Algebra II, SS 2009 Montag $Id: algebren.tex,v /06/15 14:14:10 hk Exp $ $Id: moduln.tex,v /06/15 14:14:27 hk Exp $

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1 $Id: algebren.tex,v /06/15 14:14:10 hk Exp $ $Id: moduln.tex,v /06/15 14:14:27 hk Exp $ 8 Algebren Am Ende der letzten Vorlesung hatten wir den folgenden Satz bewiesen: Satz 8.2 (Klassifikation zweidimensionaler Algebren mit Eins) Sei K ein Körper. Dann gibt es über K bis auf Isomorphie genau die folgenden zweidimensionalen Algebren mit Eins: 1. Das Produkt K K. 2. Die Dualzahlen über K. 3. Die quadratischen Erweiterungskörper von K. Die exakte Aufzählung der Isomorphietypen im Fall (c) des Satzes hängt sehr stark vom Körper K ab. Ist beispielsweise K = R, so gibt es bis auf Isomorphie genau eine quadratische Erweiterung von K, nämlich die komplexen Zahlen. Über K = R gibt es also bis auf Isomorphie genau drei zweidimensionale Algebren mit Eins. Über den rationalen Zahlen K = Q ist die Lage wesentlich komplizierter, da dieser Körper recht viele Quadratklassen hat. Besonders gut verhält sich die Situation dagegen im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Körpers K. Da quadratische Erweiterungen insbesondere algebraisch sind, gibt es dann überhaupt keine quadratischen Körpererweiterungen von K, und damit gibt es bis auf Isomorphie genau zwei zweidimensionale Algebren mit Eins über K. Wir kommen nun zum Begriff des Nullteilers. Definition 8.8: Ein Element a A einer Algebra A über einem Körper K heißt ein Linksnullteiler von A wenn a 0 ist und es ein b A mit b 0 und ab = 0 gibt. Entsprechend heißt a ein Rechtsnullteiler von A wenn a 0 ist und es ein b A mit b 0 und ba = 0 gibt. Links- und Rechtsnullteiler einer Algebra müssen keinesfalls übereinstimmen. Seien etwa K ein Körper und V ein unendlichdimensionaler Vektorraum über K. Dann haben wir die Endomorphismenalgebra A = End(V ) von V. Da V unendlichdimensional ist, enthält V einen zu V isomorphen, echten Teilraum U < V und wir wählen einen Isomorphismus T : V U V. Dann ist T kein Linksnullteiler in A, denn ist S End(V ) mit T S = 0, so ist Bild(S) Kern(T ) = 0, also S = 0. Andererseits gibt es einen Endomorphismus S End(V ) mit S 0 und S U = 0, etwa die Projektion auf ein Komplement von U, und dann ist ST = 0, d.h. T ist ein Rechtsnullteiler. 17-1

2 Wir können den Nullteilerbegriff auch noch in Termen der sogenannten Links- und Rechtsmultiplikationen einer Algebra interpretieren. Definition 8.9: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Dann heißt die lineare Abbildung l a : A A; x ax die Linksmultiplikation mit a, während r a : A A; x xa die Rechtsmultiplikation mit a genannt wird. Für ein Element 0 a A einer Algebra A haben wir damit a ist ein Linksnullteiler Kern l a 0, a ist ein Rechtsnullteiler Kern r a 0. Hat die Algebra A also weder Links- noch Rechtsnullteiler, so sind alle Links- und alle Rechtsmultplikationen injektiv. Sind sie sogar alle bijektiv so spricht man von einer Divisionsalgebra. Wir fordern hier zusätzlich noch die Existenz einer von Null verschiedenen Eins, dies wird nicht ganz einheitlich gehandhabt. Definition 8.10: Eine Algebra D 0 über einem Körper K heißt eine Divisionsalgebra, wenn D eine Eins hat und für jedes 0 a D stets l a, r a GL(D) gilt, es also für jedes y D genau ein x D mit ax = y und auch genau ein x D mit xa = y gibt. Beispielsweise ist jeder Körper eine Divisionsalgebra, es gibt aber auch andere Beispiele. In den Aufgaben werden Sie die sogenannten Quaternionen H kennenlernen. Ein berühmtes Beispiel einer nicht assoziativen Divisionsalgebra sind die sogenannten il Oktaven. Dies ist eine achtdimensionale Algebra über den reellen Zahlen, deren Basis wir mit k 1, i, j, k, l, il, jl, kl j l bezeichnen. Das Basiselement 1 ist dabei die Eins der Algebra. Die Quadrate der anderen sieben Basiselemente sind 1, also i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = (il) 2 = (jl) 2 = (kl) 2 = 1. Die restlichen Produkte von Basiselementen folgen dem nebenstehenden Schema. Nehmen wir zwei der Basiselemente u, v, so werden jl i kl diese im nebenstehenden Graphen durch eine eindeutige Gerade beziehungsweise durch den mittleren Kreis verbunden, und das Produkt u v ist ±w wobei w der dritte Punkt auf der Geraden beziehungsweise dem Kreis ist. Das Vorzeichen richtig sich nach dem Umlaufsinn der Verbindungsgraden. Für die drei Mittelsenkrechten ist die Umlaufrichtung klar, es ist beispielsweise i l = il, und dann haben wir auch l il = i während 17-2

