6 Räume integrierbarer Funktionen

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1 $Id: L.tex,v /01/19 15:07:43 hk Ex $ $Id: green.tex,v /01/19 15:18:26 hk Ex hk $ 6 Räume integrierbarer Funktionen In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannte L -Norm ( 1/ f := f(x) dµ(x)) R 0 auf dem Vektorraum L(, Σ, µ; K) eingeführt. Bisher ist dies nur ein Name, wir wissen noch nicht ob es sich wirklich um eine Norm handelt. Zwei der drei Normeigenschaften waren einfach zu sehen, nur die Dreiecksungleichung ist nicht offensichtlich. Man bezeichnet die Dreiecksungleichung für die L -Norm auch als die Minkowski-Ungleichung, und diese wird üblicherweise, und auch bei uns, als Folgerung aus der am Ende der letzten Sitzung bewiesenen Hölder-Ungleichung f(x)g(x) dµ(x) f g q hergeleitet. Dabei war q der sogenannte zu konjugierte Exonent, dieser ist durch die Bedingung 1/ + 1/q = 1 gegeben. Dabei erfordert der Randfall = einen ganz anderen Beweis als der Hautfall <, und wird daher in einer Übungsaufgabe behandelt. Korollar 6.3 (Minkowski Ungleichung) Seien (, Σ, µ) ein Maßraum, K {R, C} und [1, ]. Dann gilt für alle f, g L(, Σ, µ) die Minkoswki-Ungleichung f + g f + g. Beweis: Für = ist dies Übungsaufgabe (39.a), wir nehmen im folgenden also < an. Ist f = oder g =, so ist die Ungleichung trivial, wir können also f, g L (, Σ, µ; K) annehmen. Für = 1 haben wir die Ungleichung bereits eingesehen, wir müssen also nur noch den Fall 1 < < behandeln. Für jedes x haben wir f(x) + g(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) 1 f(x) f(x) + g(x) 1 + g(x) f(x) + g(x)

2 Bezeichnet q := den konjugierten Exonenten, so liefert Satz 2 f(x) f(x) + g(x) 1 dµ(x) f ( = f ( ) 1/q f(x) + g(x) ( 1)q dµ(x) ) 1/q f(x) + g(x) dµ(x) = f f + g /q und analog ist auch g(x) f(x) + g(x) 1 dµ(x) g f + g /q. Insgesamt ist damit f + g = f(x) + g(x) dµ(x) f(x) f(x) + g(x) 1 dµ(x) + g(x) f(x) + g(x) 1 dµ(x), ( f + g ) f + g /q, also f + g f + g q = f + g. Mittels der Minkowski-Ungleichung können wir schließlich L als einen normierten Raum einführen, denn diese besagt ja insbesondere das für f, g L (, Σ, µ; K) stets auch f + g f + g <, also f + g L (, Σ, µ; K), ist. Korollar 6.4 (Die L -Räume) Seien K {R, C}, (, Σ, µ) ein Maßraum und [1, ]. Dann ist L (, Σ, µ; K) ein Untervektorraum von L(, Σ, µ; K) und die L -Norm ist eine Norm auf L (, Σ, µ; K). Beweis: Klar nach Korollar 3. Wir wollen uns jetzt einige kleine Beisiele anschauen. Zunächst eine Bemerkung zur Schreibweise, oftmals und besonders an der Tafel, schreibt man nicht L (, Σ, µ; K) sondern läßt diejenigen Argumente weg die aus dem Kontext klar sind. Ist beisielsweise n N mit n 1 und A R n eine Lebesguemenge, so schreiben wir für jedes [1, ] einfach L (A) := L (A, L n A, λ n ; K) oder auch L (A; K) wenn wir den Skalarenbereich K {R, C} hervorheben wollen. Entsrechend schreiben wir auch bei allgemeinen Maßraum (, Σ, µ) manchmal einfach L () oder L (µ) anstelle des vollständigen L (, Σ, µ; K). Wenn auch A beziehungsweise aus dem Kontext gegeben ist, schreibt man manchmal sogar einfach L. 22-2

