω von Z auf E. Setze F := {1,..., n} und betrachte die transitive Wirung von π 1 (S, \, s 0 ) auf F gegeben durch u := ϱ(u) 1 () für u π 1 (S\, s 0 ), F. Zunächst seien eine Riemannsche Fläche T 0 und eine n-blättrige, holomorphe Überlagerung f 0 : T 0 S\ gegeben. Dann ist f 0 nach Aufgabe (28) eigentlich und nach Satz 6 ist deg(f 0 ) = n. Seien a und h eine loale Uniformisierung von S bei a mit dom(h) = {1}. Setze s 1 := h 1 (1/2) dom(h)\{a} und sei ( ) 1 γ : [0, 1] dom(h)\{a}; t h 1 2 e2πit. Weiter seien U für 1 r die Zusammenhangsomponenten von f0 1 (dom(h)\{a}). Sei 1 r. Dann ist die Einschränung f 0 U : U dom(h)\{a} holomorph und ist K dom(h)\{a} ompat so ist f0 1 (K) f0 1 (dom(h)\{a}) ompat und da U in f0 1 (dom(h)\{a}) abgeschlossen ist, ist auch (f 0 U ) 1 (K) = f0 1 (K) U ompat, d.h. f 0 U ist auch eigentlich. Da f 0 U eine Verzweigungspunte hat, ist f 0 U nach Satz 12 eine Überlagerung. Setze nun F := (f 0 U ) 1 (s 1 ) = f0 1 (s 1 ) U und nach Satz 25.(c) ist F eine Bahn von π 1 (dom(h)\{a}, s 1 ) auf f0 1 (s 1 ). Nach Aufgabe (30) ist π 1 (dom(h)\{a}, s 1 ) = [γ] eine unendliche zylische Gruppe, ist also r := F so ist die Wirung von [γ] auf F ein r -Zyel. Wieder nach Aufgabe (30) und der Eindeutigeitsaussage in Korollar 37 existiert ein Isomorphismus ξ : B1(0) U Riemannscher Flächen mit h(f 0 (ξ (z))) = z r für alle z B 1 (0). Erneut nach Aufgabe (30) ist dabei für alle p, q Z stets ( ) [γ] q 1 ξ 2 e 2πip r ( ) 1 = ξ 2 e 2πi(p+q) r. Wir wollen nun zeigen das wir ξ verwenden önnen um an T 0 eine Kreisscheibe B 1 (0) anzuleben. Sei hierzu K B 1 (0) ompat. Dann ist auch K := {z r z K} B1 (0) ompat und somit ist ξ 1 1 (K\{0}) = f0 (h 1 (K )) U = f0 1 (h 1 (K ))\ 1 l r 23-5 l U l

6 abgeschlossen in T 0. Ist andererseits K T 0 ompat so ist auch K := K\ U l T 0 ompat und ξ 1 1 l r l (K U ) = ξ 1 (K U ) = h(f 0 (K ) dom(h)) ist abgeschlossen in B 1 (0). Schließlich betrachte eine stetige Kurve α : [0, 1] S\ mit α(0) = s 0 und α(1) = s 1. Bezeichnet α x : [0, 1] T 0 für jedes x f0 1 (s 0 ) die stetige Kurve mit f 0 α x = α und α x (0) = x so hatten wir schon zu Beginn dieses Abschnitts gesehen das θ : f 1 0 (s 0 ) f 1 0 (s 1 ); x α x (1) eine bijetive Abbildung mit θ(x u ) = θ(x) [αa] 1 u[α a] für alle x f 1 0 (s 0 ), u π 1 (S\, s 0 ) ist. Sei weiter β die einfache Schleife β := (α γ) β Ω(S\, s 0 ). Wir haben die disjunte Vereinigung f 1 0 (s 1 ) = r =1 F also auch f 1 0 (s 0 ) = r θ 1 (F ) und erhalten eine bijetive Abbildung ψ : E r f0 1 (s 0 ); (, x) θ 1 (ξ (x)). 1 r Die Wirung von [β] auf f 1 0 (s 0 ) ist dann als ψ(, x) [β] = ψ(, ω r (x, 1)) für alle 1 r, x E r gegeben. Nach diesen Vorbereitungen ommen wir zu den eigentlichen Aussagen. (a) Nach Korollar 37 existieren eine Riemannsche Fläche T 0, eine holomorphe Überlagerung f 0 : T 0 S\ und eine bijetive Abbildung ψ : f0 1 (s 0 ) F mit ψ(x u ) = ψ(x) u = ϱ(u) 1 (ψ(x)) für alle x f0 1 (s 0 ), u π 1 (S\, s 0 ). Insbesondere ist dann f0 1 (s 0 ) = n, also ist f 0 eine n-blättrige Überlagerung und wir haben die bijetive Abbildung ϕ := ψ 1. Wähle für jedes a eine loale Uniformisierung h a von S bei a so, dass dom(h a ) dom(h b ) = für alle a, b mit a b gilt. Für jedes a definiere r a, U a,, r a,, ξ a, wie oben und bilde die Riemannsche Fläche T := T 0 (ξa, ) a,1 ra B 1 (0). Bezeichne i 0 : T 0 T die natürliche Einbettung von T 0 und T und für alle a, 1 r a sei i a, : B 1 (0) T die (a, )-te Einbettung von B 1 (0) in T. Seien a 23-6 =1

