1 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 $Id: ode.tex,v /04/24 18:33:45 hk Exp hk $ 1 Geöhnliche Differentialgleichungen 1.3 Die charakteristische Funktion In der letzten Sitzung hatten ir mit der Behandlung der verschiedenen Abhängigkeitssätze begonnen, dies sind Sätze die das Verhalten der charakteristischen Funktion einer geöhnlichen Differentialgleichung bezüglich Stetigkeit und Differenzierbarkeit beschreiben. Die von uns behandelten Abhängigkeitssätze bauen aufeinander auf, ir beginnen mit der Stetigkeit der charakteristischen Funktion, verenden diese zum Beeis der Differenzierbarkeit nach Parametern und verenden diese Differenzierbarkeitsaussage iederum zum Beeis der Differenzierbarkeit nach Startzeitpunkt und Anfangserten. Wir beginnen mit einer lokalen Version, bei der der Zeitparameter t nicht allzu eit eg vom Startzeitpunkt sein darf, und dies ird in einem zeiten Schritt zum Beeis der globalen Version verendet, bei der auf diese Einschränkung verzichtet ird. All unsere Überlegungen laufen auf einen Hauptsatz über die charakteristische Funktion hin, der Rest dieses Abschnitts ist im esentlichen der Beeis dieses Hauptsatzes. Dieser Beeis besteht aus einer ganzen Kette untereinander zusammenhängender, größtenteils recht technischer Lemmata, deren methodischer Kern die schon beim Beeis des Satzes von Picard-Lindelöf verendete Picard-Iteration ist, die ir jeeils ein klein enig modifizieren um die verschiedenen Abhängigkeitsaussagen zu erhalten. Die Version der Picard-Iteration die ir zum Beeis des Satzes von Picard-Lindelöf verendet hatten, ar dabei in unseren üblichen Bezeichnungen gegeben durch T y(t) = b + a f(s, y(s)) ds. Unser erstes Zischenziel ist der Nacheis der lokalen Stetigkeit der charakteristischen Funktion, und hierzu müssen ir noch einige kleine Hilfsmittel bereitstellen. Das erste dieser Hilfsmittel ist dabei die in Aufgabe (2) formulierte parametrisierte Form des Banachschen Fixpunktsatzes, in dieser hatten ir einen vollständigen metrischen Raum M, auf elchem die Fixpunktiteration abläuft, und einen eiteren metrischen Raum N als Parameterraum. Weiter ist eine stetige Abbildung T : M N M; (x, λ) T λ x gegeben, und ir haben eine Konstante 0 q < 1 für die die Kontraktionsbedingung d(t λ x, T λ y) q d(x, y) 5-1

2 für alle x, y M, λ N erfüllt ist. In der genannten Aufgabe (2) ar sogar erlaubt das q stetig von λ abhängt, aber diese Allgemeinheit brauchen ir hier nicht. Für jeden Wert des Parameters λ N haben ir einen eindeutigen Fixpunkt u(λ) M von T λ und die Aufgabe besagte das dieser stetig vom Parameter λ abhängt, d.h. u : N M ist stetig. Für unsere Abschätzungen erden ir ein eiteres Hilfsmittel benötigen, eine kleine allgemeine Tatsache über stetige Funktionen, die ir jetzt erst einmal explizit formulieren ollen. Angenommen ir haben einen kompakten metrischen Raum X und zei eitere metrische Räume M, N. Weiter sei f : X M N eine stetige Funktion. Dann gibt es für jedes ɛ > 0 und alle p M stets ein δ > 0 so, dass für alle q M mit d(p, q) < δ und alle x X stets d(f(x, p), f(x, q)) < ɛ gilt. Dies ist ein typisches Kompaktheitsargument. Wir betrachten zunächst ein einzelnes x X. Da die Funktion f in (x, p) stetig ist, gibt es dann eine offene Umgebung U x von x in X und ein δ x > 0 so, dass für alle y U x und alle q M mit d(p, q) < δ x stets d(f(x, p), f(y, q)) < ɛ/2 ist. Dann