3 Ein Sezialfall erhält traditionell noch eine eigene Bezeichnung, ist (, Σ) = (N, P(N)) versehen wir mit dem Zählmaß µ, so setzt man { } l := L (N, P(N), µ; K) = x K N x n < für 1 <, { l := L (N, P(N), µ; K) = n=0 x K N su x n < n N Die Beschreibung durch Reihen ergibt sich dabei aus Aufgabe (34.b). Kommen wir nun noch zu einigen konkreten Beisielen. Sei α R. Bekanntlich ist also ist für [1, ) auch x α dλ 1 (x) < α > 1, x α dλ 1 (x) < α < 1, }. x α L (0, 1) α > 1, xα L (1, ) α < 1. Insbesondere gilt für 1 q < auch das x α L q (0, 1) auch α > 1/q 1/, also x α L (0, 1) imliziert. Tatsächlich ist sogar L q (0, 1) L (0, 1). Dies hat in Wahrheit nichts mit dem Intervall (0, 1) oder dem Lebesguemaß zu tun, sondern trifft auf jeden endlichen Maßraum zu. Seien hierzu ein Maßraum (, Σ, µ), K {R, C} und 1 < q < gegeben und sei f L q (, Σ, µ; K) gegeben. Es ist 1 q/ < und der zu q/ konjugierte Exonent r ist gegeben als r = q q 1 = Mit der Hölderschen Ungleichung Satz 2 folgt also ist auch q q. ( ) 1/r ( ) /q f(x) dµ(x) dµ(x) f(x) q = µ() q q f q, ( ) 1/ f = f(x) dµ(x) µ() 1 1 q f q <, und insbesondere haben wir f L (, Σ, µ; K). Im Fall des Einheitsintervalls ist dabei L q (0, 1) L (0, 1), denn wählen wir ein 1/ < α < 1/q so ist x α L (0, 1) aber x α / L q (0, 1). Zwischen den verschiedenen L -Räumen auf (1, ) bestehen dagegen keine Inklusionen. Sind nämlich 1 < q < gegeben, so gibt es wieder ein 1/ < 22-3

4 α < 1/q und wir haben x α L q (1, ) aber x α / L (1, ) also L q (1, ) L (1, ). Ebenso ist (x 1) α χ (1,2) L (1, ) aber (x 1) α χ (1,2) / L q (1, ) also ist auch L (1, ) L q (1, ). Es gibt aber durchaus auch unendliche Maßräume bei denen Inklusionen zwischen den L -Räumen auftreten. Wir nehmen beisielsweise einmal (, Σ) = (N, P(N)) bezüglich des Zählmaßes. Seien wieder 1 q < gegeben. Sei x l mit x = 1. Für jedes n N gilt dann x n x = 1, also auch x n 1 und somit ist x n q x n. Es folgt ( ) 1/q ( ) 1/q x q = x n q x n n=0 n=0 = x /q = 1. Ist also 0 x l, so ist x q = x x x 1, also haben wir x q x. q Dies zeigt l l q und x q x für jedes x l. Wir wollen als nächstes Ziel den Satz von Riesz-Fischer beweisen, dieser besagt das L ein vollständiger normierter Raum ist. Dies wurde seziell für = 2 von Fischer und für allgemeines von Riesz bewiesen. Was am Fall = 2 so besonders ist, werden wir am Ende dieses Kaitels kurz ansrechen. Wir beginnen mit der Besrechung konvergenter Reihen. Lemma 6.5 (Absolut konvergente Reihen in L ) Seien (, Σ, µ) ein Maßraum, [1, ), K {R, C} und (f n ) n N eine Folge in L (, Σ, µ; K) mit n=0 f n <. Dann existiert in L (, Σ, µ; K) der Grenzwert f = n=0 f n und die Reihe n=0 f n konvergiert fast überall unktweise gegen f. Beweis: Für jedes n N ist die Funktion ( n ( n g n := f k ) : (, Σ) (R 0, B(R 0 )); x f k (x) meßbar und mit der Minkowski Ungleichung Satz 3 folgt ( n ( n n ) g n dµ = f k ) dµ(x) = f k f k ( n ) ( ) = f k f k <. Für jedes n N ist dabei g n g n+1, also ist nach dem Satz von Beo Levi 4.Satz 5 auch die Funkion g : (, Σ) (R 0, B(R 0 )); x su g n (x) = n N ( ) f n (x) 22-4 n=0 )

