Vektoranalysis Übungsblatt 1 Prof. S. Warzel, T. Satzger 11. Dezember von b in R n sowie Abbildungen f C 1 (U a. , R n k ) und g C 1 (U b

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1 Vektoranalysis Übungsblatt Prof S Warzel, T Satzger Dezember 009 Aufgabe (Mannigfaltigkeiten) Im R n seien M eine k-dimensionale C -Mannigfaltigkeit und N eine l-dimensionale C - Mannigfaltigkeit (a) Begründen Sie, warum M N ebenfalls eine Mannigfaltigkeit ist Welche Dimension hat M N? (b) Für M und N sei jeweils ein Atlas gegeben Wie kann daraus ein Atlas für M N konstruiert werden? (c) Sei ψ : U U ein C -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen U, U R n und M U eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit Zeigen Sie, dass auch M = ψ(m) eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist (a) Nach Definition gibt es für jeden Punkt (a, b) M N ( a M, b N) Umgebungen U a von a in R n und U b von b in R n sowie Abbildungen f C (U a, R n k ) und g C (U b, R n l ) M U a = {x R n : f (x) = 0} und N U b = {y R n : g(y) = 0}, rang D f (a) = n k und rang Dg(b) = n l Betrachtet man F : R n R n R n k R n l F(x, y) = ( f (x), g(y)), so gilt Wegen (M N) (U a U b ) = { x, y R n : F(x, y) = 0 } DF(x, y) = ist rang DF(x, y) = n k + n l = n (k + l) ( D f (x) 0 ) 0 Dg(y) Da ist M N nach Defintion eine C -Mannigfaltigkeit im R n Dimension k + l (b) Sei (ϕ i ein Atlas von M und (ψ j ) j J ein Atlas von N Dann ist ϕ i : U i S i ein Diffeomorphismus ϕ i (M U i ) = (R k {0 n k }) S i und ψ j : V j T j ein Diffeomorphismus ψ j (N V j ) = (R l {0 n l }) T j, wobei S i und T j offene Teilmengen des R n sind Durch θ ij : U i S i ist (θ ij,j J ein Atlas für M N (x, y) θ ij (x, y) = (ϕ i (x), ψ j (y)) Die Abbildungen (θ ij,j J sind offensichtlich wieder C -Diffeomorphismen Nun muss man noch die Kartenbedingung prüfen Es gilt θ ij ((M N) (U i )) = (R k {0 n k }) (R l {0 n l }) S i Strenggenommen müsste man noch die lineare Abbildung p : R n R n, x P(x) I k P = 0 0 I l 0 0 I n k I n l einführen, da für θ ij = p θ ij gilt θ ij ((M N) (U i )) = (R k+l {0 n (k+l) }) p(s i )

2 (c) Sei (ϕ i ein Atlas von M, dann ist ( ϕ i = (ϕ i ψ ein Atlas von M = ψ(m) Nun prüft man die entsprechenden Bedingungen nach: Sei x M ein beliebiger Punkt der Mannigfaltigkeit M Dann ist x = ψ (x ) M Setze als Umgebung von x die Menge U = ψ(u), wobei U zur Karte ϕ : U V von x (auf M) gehört Dann ist die Abbildung ϕ = ϕ ψ : U V eine Diffeomorphismus Weiter gilt ϕ(m U ) = ϕ(ψ (M U ) = ϕ(ψ (ψ(m) ψ(u)) = ϕ(m U) = (R k 0 n k ) V Aufgabe (Eine Parametrisierung der Sphäre) (a) Beweisen Sie, dass man für die Darstellung der Sphäre S n mindestens zwei Parameterisierungsfunktionen braucht (b) Geben Sie für die Sphäre S n R n eine Parametrisierung an (a) Wir nehmen an, dass es eine Parametrisierungsfunktion ψ : T S n ( T R n offen) gibt Als Parametrisierung ist ψ ein Homöomorphismus, dh die Umkehrabbildung ψ : S n T ist ebenfalls stetig Da S n R n kompakt ist, ist T als stetiges Bild eines Kompaktums ebenfalls kompakt Folglich ist T offen und zugleich kompakt Da T nicht leer sein darf, ist dies ein Widerspruch (b) Bezeichne N den Nordpol N = (0, 0,, ) R n der Sphäre Betrachte nun die Abbildung P : {x R n : x n = 0} S n \{N} R N P(x ) P(x) = N + x N (x N) R n x P(x ) x bildet {x R n : x n = 0} bijektiv auf die gelochte Sphäre S n \{N} ab Die Umkehrfunktion lautet P (x) = (x /( x n ),, x n /( x n ), 0) Man sieht, dass P und P stetig sind Nun muss man noch nachprüfen, ob die Parametrisierung die Rangbedingung erfüllt Es ist x N = L nun P i (x) x j und P n (x) x j = 4x j L Also für x i = 0 = 4x i x j L + δ ij L für i, j = 0,, n x L/ x x n L/x DP(x) = 4L x n x xn L/ L/x n x x n Anhand der letzten Darstellung sieht man, dass die Ableitung immer vollen Rang hat Völlig analog betrachtet man die stereographische Projektion dem Südpol S = (0, 0,, ) R n Q(x) = S + x S (x S) Q : {x R n : x n = 0} S n \{S} Es handelt sich ebenfalls um eine Paramtrisierung für S n Da die Vereinigung der beiden Parameterisierungsgebiete S n \{N}