3 etwa l i = il ist. Der innere Kreis sowie der Umlauf um die drei Kanten ist im Gegenuhrzeigersinn, also sind beispielsweise i j = k, i k = j, jl i = kl, il j = kl und so weiter. Mit dieser Multiplikation erhalten wir eine nicht assoziative Divisionsalgebra O. Die Oktaven erfüllen das sogenannte Alternativgesetz a 2 b = a(ab) und ab 2 = (ab)b für alle a, b O. Die Klassifikation der (endlichdimensionalen) Divisionsalgebren über einem Körper K hängt hochgradig von diesem Körper K ab, und ist eigentlich nur für einige Körper überhaupt möglich. Es gibt beispielsweise eine enorme Vielfalt vier- und achtdimensionaler Divisionsalgebren über den reellen Zahlen, die eine vollständige Klassifikation hoffnungslos erscheinen läßt. Immerhin gibt es den berühmten Satz von Kervaire und Milnor, dass die Dimension einer endlichdimensionalen Divisionsalgebra über R stets 1, 2, 4 oder 8 ist. 9 Darstellungen assoziativer Algebren Ab dieser Stelle interessieren wir uns nur noch für assoziative Algebren mit Eins, und meinen mit dem Wort Algebra immer eine solche. Ist A eine assoziative Algebra mit Eins über einem Körper K, so können wir die Vektorraumstruktur auch vergessen und (A, +, ) als einen Ring interpretieren. Beachte das die Ideale von A bezüglich der Ring- und der Algebrenstruktur dann übereinstimmen, d.h. jedes Ideal des Ringes A ist ein automatisch ein Teilraum des Vektorraums A über K. Ist nämlich I ein Ideal im Ring A, so ist für alle a I, c K auch ca = (c1) a I, d.h. I ist automatisch ein Untervektorraum von A. Der Grundkörper K ist nun ein Unterkörper des Ringes A, und in dieser Identifikation liegt K sogar im sogenannten Zentrum der Algebra A: Definition 9.1: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Das Zentrum von A ist dann die Unteralgebra Z(A) := {a A (x A) : ax = xa} von A. Dass das Zentrum dabei eine Unteralgebra ist, ist einfach zu sehen. Zunächst sind nämlich 0, 1 Z(A). Weiter seien a, b Z(A) und c K gegeben. Für alle x A haben wir dann (a + b)x = ax + bx = xa + xb = x(a + b), (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) und (c a)x = c (ax) = c (xa) = x(c a), d.h. es sind a + b, ab, ca Z(A). Insbesondere ist K = K 1 Z(A). Umgekehrt können wir einen Ring A dessen Zentrum einen zu K isomorphen Teilkörper enthält als eine Algebra 17-3