7 und 1 r a. Für jedes z B1(0) gilt dann f 0 (ξ (z)) = h 1 a (z r a, ) wir erhalten also eine holomorphe Funtion f : T S mit f i 0 = f 0 und f(i a, (z)) = h 1 (z r a, ) für alle a, 1 r a. Sind dann a und 1 r a so ist t a, := i a, (0) T mit f(t a, ) = h 1 a (0) = a, es gelten also f 1 (a) = {t a, 1 r a } und f 1 (dom(h a )) = f0 1 (dom(h a )\{a}) {t a, 1 r a }. Da f 0 nicht onstant ist, ist auch f nicht onstant und wir behaupten jetzt das f auch eigentlich ist. Sei also C S ompat. Dann ist C endlich und die Menge C := C\ h 1 a (B 1/2 (0)) S\ a C ist ompat, also ist auch f 1 (C ) = i 1 (f0 1 (C )) ompat. Setzen wir für jedes a C weiter C a := C h 1 a (B 1/2 (0)) so ist f 1 (C a ) ompat und damit ist schließlich auch r a =1 f 1 (C) = f 1 (C) i a, (B 2 1/r a, (0)) a C f 1 (C a ) ompat. (b) Seien T eine weitere Riemannsche Fläche, f : T S eine eigentliche holomorphe Abbildung deren Verzweigungspunte alle in liegen und ϕ : F f 1 (s 0 ) eine bijetive Abbildung so, dass bezüglich der durch die Überlagerung f T \f 1 ( ) gegebenen Wirung von π 1 (S\, s 0 ) auf f 1 (s 0 ) auch ϕ () u = ϕ(ϱ(u) 1 ()) für alle F, u π 1 (S\, s 0 ) gilt. Nach Korollar 37 existiert ein Isomorphismus g : T 0 T \f 1 ( ) Riemannscher Flächen mit f g = f 0 und g ϕ = ϕ. Seien a und 1 r a. Ist dann V die U a, entsprechende Zusammenhangsomponente von f 1 (dom(h a )\{a}) so gibt es einen Isomorphismus ξ : B 1(0) V Riemannscher Flächen mit h a (f (ξ (z))) = zr a, für alle z B 1 (0). Nach Lemma 4 ist V f 1 (a) = 1 und wir schreiben V f 1 (a) = {t}. Wir behaupten das lim z 0 g 0 (ξ (z)) = t gilt und da die Menge C := h 1 a (B 1/2 ) S ompat ist und f eigentlich ist, ist auch f 1 (C) ompat. Damit ist g 0 (ξ (B1/2 (0))) relativ ompat, es reicht also zu zeigen das für jede Nullfolge (z n ) n N in B1(0) mit (g 0 (ξ (z n ))) t T stets t = t gilt. Nun ist f (t) = lim h 1 a n (z r a, n ) = a also haben wir t V f 1 (a) = {t} und somit auch t = t. Damit ann g 0 mit dem Wert t stetig nach t a, fortgesetzt werden. Der Riemannsche Hebbareitssatz liefert 23-7

8 eine holomorphe Fortsetzung g : T T von g 0 und da diese bijetiv ist, ist sie nach 2.Satz 31 ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. Die Voraussetzung dass abzählbar ist, ist dabei eigentlich nicht nötig. Jede Riemannsche Fläche läßt sich als eine abzählbare Vereinigung ompater Mengen schreiben und damit muss jede abgeschlossene und disrete Teilmenge einer Riemannschen Fläche abzählbar sein. Allerdings ist diese Aussage omplizierter als sie zunächst erscheint, es handelt sich nicht um ein rein topologisches Phänomen, es gibt zusammenhängende, hausdorffsche und loal zu C homöomorphe topologische Räume die sich nicht als abzählbare Vereinigung ompater Mengen schreiben lassen. Bemerung 3.43 (Meromorphe Funtionen mit vorgegebener Monodromie) Wir wollen nun urz auf den Spezialfall S = Ĉ im Riemannschen Existenzsatz eingehen. Da Ĉ ompat ist müssen wir nur endliche Mengen = {z 0,..., z n } betrachten. Wie in Aufgabe (39.a) önnen wir dann einfache Schleifen α j um z j für j = 0,..., n bezüglich irgendeines Basispunts s 0 Ĉ\ betrachten die erfüllen. Wir behaupten das dann auch [α 0 ]... [α n ] = 1 π 1 (Ĉ\, s 0) = [α 0 ],..., [α n ] gilt. Für n = 0 oder n = 1 ist Ĉ\ einfach zusammenhängend und die Behauptung ist lar. Anschließend gehen wir indutiv vor. Nehmen wir z 0 = an so önnen wir eine Gerade l C wählen die einen Punt z von den anderen trennt, man ann für z beispielsweise eine Ece der onvexen Hülle von z 1,..., z n verwenden. Damit önnen wir C = H H mit offenen Halbebenen H, H schreiben so das z in H aber nicht in H und die restlichen Punte in H aber nicht in H liegen. Außerdem önnen wir den Basispunt s 0 H H wählen. Dann sind H, H sind wieder homöomorph zu C, also önnen wir indutiv π(h\, s 0 ) = [α ] und π(h \, s 0 ) = [alpha l ] l annehmen und Bemerung 32.(b) ergibt die Behauptung. Nach dem Riemannschen Existenzsatz sind meromorphe Funtionen f : S Ĉ von Grad n auf ompaten Riemannschen Flächen S mit Verzweigungspunten in damit durch Permutationen ϱ := ϱ([α ]) S n festgelegt die die Bedingung ϱ 0... n = 1 erfüllen und eine transitive Untergruppe von S n erzeugen. Tatsächlich ist dies die einzige Relation in π(ĉ\, s 0), d.h. gibt man sich beliebige solche Permutationen mit den genannten Bedingungen vor, so definieren diese einen Homomorphismus ϱ : π 1 (Ĉ\, s 0) S n und damit eine meromorphe Funtion von Grad n. Fordert man zusätzlich ϱ 0,..., ϱ n 1 so ist umgeehrt jeder Punt von ein Verzweigungspunt. 23-8