Mathematik für Physiker I

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1 Vorlesungsmitschrift bei Herrn Dr. Lars Schäfer Mathematik für Physiker I erstellt von: Daniel Edler, Oleg Heinrich

2 II Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Mannigfaltigkeiten Topologische und idfferenzierbare Mannigfaltigkeiten Dieses Dokument wurde mit L A TEX am 21. April 2012 um 20:01 gesetzt und steht (Zitate ausgenommen) unter der Lizenz cc-by-sa-nc (Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen, Nicht kommerziell)

3 1 MANNIGFALTIGKEITEN 1 Vorwort Themengebiete für beide Semester 1 Lebesguesche Funktionenräume und Konvergenzsätze Differentialformen und Integralsätze Fourieranalysis Lineare partielle Differentialgleichungen Elemente der Funktionentheorie Dieses Dokument ist eine Vorlesungsmitschrift der Mathematik für Physiker I aus dem Wintersemester 2011/12 gehalten von Herrn Dr. Lars Schäfer. Es stellt eine Mitschrift im reinsten Sinne dar, da es in der Vorlesung mitgetext worden ist und später nur die compiler-error behoben wurden sind. Dieses Dokument wird unter uni für nicht kommerzielle Zwecke zum Download bereitgestellt. 1 Mannigfaltigkeiten 1.1 Topologische und idfferenzierbare Mannigfaltigkeiten Definition 1.1 Ein topologischer Raum M heißt n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn M das zweite Abzählbarkeitstheorem (siehe später) erfüllt, Hausdorff und lokal homöomorph zum R n, D.h. p M, U(p) offene Umgebung mit U(p) = U R n stand. Definition Sei X eine nicht-leere Menge. Ein System von Teilmengen τ ρ(x) heißt Topologie auf X, falls folgende Bedingung erfüllt sind., X τ Falls I eine beliebige Indexmenge und U i τ mit i I, so folgt U i τ i I Für U, V τ folgt U V τ. Die Elemente von τ nennt man offene Menge 2. Sei (X, τ) ein topologischer raum. Eine Teilmenge B τ heißt Basis von τ, falls jede offene Menge Vereinigung von Elementen aus B ist. 3. Ein topologischer Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitstheorem, Falls eine abzählbare Basis der Topologie existiert. 1 Auszug aus dem Modulkatalog Physik SoSe 2011 der Leibniz Universität Hannover

4 2 1 MANNIGFALTIGKEITEN 4. Ein topologischer Raum X heißt Hausdorff (oder T 2 ), falls es x, y X ein U x τ und U y τ gibt mit x U x, y U y und U x U y = Bemerkung: 1. M zusammenhängen Dimension eindeutig bestimmt. 2. Da M n lokal homöomorph (Kommentar aus Vorlesgun: topologische Eigenschaften werden übernommen) zu R n ist M lokal kompakt (d.h. jeder Punkt hat kompakte Umgebung) 3. Abzählbarkeitsaxiom, Hausdorff und lokal kompakt implizieren die Existenz einer ZHerlegung der 1. Solche werden wir zum verkleben von Objekten Definition 1.3 Sei M n eien n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit 1. Zu p M n nennt man das Paar (U, ϕ), wobei U eien offene Umgebung von p ist und ϕ : u x R n. Lokal Homöomorph ist eien Karte lokaler Koordinaten. Häufig schreibt man: (x 1,..., x n ) mit = pr i ϕ pr : R n R, (x 1,..., x n ) Gegeben seien zwei Karten (U, ϕ) und (V, ψ) mit U V φ, so nennt man den Homöomophismus: ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) ψ(u V ) Karten oder Koordinatenwechsel Ziel: Begriff der Differenzierbarkeit auf topologische Mannigfaltigkeiten Idee: γ : R M, γ(r) U diffbar. ϕ karte Ũ ϕ γ : R Ũ Rn. γ diffbar, falls ϕ γ Problem: Hängt von der Wahl der Karte ab. Lösung: Begriffe der diffbarer Struktur. Definition 1.4 Man nennt ein System von Karten A = {(U α, ϕ α )} α I auf einer Mannigfaltigkeit M n einen C k Atlas, falls folgende Bedingung erfüllt sind. 1. M = α I U α 2. für je zwei Karten (U, ϕ) und (V, ψ) in A mit U U ist der Kartenwechsel ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) R n ψ(u U) R n eine C k -Abbildung des R n. Zei C k -Atlanten A und B heißen verträglich, falls A B ein C k -Atlas ist. Dies ist eien Äquivalenzrelation auf Atlanten. Man bezeichnet mit [A] die Klasse des Atlas A n. Definition 1.5 Eine C k -Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M n, [A]) einer topologischen Mannigfaltigkeit

5 1 MANNIGFALTIGKEITEN 3 und einem C11k-Atlas A. Man nennt [A] eine C k -Struktur auf M k. Ein System B von Karten auf (M n, [A]) heißt verträglich/zulässig falls A B A. Eine C -Mannigfaltigkeit nennt man glatt Beispiel M = R eien topologische Mannigfaltigkeit A = {(R, x x)}, B = {(R, x x 3 )} sind Atlanten 2. Graphen f : R n R m glatt. Atlas: {(Γ f, ϕ)}, ϕ(x, f(x)) x 3. Die n-dimensionale Sphäre S n R n+1 ist eien topologische Mannigfaltigkeit Γ f = {(x, f(x)) R n+m x R n } n+1 S n := {x R n+1 x 2 = x 2 k = 1} Definition 1.7 Sei (X, τ) eine topologische Raum und Y X eine Teilmenge. Dann nennt man τ y = {V Y V = U Y mit U τ} die induzierte oder Teilraum-/Spartopologie. n=1 Atlas mittels Steographischer Projektion an P ± = (0,..., ±1) t, ϕ ± : U ± R ( ) x1 x n ( 1,..., x n+1 ),..., 1 x n+1 1 x n+1 U ± = S n {p ± }. 4. Rp n = (R n+1 {0})/ mit der Relation: x y : λ R : x = λy Sei Ũ i = {x R n+1 0} R n+1 {0} Π : R n+1 {0} Rp n x [x] Π(Ũi) = {Π(x 1,..., x n+1 ) = [x 1 : x 2 :... : :... : x n+1 ]} = {[ x 1 :... : 1 :... : λ n+1 ]} [(x 1,..., 0,..., x n+1 )] = [( x 1 x 1,..., 1, 1, +1,..., x 1+1 x 1 )] Man definiert die Karten als: ϕ : Π(Ũi) = U i R n [(x 1,..., 1, 1,,..., x n+1 )] (x 1,..., 1, +1,..., x n+1 )