5 meßbar mit ( ) g dµ = su g n dµ f k <, n N d.h. g ist integrierbar. Nach 4.Lemma 4.(e) gilt für die Menge N := g 1 ( ) Σ dann µ(n) = 0 und für jedes x \N ist n=0 f n(x) = g(x) 1/ <, d.h. die Reihe n=0 f n(x) ist absolut konvergent. Mit 2.Lemma 8 erhalten wir die meßbare Funktion f : (, Σ) (K, B(K)); x { n=0 f n(x), x \N, 0, x N mit f(x) = n=0 f n(x) für fast alle x. Wegen ( f(x) dµ(x) f n (x) ) dµ(x) = n=0 g dµ < ist dabei f L (, Σ, µ; K). Für jedes n N und jedes x \N haben wir weiter ( n f(x) f k (x) = f k (x) f k (x) ) g(x) und lim n k=n+1 n f(x) f k (x) k=n+1 = 0, also ergibt der Satz von der dominierten Konvergenz 5.Satz 2 auch lim n ( n f f k = lim n Damit gilt n=0 f n = f in L (, Σ, µ; K). n f(x) f k (x) dµ(x)) 1/ = 0. In L (, Σ, µ; K) sind absolut konvergente Reihen also auch konvergent. Hieraus folgt bereits die Vollständigkeit der L -Norm, ganz allgemein ist ein normierter Raum in dem jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist bereits vollständig. Wir können dem Lemma aber noch eine weitere Aussage entnehmen, wir haben ja sogar gezeigt das die Reihe n=0 f n = f nicht nur in L (, Σ, µ; K) konvergiert, sondern das sie zugleich auch unktweise fast überall konvergiert. Für konvergente Folgen trifft dies so nicht mehr unbedingt zu, aber durch Übergang zu einer Teilfolge können wir stets auch fast überall unktweise Konvergenz erhalten. Die Aussage des Lemmas ist auch im Fall = wahr, für diesen Fall ist das Lemma aber nicht besonders hilfreich da es einfacher ist die Vollständigkeit von L direkt zu begründen und zum anderen gilt dann auch eine etwas bessere Aussage. 22-5

6 Satz 6.6 (Satz von Riesz-Fischer) Seien (, Σ, µ) ein Maßraum, K {R, C} und [1, ]. Dann ist L (, Σ, µ; K) vollständig. Weiter gibt es im Fall < für jede Cauchyfolge (f n ) n N in L (, Σ, µ; K) stets eine Teilfolge (f nk ) k N die fast überall unktweise gegen den Grenzwert f von (f n ) n N in L (, Σ, µ; K) konvergiert. Beweis: Der Fall = ist Übungsaufgabe (39.a), hier untersuchen wir nur den Fall [1, ). Sei (f n ) n N eine Cauchyfolge in L (, Σ, µ; K). Dann existiert eine Teilfolge (f nk ) k N mit f nk+1 f nk 1/2 k für jedes k N. Insbesondere ist f n k+1 f nk < und nach Lemma 5 existiert in L (, Σ, µ; K) der Grenzwert f = (f nk+1 f nk ) und es gibt eine Menge N Σ mit µ(n) = 0 so, dass für jedes x \N stets f(x) = (f n k+1 (x) f n k (x)) gilt. Damit existiert in L (, Σ, µ; K) auch der Grenzwert f := lim k f nk = f + f n0 und für jedes x \N gilt lim k f nk (x) = f(x) + f n0 (x) = f(x). Da (f n ) n N eine Cauchyfolge ist, konvergiert schließlich auch (f n ) n N in L (, Σ, µ; K) gegen f. Dem Satz können wir auch noch eine gelegentlich nützliche Aussage über die Folgenkonvergenz in L entnehmen. Dabei tritt = als ein Ausnahmefall auf. Korollar 6.7 (Folgenkonvergenz in L ) Seien (, Σ, µ) ein Maßraum, K {R, C} und [1, ]. Weiter seien (f n ) n N eine Folge in L (, Σ, µ; K) und f : (, Σ) (K, B(K)) eine meßbare Funktion. Dann gelten: (a) Ist < und konvergiert die Folge (f n ) n N in L (, Σ, µ; K) gegen die Funktion f L (, Σ, µ; K), so existiert eine Teilfolge (f nk ) k N von (f n ) n N, die fast überall unktweise gegen f konvergiert. (b) Ist = so ist genau dann f L (, Σ, µ; K) und (f n ) n N konvergiert in L (, Σ, µ; K) gegen f wenn es eine Menge N Σ mit µ(n) = 0 gibt so, dass die Folge (f n \N) n N gleichmäßig gegen f \N konvergiert. (c) Sei < und die Folge (f n ) n N konvergiere fast überall unktweise gegen f. Gibt es dann eine Funktion g L (, Σ, µ; R) mit f n µ g für jedes n N, so ist auch f L (, Σ, µ; K) und die Folge (f n ) n N konvergiert in L (, Σ, µ; K) gegen f. Beweis: (a) Klar nach Satz

7 (b) Dies ist Übungsaufgabe (39.b). (c) Zunächst ist auch f µ g, also haben wir f(x) dµ(x) g(x) dµ(x) = g <, d.h. es ist f L (, Σ, µ; K). Weiter konvergiert die Folge ( f f n ) n N fast überall unktweise gegen 0, und für jedes n N gilt f f n µ 2 g und da 2 g integrierbar ist, liefert der Satz von der dominierten Konvergenz 5.Satz 2 auch ( 1/ lim f f n = lim f(x) f n (x) dµ(x)) = 0, n n d.h. (f n ) n N konvergiert in L (, Σ, µ; K) gegen f. Aussage (c) des Korollars gilt tatsächlich nicht im Fall =. Betrachten wir etwa die Funktionen f n = χ (0,1/n) L (0, 1), so ist f n 1 L (0, 1) für jedes n N und die Folge (f n ) n N konvergiert unktweise gegen die Nullfunktion, aber es ist f n = 1 für jedes n N, d.h. (f n ) n N ist in L (0, 1) keine Nullfolge. Zum Abschluß unserer Überlegungen zu den L -Räumen wollen wir noch einsehen das die Treenfunktionen einen dichten Teilraum bilden. Streng genommen bilden die Treenfunktionen eigentlich nicht einmal eine Teilmenge von L(, Σ, µ; K), wir nennen aber auch die Äquivalenzklassen von Treenfunktionen als Elemente von L(, Σ, µ; K) einfach weiterhin Treenfunktionen. Satz 6.8 (Die Treenfunktionen sind dicht in L ) Seien (, Σ, µ) ein Maßraum, K {R, C} und [1, ]. (a) Ist < so ist T (, Σ, µ; K) dicht in L (, Σ, µ; K). (b) Genau dann ist T (, Σ, µ; K) dicht in L (, Σ, µ; K) wenn µ() < ist. Beweis: (a) Als ersten Schritt behandeln wir den reellen Fall K = R. Sei f : (, Σ) (R 0, B(R 0 )) meßbar mit f <. Nach 2.Lemma 8 existiert eine Folge (ϕ n ) n N in T + (, Σ) mit f(x) = su n N ϕ n (x) für jedes x und ϕ n ϕ n+1 für jedes n N. Sei n N und sei 0 c ϕ n (). Setze A := ϕ 1 n (c) Σ. Für jedes x A gilt dann c = ϕ n (x) f(x), also auch c f(x) und es folgt c µ(a) f(x) dµ(x) f(x) dµ(x) = f <, A d.h. wir haben µ(a) <. Dies zeigt ϕ n T (, Σ, µ; R) für jedes n N. Für jedes n N ist auch ϕ n = ϕ n f L (, Σ, µ; R), also liefert Korollar 7.(c) auch f = lim n ϕ n in L (, Σ, µ; R). 22-7