4 über K auffassen. Insbesondere ist eine assoziative Divisionsalgebra über K dasselbe wie ein Schiefkörper, der K in seinem Zentrum enthält. Wir werden hauptsächlich an endlichdimensionalen Algebren interessiert sein, und für diese haben wir das folgende Lemma. Lemma 9.1: Sei A ein endlichdimensionale Algebra über einem Körper K und sei a A\{0}. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Das Element a von A ist invertierbar. (b) Das Element a von A ist eine Linkseinheit, d.h. es gibt ein b A mit ab = 1. (c) Das Element a von A ist eine Rechtseinheit, d.h. es gibt ein b A mit ba = 1. (d) Das Element a ist kein Linksnullteiler. (e) Das Element a ist kein Rechtsnullteiler. Beweis: (b)= (e). Wähle ein b A mit ab = 1. Sei jetzt x A mit xa = 0. Dann ist auch x = x1 = x(ab) = (xa)b = 0. Damit ist a kein Rechtsnullteiler. (e)= (c). Die Rechtsmultiplikation r a : A A ist über K linear und injektiv, also auch surjektiv und somit existiert ein b A mit ba = r a (b) = 1, d.h. a ist eine Rechtseinheit. (c)= (d). Analog zur Implikation von (b) nach (e). (d)= (b). Analog zur Implikation von (e) nach (c). Damit sind die Aussagen (b,c,d,e) alle zueinander äquivalent, und dies ergibt auch die Äquivalenz dieser Aussagen mit (a). Im endlichdimensionalen Fall können wir daher auch neutral von Nullteilern reden. Insbesondere ist eine endlichdimensionale Algebra genau dann eine Divisionsalgebra wenn sie keine Nullteiler hat. Jetzt kommen wir zum Begriff der Darstellungen einer Algebra. Die Darstellungen werden sich als der Schlüssel zur Strukturtheorie der Algebren herausstellen, und daher müssen wir sie auch schon so früh definieren. Definition 9.2: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Eine Darstellung von A in einem Vektorraum V über K ist ein Algebrenhomomorphismus T : A End(V ). Die Darstellung heißt treu wenn T injektiv ist. Die Dimension des Vektorraums V über K nennen wir auch die Dimension der Darstellung T. Dabei lassen wir die Elemente von End(V ) von links auf dem Vektorraum V wirken. Wir wollen einige Beispiele von Darstellungen durchgehen. 1. Ist A eine Algebra über dem Körper K, so ist l : A End(A); a l a 17-4

5 eine treue Darstellung von A, genannt die reguläre, oder auch die linksreguläre, Darstellung von A. Diese Tatsache wollen wir einmal wirklich im Detail durchrechnen. Seien a, b A, c K. Für alle x A ist dann zunächst l a+b (x) = (a + b)x = ax + bx = l a (x) + l b (x) = (l a + l b )(x) und l ca (x) = (ca)x = c(ax) = cl a (x) = (cl(a))(x), also l a+b = l a + l b und l ca = cl a. Damit ist l überhaupt eine lineare Abbildung. Außerdem haben wir für alle x A auch l ab (x) = (ab)x = a(bx) = l a (bx) = l a (l b (x)) = (l a l b )(x), d.h. l ab = l a l b. Somit ist l auch ein Algebrenhomomorphismus, d.h. l ist eine Darstellung von A. Wegen l a (1) = a für alle a A ist l auch eine treue Darstellung. 2. Dagegen ist die Abbildung r : A End(A); a r a im Allgemeinen keine Darstellung von A. Für alle a, b A, x A haben wir nämlich r a (r b (x)) = (xb)a = x(ba) aber r ab (x) = x(ab). Die Formel zeigt, dass r eine Darstellung der entgegengesetzten Algebra A op ist. 3. Die Identität id End(V ) : End(V ) End(V ) ist eine Darstellung der Algebra End(V ) auf dem Vektorraum V. 4. Seien V ein Vektorraum über K und T ein Endomorphismus von V. Dann ist die Abbildung K[x] End(V ); p p(t ) eine Darstellung des Polynomrings K[x]. 5. Als letztes Beispiel wollen wir uns noch überlegen wie Darstellungen der Algebra A der Dualzahlen über K aussehen. Es war A = 1, a mit a 2 = 0. Sei V ein Vektorraum über K. Eine lineare Abbildung ϱ : A End(V ) mit ϱ(1) = id V hat die Form ϱ(x + ya) = x + yt (x, y K) wobei T := ϱ(a) End(V ) ist. Wann ist ϱ ein Algebrenhomomorphismus? Notwending ist die Bedingung T 2 = ϱ(a) 2 = ϱ(a 2 ) = 0, und umgekehrt folgt aus T 2 = 0 auch das ϱ ein Algebrenhomomorphismus ist. Dies zeigt Darstellungen der Dualzahlen in V = Endomorphismen T von V mit T 2 = 0. Es gibt zwei alternative aber gleichwertige Sichtweisen von Darstellungen. Ist zunächst V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K, so können wir eine Basis von V wählen, und die Endomorphismen von V dann bezüglich dieser Basis als quadratische Matrizen interpretieren. Eine Darstellung einer Algebra A in V können wir uns dann auch als Homomorphismus T : A M n (K) in die Algebra der n n Matrizen über K denken, wobei n := dim V ist. 17-5