bildet (U x ) x X eine offene Überdeckung von X, und da X kompakt ist gibt es endlich viele x 1,..., x n X mit X = n k=1 U x k. Setze dann δ := min{δ xk 1 k n} > 0, obei ir stillscheigend n 1 annehmen da der Fall X = trivial ist. Nun schauen ir das es mit diesem δ klappt, seien also x X und q M mit d(p, q) < δ gegeben. Dann existiert ein 1 k n mit x U xk, und egen d(p, q) < δ δ xk erhalten ir d(f(x, p), f(x, q)) d(f(x, p), f(x k, p)) + d(f(x k, p), f(x, q)) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist diese Hilfsbehauptung beiesen. Man kann diese jetzt auch noch etas schöner formulieren, verenden ir unsere im letzten Abschnitt eingeführte Metrik d auf C(X, N), so können ir die Bedingung d(f(x, p), f(x, q)) < ɛ für alle x X gleichertig als d(f p, f q ) < ɛ schreiben, obei für jedes q M die Funktion f q : X N durch f q (x) = f(x, q) für alle x X definiert ist. In anderen Worten haben ir also gerade gezeigt das die Funktion f : M C(X, N); q f q stetig ist. Wir erden im Beeis des folgenden Lemmas auch noch eine geisse Umkehrung dieser Tatsache verenden, enn f stetig ist, so ist umgekehrt auch f stetig. Um dies einzusehen verendet man die sogenannte Ausertungsabbildung ev : X C(X, N) N; (x, f) f(x), denn mit dieser ird f = ev (id X f). Es reicht also sich die Stetigkeit der Ausertungsabbildung zu überlegen. Tatsächlich erden ir die Stetigkeit der Ausertungsabbildung auch in dem kommenden Beeisen einige Male benötigen, also formulieren ir diese als ein allgemeines Lemma. Lemma 1.12 (Stetigkeit der Ausertungsabbildung) Seien M ein metrischer Raum und E ein normierter Raum. Dann ist die Ausertungsabbildung ev : CB(M, E) M E; (f, x) f(x) 5-2

3 stetig. Beeis: Seien f : M E eine beschränkte stetige Funktion und x M. Wir ollen zeigen das ev in (f, x) stetig ist. Sei also ɛ > 0 gegeben. Da die Funktion f stetig ist, gibt es dann ein δ > 0 mit f(x) f(y) < ɛ/2 für alle y M mit d(x, y) < δ. Damit ist B ɛ/2 (f) B δ (x) eine offene Umgebung von (f, x) in CB(M, E) M und für alle g CB(M, E), y M mit g f < ɛ/2 und d(x, y) < δ gilt ev(f, x) ev(g, y) = f(x) g(y) f(x) f(y) + f(y) g(y) Dies beeist die Stetigkeit der Ausertungsabbildung in (f, x). f(x) f(y) + f g < ɛ. Statt eines normierten Raums könnte man hier auch einen allgemeinen metrischen Raum verenden, nur müssten ir dazu zunächst den Raum CB(M, N) auch für allgemeine metrische Räume N definieren, bisher haben ir dies nur für normierte Räume getan. Da ir für diese Räume allerdings keine Verendung haben, ollen ir auf diese Verallgemeinerung hier verzichten. Wir haben jetzt alle Hilfsmittel vorbereitet um die Stetigkeit der charakteristischen Funktion in der lokalen Situation zu behandeln. Aufgrund der recht vielen auftretenden Funktionsargumente, erläutern ir erst einmal die verendete Notation. Wir haben ein System aus n geöhnlichen Differentialgleichungen mit Parametern aus einem metrischen Raum M. Dieses ist gegeben durch eine auf einer offenen Teilmenge U R n+1 M definierten Funktion. Die Punkte von R n+1 M schreiben ir als (t, y, p) mit t R, y R n, p M. Lemma 1.13 (Lokale Stetigkeit der charakteristischen Funktion) Seien n N mit n 1, M ein metrischer Raum, U R n+1 M offen und f : U R n sei stetig und erfülle die lokale Lipschitz-Bedingung. Dann ist die charakteristische Funktion χ f : D(f) R n von f definiert. Weiter sei (a, b, p) U. Dann existieren ein offenes Intervall I R mit a I, eine Konstante λ > 0 und eine offene Umgebung P von p in M mit I I B λ (b) P D(f) so, dass die Funktion Y : I B λ (b) P CB(I, R n ); (u, v, q) y u,v,q I, die jedes (u, v, q) I B λ (b) P auf die Lösung des Anfangsertproblems y = f(t, y, q), y(u) = v in I abbildet, stetig ist. Weiter ist die charakteristische Funktion χ f auf I I B λ (b) P stetig. Beeis: Für jedes q P erfüllt f q : U q R n die lokale Lipschitz-Bedingung, ist also nach Lemma 1.