8 Nun sei f L (, Σ, µ; R) beliebig. Dann sind auch f +, f L (, Σ, µ; K) und wie bereits gezeigt existieren Folgen (ϕ n ) n N, (ψ n ) n N in L (, Σ, µ; R) mit f + = lim n ϕ n und f = lim n ψ n in L (, Σ, µ; R). Dann ist auch (ϕ n ψ n ) n N eine Folge in T (, Σ, µ; R) mit lim n (ϕ n ψ n ) = f + f = f in L (, Σ, µ; R). Damit ist die Behautung im reellen Fall bewiesen und wir kommen nun zu K = C. Sei also f L (, Σ, µ; C) gegeben. Dann sind Re f L (, Σ, µ; R) und Im f L (, Σ, µ; R), also existieren Folgen (ϕ n ) n N, (ψ n ) n N in T (, Σ, µ; R) mit Re f = lim n ϕ n und Im f = lim n ψ n in L (, Σ, µ; R). Für jedes n N ist dann θ n := ϕ n + iψ n T (, Σ, µ; C) und es gilt f = lim n θ n in L (, Σ, µ; C). (b) Dies ist Übungsaufgabe (39.c). In den Übungsaufgaben wird dies Aussage noch einmal verbessert werden, und insbesondere wird dort gezeigt das für alle a, b R mit a < b der Teilraum R[a, b] der auf [a, b] Riemannintegrierbaren Funktionen ein dichter Teilraum von L 1 [a, b] ist. Es ist aber R[a, b] L 1 [a, b] und insbesondere sind die Riemannintegrierbaren Funktionen bezüglich der L 1 -Norm nicht vollständig, was wir schon ganz zu Beginn dieses Semesters in 1.2 als die entscheidende Schwäche des Riemann-Integrals benannt haben. Um einzusehen das R[a, b] L 1 [a, b] ist, müssen wir eine Lebesgueintegrierbare Funktion auf [a, b] angeben, die nicht fast überall gleich einer Riemannintegrierbaren Funktion ist. Hierzu können wir Aufgabe (15) heranziehen, mit dieser folgt das es eine komakte, total unzusammenhängende Teilmenge C [a, b] mit λ 1 (C) > 0 gibt. Dann ist χ C L 1 [a, b]. Angenommen es gibt eine Riemannintegrierbare Funktion f : [a, b] R mit f λ1 χ C, d.h. es gibt eine Menge N 1 B([a, b]) mit λ 1 (N 1 ) = 0 und f(x) = χ C (x) für jedes x [a, b]\n 1. Nach 4.Satz 8 gibt es weiter eine Menge N 2 B([a, b]) mit λ 1 (N 2 ) = 0 so, dass f in jedem Punkt x [a, b]\n 2 stetig ist. Wegen λ 1 (C) > 0 existiert ein x [a, b]\(n 1 N 2 ) und insbesondere ist f(x) = χ C (x) = 1. Da f in x stetig ist, gibt es weiter ein ɛ > 0 mit f(y) > 0 für jedes y [a, b] mit y x < ɛ. Ist also J := [a, b] (x ɛ, x + ɛ), so ist für jedes x J\N 1 stets χ C (y) = f(y) > 0, also y C. Dies zeigt J C N 1. Hieraus folgt weiter J C, denn ist y J und δ > 0, so ist J (y δ, y + δ) C N 1 und wegen λ 1 (J (y δ, y + δ)) > 0 muss (J (y δ, y + δ)) C sein. Dies zeigt y C = C, also haben wir J C. Aber C ist total unzusammenhängend, und wir haben einen Widersruch erhalten. Als allerletzte Bemerkung in diesem Abschnitt wollen wir jetzt kurz erwähnen wieso = 2 so seziell ist. Der zu [1, ] konjugierte Exonent q [1, ] war durch die Bedingung 1/ + 1/q = 1 definiert. Insbesondere ist genau dann q = wenn = 2 ist. Sind also (, Σ, µ) ein Maßraum, K {R, C} und f, g L 2 (, Σ, µ; K), so ergibt die Höldersche Ungleichung Satz 2 f(x)g(x) dµ(x) = f(x)g(x) dµ(x) f 2 g 2 <. Damit ist f g integrierbar und wir können ein Skalarrodukt f g := f(x)g(x) dµ(x) K 22-8