3 und S n \{S} die Sphäre S n überdecken, hat man eine vollständige Parametrisierung der Sphäre S n gefunden Eine andere Parametrisierung erhält man folgender Methode Es seien T = {x R n : x < } und U j,± = {x R n : ±x j > 0} offene Mengen Man betrachtet die Abbildungen n ψ j,± : T U j,±, x (x,, x j, ± xi, x j,, x n ) Die Abbildunge ψ j,± sind stetig, injektiv ψ j,± (T) = S n U j,± Außerdem ist auch die Umkehrabbildung ψ j,± : Sn U j,± T stetig Man muss noch die Rangbedingung prüfen R ψ j,± (x) Dψ j,± (x) = x R n i= woran man schnell erkennt, dass rang Dψ j,± = n gilt Aufgabe 3 (Torus) Sei f : R 4 R, f (x) = ( x + x ) x3 + x 4 (a) Bestimmen Sie die Ableitung D f (b) Begründen Sie, dass T := f ({0, 0}) eine Untermannigfaltigkeit im R 4 darstellt und geben Sie ihre Dimension an (c) Begründen Sie, dass T = S S gilt, wobei S = {x R : x = } den Einheitskreis im R bezeichnet Sei ψ : R R 3 definiert durch ( + cos(a)) cos(b) ψ(a, b) = ( + cos(a)) sin(b) sin(a) (d) Bestimmen Sie die Ableitung Dψ (e) Begründen Sie, dass M := ψ(r ) eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit im R 3 darstellt (f) Erstellen Sie eine Skizze der Untermannigfaltigkeit tels Mathematica, Maple oder Matlab (g) Zeigen Sie, dass die beiden Untermannigfaltigkeiten T und M homöomorph sind

4 (a) Die Ableitung ist D f (x) = ( ) x x x 3 x 4 (b) Es ist T nach Definition die Nullstellenmenge der Funktion f Wir müssen noch nachprüfen, ob die Ableitung von f vollen Rang hat Da x und x nicht zugleich Null sein können, ebenso wie auch x 3 und x 4 nie gleichzeitig Null sind, hat D f (x) vollen Rang für alle x f (x) = 0 Da f : R 4 R hat die Mannigfaltigkeit die Dimension 4 = (c) Die Mannigfaltigkeit S der Dimension ist durch das Nullstellengebilde von s : R R, x x + x beschrieben Mit Aufgabe a folgt nun, dass T = S S gilt (d) Die Ableitung Dψ ist cos(b) sin(a) (cos(a) + ) sin(b) Dψ(a, b) = sin(a) sin(b) (cos(a) + ) cos(b) cos(a) 0 (e) Die Funktion ψ ist schon fast eine Parametrisierung, aber ψ ist nicht bijektiv Deshalb werden wir ψ passend einschränken Sei x ein Punkt auf der Manngifaltigkeit und y ein Urbildpunkt, also x = ψ(y) Dann betrachten wir die Funktionen ψ y : B π/ (y) M, (a, b) ψ(a, b) Die Funktionen ψ y sind stetig, bijektiv und die Umkehrfunktion ist auch stetig Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass die Rangbedingung erfüllt ist Solange cos(a) = 0 ist, hat Dψ(a, b) vollen Rang Für cos(a) = 0 hat Dψ(a, b) auch vollen Rang, denn dann ist es von der Form ± cos(b) sin(b) Dψ(a, b) = ± sin(b) cos(b), 0 0 woran man ablesen kann, dass Dψ auch vollen Rang hat (f) In Mathematica kann man den Torus zum Beipsiel durch p[a_, b_] = {( + Cos[a]) Cos[b], ( + Cos[a]) Sin[b], Sin[a]} ParametricPlot3D[p[a, b], {a, -Pi, Pi}, {b, -Pi, Pi}] darstellen (g) Betrachtet man die Abbildung A : S S M R 3 (( ) ( )) ( + a)c a c A, = ( + a)d, b d b so sieht man, dass A surjektiv und injektiv, also bijektiv ist Ferner ist A stetig Die Umkehrabbildung A : M S S ( ) A (x, x, x 3 ) = x + x, x x / + x x 3 x / x + x ist ebenfalls stetig Da ist A ein Homöomorphismus zwischen S S und M Aufgabe 4 (Spezielle lineare Gruppe) Betrachtet wird für n N die Gruppe Sl(n) := { X Mat(n, R) : det(x) = } Mat(n, R) (a) Vergewissern Sie sich, dass Sl(n) eine Gruppe ist (b) Zeigen Sie, dass Sl(n) eine Mannigfaltigkeit ist