(c) lokal eindeutig lösbar, und damit existiert die charakteristische Funktion χ f. Nach Lemma 11.(b) existieren Konstanten u, v, C, L, λ R mit u < a < v, C, L 0, λ > 0, 2C(v u) λ, L(v u) < 1 und eine offene Umgebung P von p in M mit [u, v] B λ (b) P U so, dass f(t, y, q) C und f(t, x, q) f(t, y, q) L x y für alle t [u, v], x, y B λ (b), q P ist. Wir betrachten den vollständigen 5-3

4 metrischen Raum N := C([u, v], B λ (b)). Seien (u, v), r B λ/2 (b) und q P. Weiter sei y N. Für jedes s [u, v] ist dann (s, y(s), q) [u, v] B λ (b) P U, also erhalten ir die ohldefinierte stetige Funktion T,r,q y : (u, v) R n ; t r + Für jedes t [u, v] gilt dabei T,r,q y(t) b r b + d.h. es ist T,r,q y N. Damit haben ir eine Abbildung f(s, y(s), q) ds. f(s, y(s), q) ds λ + C t λ, 2 T : N (u, v) B λ/2 (b) P N; (y,, r, q) T,r,q y. Wir zeigen jetzt, dass die Funktion T stetig ist. Seien also (u, v), r B λ/2 (b), q P, y N und ɛ > 0 gegeben. Zunächst gibt es dann nach unserer obigen Vorbemerkung eine offene Umgebung V von q in M mit V P so, dass für alle s [u, v] und alle q V stets f(s, y(s), q) f(s, y(s), q ɛ ) < 4(v u) gilt. Weiter ählen ir ein δ > 0 mit Cδ < ɛ/4. Seien jetzt (u, v), r B λ/2 (b), q V und x N mit < δ, r r < ɛ/4 und x y < ɛ/4 gegeben. Wir behaupten das dann T,r,q x T,r,qy < ɛ ist. Sei also t [u, v] gegeben. Dann ist T,r,q x(t) T t,r,qy(t) = r + f(s, x(s), q ) ds r f(s, y(s), q) ds r r + (f(s, x(s), q ) f(s, y(s), q )) ds + f(s, y(s), q ) ds + (f(s, y(s), q ) f(s, y(s), q)) ds r r + L x y t + C + und dies zeigt T,r,q x T,r,qy r r ɛ < ɛ. ɛ t 4(v u) r r ɛ, Damit ist die Stetigkeit von T beiesen. Außerdem haben ir für alle (u, v), r B λ/2 (b), q P, x, y N und alle t [u, v] die Ungleichung T,r,q x(t) T,r,q y(t) = (f(s, x(s), q) f(s, y(s), q)) ds L t x y L(v u) x y, 5-4

5 d.h. ir haben die Kontraktionsbedingung Nach Aufgabe (2) ist die Funktion T,r,q x T,r,q y L(v u) x y. Y : (u, v) B λ/2 (b) P N CB((u, v), R n ), die jedes (, r, q) (u, v) B λ/2 (b) P auf den Fixpunkt von T,r,q abbildet, stetig. Ist (, r, q) (u, v) B λ/2 (b) P, so ergibt III. 9.Lemma 5 das Y (, r, q) : (u, v) R n eine Lösung des Anfangsertproblems y = f(t, y, q), y() = r ist, d.h. es gilt (u, v) I,r,q und Y (, r, q) = y,r,q I. Damit sind (u, v) (u, v) B λ/2 (b) P D(f) und die Aussage über Y eingesehen. Für jedes (t,, r, q) (u, v) (u, v) B λ/2 (b) P gilt χ f (t,, r, q) = y,r,q (t) = ev(y (, r, q), t), und damit ist χ f (u, v) (u, v) B λ/2 (b) P nach Lemma 12 als Hintereinanderausführung stetiger Funktionen selbst stetig. Damit ist der erste Schritt getan und die Stetigkeit der charakteristischen Funktion im lokalen Fall ist beiesen. Als zeiten und kompliziertesten Schritt ollen ir nun die partielle Differenzierbarkeit der charakteristischen Funktion nach einem reellen Parameter beeisen. Wie angekündigt orientieren ir uns eiter an der Picard-Iteration, allerdings tritt jetzt ein neues Problem auf. Aus Analysis