9 definieren. Mit den Grundeigenschaften des Integrals folgt sofort das ein Skalarrodukt auf dem Vektorraum L 2 (, Σ, µ; K) ist, dessen zugehörige Norm für f L 2 (, Σ, µ; K) durch f f = ( 1/2 ( 1/2 f(x)f(x) dµ(x)) = f(x) dµ(x)) 2 = f 2 gegeben ist. Der Satz von Riesz-Fischer Satz 6 besagt dann das L 2 (, Σ, µ; K) ein Hilbertraum ist, dies ist der Satz von Fischer. Die Höldersche Ungleichung für = q = 2 wird zur Cauchy-Schwartz Ungleichung in L 2 (, Σ, µ; K). 7 Kurvenintegrale und die Greensche Formel Während wir uns in den bisherigen Abschnitten in allgemeinen Maßräumen bewegt haben, wird es in diesem Abschnitt hautsächlich um den R n, und seziell sogar um den R 2 gehen. Wir werden sogenannte Kurvenintegrale diskutieren, und hierzu brauchen wir zunächst einmal einen ganzen Satz neuer Begriffe. Bei den Kurvenintegralen wird über eine sogenannte Kurve im R n integriert und der Integrand ist keine Funktion sondern ein sogenanntes Vektorfeld. 7.1 Kurven und Vektorfelder Wie schon bemerkt wird es in diesem Abschnitt hautsächlich um eine ganze Reihe von Definitionen gehen. Grundlegend für alles folgende sind die Kurven im R n. Kurven sind einfach Abbildungen von Intervallen in den R n, wir müssen allerdings entscheiden welche Regularitätsbedingungen wir fordern wollen. Die stetige Differenzierbarkeit ist eine etwas zu starke Bedingung, wir wollen auch Kurven zulassen die scharf abbiegen können, wie beisielsweise der Rand eines Quadrates. Beim Quadrat läßt sich der Rand aus vier stetig differenzierbaren Teilen zusammensetzen, und allgemein werden wir fordern das sich unsere Kurven in endlich viele solche Stücke zerlegen lassen. Dies führt uns auf die folgende Definition. Definition 7.1: Seien n N und U R n eine offene Menge. (a) Eine stückweise C 1 -Kurve in U ist eine stetige Abbildung γ : [a, b] U, wobei a, b R mit a < b sind, für die es eine Zerlegung (t 0,..., t r ) des Intervalls [a, b] gibt bei der γ [t i 1, t i ] für jedes 1 i r stetig differenzierbar ist. Jede solche Zerlegung heißt eine C 1 -Zerlegung von γ. Wir nennen γ := γ(a) den Startunkt und γ + := γ(b) den Endunkt von γ. Die Kurve γ heißt geschlossen wenn γ + = γ ist. 22-9

10 (b) Ist γ i : [a i, b i ] U für i = 1, 2 eine stückweise C 1 -Kurve in U mit γ 1+ = γ 2, so nennen wir die Abbildung { γ 1 (t), t [a 1, b 1 ], γ 1 + γ 2 : [a 1, b 1 + b 2 a 2 ]; t γ 2 (t b 1 ), t [b 1, b 1 + b 2 a 2 ] die Summe von γ 1 und γ 2. Dann ist γ 1 + γ 2 wieder eine stückweise C 1 -Kurve, denn wählen wir für i = 1, 2 eine C 1 -Zerlegung (t i0,..., t iri ) von γ i, so ist (t 10,..., t 1r1, b 1 + t 21 a 2,..., b 1 + t 2r2 a 2 ) eine C 1 -Zerlegung von γ 1 + γ 2. Dabei ist γ 1 der Startunkt von γ 1 + γ 2 und γ 2+ der Endunkt von γ 1 + γ 2, d.h. (γ 1 + γ 2 ) = γ 1, (γ 1 + γ 2 ) + = γ 2+. Gilt γ 1+ = γ 2, so nennen wir γ 1 und γ 2 auch zusammensetzbar. (c) Ist γ : [a, b] U eine stückweise C 1 -Kurve in U, so nennen wir die Abbildung γ : [a, b] U; t γ(a + b t) die zu γ entgegengesetzte Kurve. Ist (t 0,..., t r ) eine C 1 -Zerlegung von γ, so ist (a+b t r,..., a+b t 0 ) eine C 1 -Zerlegung von γ. Damit ist auch γ stückweise C 1 -Kurve in U mit Startunkt γ + und Endunkt γ, d.h. γ = γ +, γ + = γ