6 Wir kommen nun zur zweiten alternativen Beschreibung von Darstellungen, und für diese spielt die Dimension von V keine Rolle. Wir hatten bereits bemerkt das jede Algebra A über einem Körper K insbesondere ein Ring ist. Haben wir dann eine Darstellung T von A in einem Vektorraum V über K gegeben, so definieren wir eine Multiplikation : A V V ; (a, v) T (a)v, und behaupten das V mit dieser Multiplikation ein Modul über dem Ring A ist. Ein Modul war dabei einfach ein Vektorraum über einem Ring, wie wir bereits in 4 definiert hatten. Zum Beweis müssen wir nur die Vektorraumaxiome, beziehungsweise die Modulaxiome, durchgehen. Da (V, +) eine abelsche Gruppe ist sind die additiven Axiome dabei von vornherein klar. Seien also a, b A und x, y V gegeben. Dann gelten: 1 x = T (1)x = id V x = x, a(bx) = a(t (b)x) = T (a)(t (b)x) = T (a)t (b)x = T (ab)x = (ab)x, (a + b)x = T (a + b)x = (T (a) + T (b))x = T (a)x + T (b)x = ax + bx und a(x + y) = T (a)(x + y) = T (a)x + T (a)y = ax + ay, also ist V tatsächlich ein Modul über A. Umgekehrt liefert jeder Modul M über dem Ring A auch eine Darstellung der Algebra A. Wegen K A ist M nämlich zunächst auch ein Vektorraum über K. Für jedes a A ist die Abbildung T a : M M; x ax dann linear über K, und auch die Abbildung T : A End(M); a T a ist linear über K. Wegen a(bx) = (ab)x für alle a, b A, x M ist T auch ein Algebrenhomomorphismus, also insgesamt eine Darstellung von A. Damit sind Darstellungen der Algebra A dasselbe wie Moduln über dem Ring A, und wir werden zwischen diesen beiden Begriffen keinen Unterschied machen. Wir besprechen nun als Beispiele einige Konstruktionen von Darstellungen, die sich am bequemsten vom Modulstandpunkt her einführen lassen. Sei also A eine Algebra über einem Körper K. Ist dann (M i ) i I eine Familie von Moduln über A, so haben wir auch einen Produktmodul M := i I M i über A. Es gibt auch wieder eine direkte Summe dieser Moduln { M i := m } M i m i 0 nur für endlich viele i I. i I i I 17-6

7 Auf der Darstellungsseite hat der Produktmodul die Form ( ) T : A End V i ; a (T i (a)) i I i I wobei T i : A End(V i ) für jedes i I eine Darstellung von A ist. Die direkte Summe der Darstellungen wird dann die entsprechende Darstellung auf dem Teilraum i I V i von i I V i. Wir nennen diese Darstellung auch das Produkt der Darstellungen T i (i I). Haben wir speziell zwei Darstellungen T i : A V i in endlichdimensionalen Vektorräumen V i über K, so können wir Basen von V 1 und V 2 zu einer Basis von V 1 V 2 zusammensetzen, und als Matrizen bezüglich dieser Basen wird die Produktdarstellung T = T 1 T 2 = T 1 T 2 zu T (a) = ( T1 (a) 0 0 T 2 (a) Jetzt seien M ein Modul über A und n N. Dann betrachten wir wieder den Produktmodul M n, und fassen die Elemente von M n als Spaltenvektoren mit Einträgen aus M auf. In dieser Interpretation ist es naheliegend a 11 a 1n..... a n1 a nn m 1. m n := ). ( n ) a ij m j j=1 1 i n für a = (a ij ) 1 i,j n, m = (m i ) 1 i n M n zu definieren. Auf diese Weise wird M n auch zu einem Modul über der Algebra M n (A). 17-7