II issen ir das sich die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen nur bedingt mit der Differenzierbarkeit dieser Folgen verträgt. Konvergiert eine Folge (f n ) n N stetig differenzierbarer Funktionen auf einem Intervall gleichmäßig gegen eine Funktion f, so muss die Grenzfunktion f nicht mehr differenzierbar sein. Und selbst enn f zufällig differenzierbar ist, so müssen die Ableitungen f n nicht unbedingt gleichmäßig gegen f konvergieren. Ebenfalls aus Analysis II issen ir, dass es in dieser Situation zumindest einen guten Fall gibt, enn nämlich die Ableitungen (f n) n N gleichmäßig gegen eine stetige Funktion g konvergieren, so ist f differenzierbar mit f = g. Wollen ir dies auf die Picard-Iteration (y n ) n N anenden, so müssen ir irgendie die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen der y n nach unserem Parameter sicherstellen. Hierzu verenden ir eine gekoppelte Variante der Fixpunktiteration, bei der die Iteration zugleich auf die Ableitungen angeandt ird. Diese gekoppelte Iteration können ir in einer recht allgemeinen Situation behandeln. Lemma 1.14 (Gekoppelte Fixpunktiteration) Seien M, N zei vollständige metrische Räume, T : M M und S : M N N zei Abbildungen. Es gebe Konstanten q 1, q 2 [0, 1) mit d(t x, T y) q 1 d(x, y) für alle x, y M und d(s(x, u), S(x, v)) q 2 d(u, v) für alle x M, u, v N. Für jedes u N sei die Funktion S(, u) : M M stetig. Dann gibt es eindeutige z M und N mit T z = z und S(z, ) =. Sind x 0 M, u 0 N beliebig, und definieren ir die Folgen (x n ) n N in M und (u n ) n N in N rekursiv durch x n+1 := T x n und u n+1 := S(x n, u n ) 5-5

6 für alle n N, so gelten z = lim n x n in M und = lim n u n in N. Beeis: Nach dem Banachschen Fixpunktsatz III. 9.Satz 6 existiert genau ein z M mit T z = z und die Folge (x n ) n N konvergiert gegen z. Wenden ir den Banachschen Fixpunktsatz erneut auf S(z, ) : N N an, so folgt das es auch genau ein N mit S(z, ) = gibt. Es bleibt also nur noch (u n ) n N zu zeigen. Für jedes n N haben ir d(u n+1, ) = d(s(x n, u n ), S(z, )) d(s(x n, u n ), S(x n, )) + d(s(x n, ), S(z, )) Sei jetzt ɛ > 0 gegeben. Da S(, ) stetig ist, gilt ( ) S(z, ) = S lim x n, = lim S(x n, ), n n q 2 d(u n, ) + d(s(x n, ), S(z, )). also existiert ein n 0 N mit d(s(x n, ), S(z, )) ɛ(1 q 2 ) für alle n N mit n n 0. Wir behaupten, dass für jedes k N die Ungleichung d(u n0 +k, ) ɛ + q k 2(d(u n0, ) ɛ) gilt. Dies ist klar für k = 0, und ist die Ungleichung für ein k N erfüllt, so haben ir auch d(u n0 +k+1, ) q 2 d(u n0 +k, ) + d(s(x n0 +k, ), S(z, )) q 2 (ɛ + q k 2(d(u n0, ) ɛ)) + ɛ(1 q 2 ) = ɛ + q k+1 2 (d(u n0, ) ɛ), und per Induktion ist diese Behauptung beiesen. Wegen 0 q 2 < 1 ist somit auch lim sup d(u n, ) lim(ɛ + q k n k 0 2(d(u n0, ) ɛ)) = ɛ. Dies zeigt lim sup n d(u n, ) = 0, also auch (u n ) n N. In unserer geplanten Anendung dieses Lemmas ist T im esentlichen die uns schon vertraute Picard-Iteration. Bezeichnet ζ den Parameter nach dem ir ableiten ollen, so ollen ir die Abbildung S so einrichten das (T y) = S ζ ( y, y ζ gilt, d.h. S soll so etas ie die Ableitung nach ζ sein. Um zu sehen, ie ir S konkret definieren müssen, brauchen ir also erst einmal eine Formel für die Ableitung nach dem Parameter. Eine solche Formel können ir uns tatsächlich überlegen, auch ohne vorher die Differenzierbarkeit zu beeisen, und dies ird unser nächstes Lemma sein. 5-6 )