5 (c) Welche Dimension hat Sl(n)? (d) Welche der folgenden Eigenschaften hat Sl(n): beschränkt, offen, abgeschlossen, kompakt? (Begründung!) Hinweis: Evenutell ist es hilfreich zu zeigen, dass Ddet(X)H = Spur( ˆXH), wobei ˆX durch ˆXX = X ˆX = (det X)I festgelegt ist (a) Die Menge ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, da det(ab) = det(a) det(b) = gilt Die Assoziativät ist gegeben, da das Matrix-Produkt assoziativ ist Zur Existenz eines inversen Elements: Für A Sl(n) ist A invertierbar und es gilt A A = I und det(a ) det(a) =, also det(a ) = und da A Sl(n) Und das neutrale Element ist I, dessen Determinante auch ist Sl(n) ist also eine Gruppe (b) Wir prüfen nach, ob Sl(n) der Definition aus der Vorlesung genügt Sl(n) = { X Mat(n, R) : f (X) = 0 } f : Mat(n, R) R, f (X) := det(x) Wir müssen jetzt die Ableitung D f untersuchen Dazu hilft der Hinweis: ˆX ist die sogenannte Adjunkte Matrix zu X Die Einträge haben die Gestalt ˆx ij = ( ) i j det([x ohne j-te Zeile und i-te Spalte]) Da sehen wir, dass für festes i die ˆx ki unabhängig von den x ik ( k n) sind Wegen X ˆX = (det X)I gilt det X = x ik ˆx ki k für alle i Wegen oben erwähnter Unabhängigkeit ist Da gilt für H Mat(n, R) Ddet(X)H = i,j Das zeigt schon mal den Hinweis x ij det(x) = ˆx ji x ij det(x)h ij = i,j ˆx ji h ij = e T j j ˆXHe j = Spur( ˆXH) Bleibt die Frage, ob D f (X) : Mat(n, R) R für alle X Sl(n) surjektiv ist: Sei ein beliebiges X Sl(n) und ein α R vorgegeben Gesucht wird ein H R (n,n), so dass Spur( ˆXH) = α gilt Aus X ˆX = (det X)I folgt, dass det( ˆX) = 0, also ˆX = 0 gilt Insbesondere gibt es (mindestens) ein ˆx ij = 0 Wählt man H = (0,, 0, α/ ˆx ij e j, 0,, 0), so leistet H das i-te Spalte Gewünschte Da ist Sl(n) eine Mannigfaltigkeit (c) f : Mat(n, R) R, also ist die Dimension n (d) Sl(n) ist unbeschränkt: Für n N und D n := diag(n, /n,,, ) gilt det(d n ) =, aber D n = n für n Sl(n) = f ({0}) ist das Urbild der abgeschlossenen Menge {0} unter der stetigen Abbildung f, also abgeschlossen Sl(n) ist nicht offen Sl(n) wurde ja schon als abgeschlossen erkannt Die einzigen Mengen, die abgeschlossen und offen sind, sind und Mat(n, R) Da Sl(n) = und Sl(n) = Mat(n, R), kann Sl(n) nicht offen sein Sl(n) ist nicht kompakt, Sl(n) unbeschränkt ist